Momento quantità di moto polo generico per corpo rigido
Ciao,chiedo un aiuto per la formula generale del momento della quantità di moto che per come è trattata nelle dispense che ho a disposizione faccio difficoltà ad assimilare:
Il momento della quantità di moto per un generico corpo rigido rispetto al polo o di una terna fissa vale:
$ vec(K_(o))=int_(m)^() (P-O)^^ vec(v) dm $
Considerando che:
$ vec(v)=vec(v_(g))+vec(omega)^^(P-G) $
$ vec(v_(g))$ è la velocità del baricentro rispetto al terna fissa
$vec(omega)$ la velocità angolare del corpo rispetto la terna fissa
Allora
$ vec(K_(o))=int_(m)^() (P-O)^^ (vec(v_(g))+vec(omega)^^(P-G)) dm $
Distribuendo il prodotto vettoriale e facendo un pò di passaggi avrò:
$ vec(K_(o))=int_(m)^() (P-O)^^ vec(v_(g)) dm + vec(K_(g))$
dove $K_(g)$ è il momento della quantità di moto rispetto al baricentro considerata una terna solidale al corpo e centrata sul baricentro (dico una cavolata?)
$ vec(K_(g))=int_(m)^() (P-G)^^(vec(omega)^^(P-G)) dm $ (inoltre si potrebbe ridurre questa espressione in $ vec(K_(g))=[I_(g)]*vec(omega) $ dove $[I_(g)]$ è la matrice di inerzia baricentrica)
Come si fa a trovare la seguente uguaglianza?
$ int_(m)^() (P-O)^^ vec(v_(g)) dm = (G-O)^^mvec(v_(g)) $
Tale per cui risulti quindi:
$ vec(K_(o))=(G-O)^^mvec(v_(g))+K_(g) $
Sono disperato, mi sono incartato proprio
Ho impegato 40 minuti a scrivere tutto ... aiutatemi
Il momento della quantità di moto per un generico corpo rigido rispetto al polo o di una terna fissa vale:
$ vec(K_(o))=int_(m)^() (P-O)^^ vec(v) dm $
Considerando che:
$ vec(v)=vec(v_(g))+vec(omega)^^(P-G) $
$ vec(v_(g))$ è la velocità del baricentro rispetto al terna fissa
$vec(omega)$ la velocità angolare del corpo rispetto la terna fissa
Allora
$ vec(K_(o))=int_(m)^() (P-O)^^ (vec(v_(g))+vec(omega)^^(P-G)) dm $
Distribuendo il prodotto vettoriale e facendo un pò di passaggi avrò:
$ vec(K_(o))=int_(m)^() (P-O)^^ vec(v_(g)) dm + vec(K_(g))$
dove $K_(g)$ è il momento della quantità di moto rispetto al baricentro considerata una terna solidale al corpo e centrata sul baricentro (dico una cavolata?)
$ vec(K_(g))=int_(m)^() (P-G)^^(vec(omega)^^(P-G)) dm $ (inoltre si potrebbe ridurre questa espressione in $ vec(K_(g))=[I_(g)]*vec(omega) $ dove $[I_(g)]$ è la matrice di inerzia baricentrica)
Come si fa a trovare la seguente uguaglianza?
$ int_(m)^() (P-O)^^ vec(v_(g)) dm = (G-O)^^mvec(v_(g)) $
Tale per cui risulti quindi:
$ vec(K_(o))=(G-O)^^mvec(v_(g))+K_(g) $
Sono disperato, mi sono incartato proprio
Ho impegato 40 minuti a scrivere tutto ... aiutatemi
Risposte
Intanto:
Quindi:
$[(G-O)=1/m\int_{m}(P-O)dm] rarr [\int_{m}(P-O)dm=m(G-O)]$
Quindi:
$\int_(m)(P-O)^^vec(v_(g))dm=\int_(m)(P-O)dm^^vec(v_(g))=m(G-O)^^vec(v_(g))=(G-O)^^mvec(v_(g))$
"anonymous_0b37e9":
Intanto:
$[(G-O)=1/m\int_{m}(P-O)dm] rarr [\int_{m}(P-O)dm=m(G-O)]$
Questa relazione se non ho capito male la si ricava dalla definizione proprio di baricentro o sbaglio?
Certamente, dai, sono cose che devi conoscere
"Lucacs":
Certamente, dai, sono cose che devi conoscere
Mi sono messo a studiare dopo 13 anni che non aprivo un libro, abbiate pietà di me, guardo la finestra e vorrei buttarmi di sotto da quanto sono arrugginito
Ripassati i sistemi di particelle, e magari usa una notazione meno ostica tipo $ P-O=r $
Forse anche qualche disegno ti aiuta
Ma le definizioni devi saperle
Forse anche qualche disegno ti aiuta
Ma le definizioni devi saperle
"Lucacs":
Ripassati i sistemi di particelle, e magari usa una notazione meo ostica tipo $ P-O=r $
Sicuramente non è colpa della notazione ma ho tutte le dispense scritte così e sono telegrafiche, cerco online e non trovo una alternativa simile a come le ho io, sono veramente in difficoltà
Ad esempio, per la seconda eq. cardinale viene utilizzato tutto un altro approccio con masse puntiformi, la mia domanda è, non si riesce a ricavarla derivando nel tempo partendo dalla definizione del momento della quantità di moto per un polo generico?
Ossia
$ (dvec(K_(o)))/dt=(d((G-O)^^mvec(v_(g))+[I_(g)]*vec(omega)))/dt=M_(o)-vec(v_(o))^^ m*vec(v_(g)) $
per carità io non credo di saper fare ad arrivare alla fine
Guarda se può servirti
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... 4ug7rtA-2o
Non ti scrivo i passaggi perché li trovi qui
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... CoxX5nBgZQ
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... 4ug7rtA-2o
Non ti scrivo i passaggi perché li trovi qui
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... CoxX5nBgZQ
"Lucacs":
Guarda se può servirti
https://www.google.com/url?sa=t&source= ... 4ug7rtA-2o
Gli do un occhiata, ho letto l'introduzione e mi sembra abbastanza chiaro, spero accenda qualche speranza-lampadina, grazie
Guarda anche l'altro.
DI nulla caro è un piacere
DI nulla caro è un piacere
"Lucacs":
Guarda anche l'altro.
DI nulla caro è un piacere
Sicuro che il secondo non sia un cartellone di quelli che usano per la vista oculistica della patente??
Vero, ma accende molte lampadine
"Lucacs":
Vero, ma accende molte lampadine
Vedo la luce infondo al tunnel ...
Allora ricapitolando il tutto (ho bisogno di approvazione
)Premesso che nonostante dappertutto il momento della q.d.m. viene indicato con L, io ce l ho con K, posso in definitiva scrivere che:
Dato un corpo rigido, un riferimento fisso e una terna solidale al corpo di centro generico O avrò:
$ vec(K_(o))=[I_(g)]*vec(omega)+(G-O)^^mvec(v_(g) $ definizione di momento della quantità di moto per un polo generico o
$ (d(vec(K_(o))))/dt=vec(M_(t))-vec(V_(o))^^mvec(V_(g) $ seconda equazione cardinale della dinamica per un polo generico o
Quindi i possibili casi sono i seguenti:
$ vec(V_(o))=0 $ cioè il punto generico o rispetto al riferimento fisso non si muove
$ (d(vec(K_(o))))/dt=vec(M_(t))$
per trovare $vec(K_(o))$ va fatta la derivata temporale di $ vec(K_(o))=[I_(g)]*vec(omega)+(G-O)^^mvec(v_(g) $
che se non dico scemenze dovrebbe essere:
$ (d(vec(K_(o))))/dt=[I_(g)]*vec(dot(omega))+(G-O)^^mvec(a_(g)) $
Altro caso notevole $o=G$ (il polo di riferimento è il baricentro, praticamente la terna solidale al corpo è incentrata sul baricentro), allora avrò:
$ (d(vec(K_(g))))/dt=vec(M_(t))=[I_(g)]*vec(dot(omega)) $
[size=150]Qualcuno per cortesia può confermarmi quanto segue:[/size]
$ vec(K_(o))=[I_(g)]*vec(omega)+(G-O)^^mvec(v_(g) $
è il momento angolare rispetto a un polo $o$ generico solidale al corpo (quindi su una terna centrata in $o$ solidale al corpo), è così?
Seconda equazione cardinale generale per una terna solidale al corpo e centrata in $o$:
$ (d(vec(K_(o))))/dt=[I_(g)]*vec(dot(omega))+(G-O)^^mvec(a_(g)) $
$ vec(K_(o))=[I_(g)]*vec(omega)+(G-O)^^mvec(v_(g) $
è il momento angolare rispetto a un polo $o$ generico solidale al corpo (quindi su una terna centrata in $o$ solidale al corpo), è così?
Seconda equazione cardinale generale per una terna solidale al corpo e centrata in $o$:
$ (d(vec(K_(o))))/dt=[I_(g)]*vec(dot(omega))+(G-O)^^mvec(a_(g)) $
Temo che tu stia facendo confusione. In particolare, giova sottolineare che, a differenza della seconda equazione cardinale della dinamica, la definizione di momento angolare è di carattere puramente cinematico. Proprio per questo conviene, prima di tutto, focalizzarsi sul solo momento angolare.
1. Il primo sistema di riferimento può essere inerziale oppure non inerziale. Infatti, affinché la definizione abbia senso, è sufficiente che, in un particolare istante, ogni punto materiale occupi una determinata posizione e sia animato da una determinata velocità.
2. Il polo $O$ non è necessariamente l'origine del primo sistema di riferimento e non è necessariamente in quiete. Infatti, affinché la definizione abbia senso, è sufficiente che, in un particolare istante, il polo $O$ occupi una determinata posizione.
1. Il secondo sistema di riferimento può essere inerziale oppure non inerziale. Infatti, nell'ambito dei moti relativi, la relazione che impone alla velocità assoluta di essere uguale a quella relativa più quella di trascinamento:
ha validità del tutto generale, indipendentemente dal moto dei due sistemi di riferimento.
1. Questo passaggio impone una condizione al secondo sistema di riferimento. Infatti, poiché alla velocità di trascinamento di ogni punto materiale si attribuisce la velocità del centro di massa, il secondo sistema di riferimento, in un particolare istante, trasla rispetto al primo sistema di riferimento con velocità uguale alla velocità del centro di massa.
1. Trattandosi di due passaggi puramente matematici, nulla da aggiungere.
Prima di concludere questa prima parte giova sottolineare che, solo quando si passa all'analisi della seconda equazione cardinale della dinamica è necessario imporre ulteriori condizioni al primo e al secondo sistema di riferimento. Ad ogni modo, la conseguenza più importante di queste prime argomentazioni è la relazione sottostante:
cioè, che il momento angolare rispetto al centro di massa, non dipendendo dal fatto che si considerino le velocità assolute o quelle relative, assume lo stesso valore in entrambi i sistemi di riferimento.
Definizione
$vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(O-P_i)$
Osservazioni
1. Il primo sistema di riferimento può essere inerziale oppure non inerziale. Infatti, affinché la definizione abbia senso, è sufficiente che, in un particolare istante, ogni punto materiale occupi una determinata posizione e sia animato da una determinata velocità.
2. Il polo $O$ non è necessariamente l'origine del primo sistema di riferimento e non è necessariamente in quiete. Infatti, affinché la definizione abbia senso, è sufficiente che, in un particolare istante, il polo $O$ occupi una determinata posizione.
Passaggio 1
$vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_i(vec(v_(ir))+vec(v_(it)))^^(O-P_i)$
Osservazioni
1. Il secondo sistema di riferimento può essere inerziale oppure non inerziale. Infatti, nell'ambito dei moti relativi, la relazione che impone alla velocità assoluta di essere uguale a quella relativa più quella di trascinamento:
$vec(v_a)=vec(v_r)+vec(v_t)$
ha validità del tutto generale, indipendentemente dal moto dei due sistemi di riferimento.
Passaggio 2
$vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_i(vec(v_(ir))+vec(v_G))^^(O-P_i)$
Osservazioni
1. Questo passaggio impone una condizione al secondo sistema di riferimento. Infatti, poiché alla velocità di trascinamento di ogni punto materiale si attribuisce la velocità del centro di massa, il secondo sistema di riferimento, in un particolare istante, trasla rispetto al primo sistema di riferimento con velocità uguale alla velocità del centro di massa.
Passaggio 3
$vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_(ir))^^(O-P_i)+vec(v_G)^^\sum_{i=1}^Nm_i(O-P_i)$
Passaggio 4
$vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_(ir))^^(O-P_i)+mvec(v_G)^^(O-G)$
Osservazioni
1. Trattandosi di due passaggi puramente matematici, nulla da aggiungere.
Prima di concludere questa prima parte giova sottolineare che, solo quando si passa all'analisi della seconda equazione cardinale della dinamica è necessario imporre ulteriori condizioni al primo e al secondo sistema di riferimento. Ad ogni modo, la conseguenza più importante di queste prime argomentazioni è la relazione sottostante:
$[O-=G] rarr [vec(L_G)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(G-P_i)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_(ir))^^(G-P_i)]$
cioè, che il momento angolare rispetto al centro di massa, non dipendendo dal fatto che si considerino le velocità assolute o quelle relative, assume lo stesso valore in entrambi i sistemi di riferimento.
Mi è un pò più chiaro il discorso dei riferimenti, grazie.
Passando alla trattazione per corpo rigido, avrò:
$ vec(L_(0))= int_()^() (P-O)^^vec(v) dm=int_()^() (P-O)^^(vec(v_(g)) + vec(v_(ti)))dm $
DI SEGUITO QUELLO CHE CREDO SIA GIUSTO, QUINDI ... POTREBBE ESSERE SBAGLIATO
In questo caso posso esprimere la velocità rispetto al riferimento iniziale (lo stesso di sopra) di ogni punto in funzione di omega e della velocità del baricentro:
$ vec(v_(ri))=omega^^(P-G) $ cioè $vec(v_(i))=vec(v_(t_(g)))+omega^^(P-G)$
Dove $omega$ è il vettore velocità angolare espresso nella terna di riferimento.
Sostituendo avrò:
$ vec(L_(0))=int_()^() (P-O)^^vec(v_(t_(g)))dm +int_()^() (P-O)^^(omega^^(P-G))dm $
Sviluppando diventa:
$ vec(L_(0))=(G-O)^^mvec(v_(t_(g)))+[I_(g)]vec(omega) $
dove $[I_(g)]$ è la matrice di inerzia di polo G
dove $vec(v_(t_(g)))$ è la velocità del baricentro rispetto al riferimento iniziale
dove $vec(omega)$ è la velocità angolare del corpo rispetto al riferimento iniziale
__________________________________________________________
Così è come l ho capito io, forse mi sono espresso male o forse non c ho capito nulla.
Passando alla trattazione per corpo rigido, avrò:
$ vec(L_(0))= int_()^() (P-O)^^vec(v) dm=int_()^() (P-O)^^(vec(v_(g)) + vec(v_(ti)))dm $
DI SEGUITO QUELLO CHE CREDO SIA GIUSTO, QUINDI ... POTREBBE ESSERE SBAGLIATO
In questo caso posso esprimere la velocità rispetto al riferimento iniziale (lo stesso di sopra) di ogni punto in funzione di omega e della velocità del baricentro:
$ vec(v_(ri))=omega^^(P-G) $ cioè $vec(v_(i))=vec(v_(t_(g)))+omega^^(P-G)$
Dove $omega$ è il vettore velocità angolare espresso nella terna di riferimento.
Sostituendo avrò:
$ vec(L_(0))=int_()^() (P-O)^^vec(v_(t_(g)))dm +int_()^() (P-O)^^(omega^^(P-G))dm $
Sviluppando diventa:
$ vec(L_(0))=(G-O)^^mvec(v_(t_(g)))+[I_(g)]vec(omega) $
dove $[I_(g)]$ è la matrice di inerzia di polo G
dove $vec(v_(t_(g)))$ è la velocità del baricentro rispetto al riferimento iniziale
dove $vec(omega)$ è la velocità angolare del corpo rispetto al riferimento iniziale
__________________________________________________________
Così è come l ho capito io, forse mi sono espresso male o forse non c ho capito nulla.
Mi sembra di capire che tu stia approfondendo il momento angolare senza scomodare, per il momento, la seconda equazione cardinale della dinamica. Intanto:
Inoltre, poichè:
si ha:
Prima di proseguire giova sottolineare che i passaggi di cui sopra coinvolgono un solo sistema di riferimento. In particolare, poiché compaiono solo le velocità assolute, il primo sistema di riferimento del mio messaggio precedente. Per concludere è necessario introdurre il secondo sistema di riferimento e considerare l'aspetto più sottile rappresentato dalla relazione ottenuta alla fine di quel messaggio:
Insomma, il momento angolare rispetto al centro di massa calcolato con le velocità assolute è uguale al momento angolare rispetto al centro di massa calcolato con le velocità relative, a patto che nel secondo sistema di riferimento il centro di massa sia in quiete. Del resto:
Proprio per questo motivo, utilizzando la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
A questo punto:
e finalmente:
Prima di concludere giova sottolineare che il secondo termine:
altro non è che il momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno a un punto fisso (il centro di massa), insomma, quello che si esprime con la matrice di inerzia.
P.S.
Leggendo il tuo ultimo messaggio ho pensato che le tue argomentazioni intendessero qualcosa del genere. Se questo è il caso, hai tutti gli strumenti per affrontare la seconda equazione cardinale della dinamica.
$vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(O-P_i) rarr$
$rarr vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(O-G+G-P_i) rarr$
$rarr vec(L_O)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(O-G)+\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(G-P_i)$
Inoltre, poichè:
$[\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)=mvec(v_G)] ^^ [\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(G-P_i)=vec(L_G)]$
si ha:
$vec(L_O)=mvec(v_G)^^(O-G)+vec(L_G)$
Prima di proseguire giova sottolineare che i passaggi di cui sopra coinvolgono un solo sistema di riferimento. In particolare, poiché compaiono solo le velocità assolute, il primo sistema di riferimento del mio messaggio precedente. Per concludere è necessario introdurre il secondo sistema di riferimento e considerare l'aspetto più sottile rappresentato dalla relazione ottenuta alla fine di quel messaggio:
$vec(L_G)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_i)^^(G-P_i)=\sum_{i=1}^Nm_ivec(v_(ir))^^(G-P_i)$
Insomma, il momento angolare rispetto al centro di massa calcolato con le velocità assolute è uguale al momento angolare rispetto al centro di massa calcolato con le velocità relative, a patto che nel secondo sistema di riferimento il centro di massa sia in quiete. Del resto:
"anonymous_0b37e9":
... il secondo sistema di riferimento, in un particolare istante, trasla rispetto al primo sistema di riferimento con velocità uguale alla velocità del centro di massa.
Proprio per questo motivo, utilizzando la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_(ir))=vec(v_(Gr))+vec\omega^^(P_i-G)] ^^ [vec(v_(Gr))=0] rarr [vec(v_(ir))=vec\omega^^(P_i-G)]$
A questo punto:
$vec(L_G)=\sum_{i=1}^Nm_ivec\omega^^(P_i-G)^^(G-P_i)$
e finalmente:
$vec(L_O)=mvec(v_G)^^(O-G)+\sum_{i=1}^Nm_ivec\omega^^(P_i-G)^^(G-P_i)$
Prima di concludere giova sottolineare che il secondo termine:
$vec(L_G)=\sum_{i=1}^Nm_ivec\omega^^(P_i-G)^^(G-P_i)$
altro non è che il momento angolare di un corpo rigido che ruota attorno a un punto fisso (il centro di massa), insomma, quello che si esprime con la matrice di inerzia.
P.S.
Leggendo il tuo ultimo messaggio ho pensato che le tue argomentazioni intendessero qualcosa del genere. Se questo è il caso, hai tutti gli strumenti per affrontare la seconda equazione cardinale della dinamica.
Ho ripreso un pò tutto dall'inizio e fino al momento angolare (prefreirei chiamarlo momento della quantità di moto ma ci capiamo lostesso) ci sono, ora il teorema del momento angolare (seconda equazione cardinale), vorrei provare partendo dall'equazione per un corpo rigido del momento angolare rispetto al polo di una terna fissa qualsiasi.
Momento angolare rispetto una terna di generico polo $o$:
$ K_(o)=(G-O)^^vec(V_(g))+[I_(g)]*vec(omega) $
Per trovare l'eneunciato del teorema del momento angolare, dovrò derivare rispetto al tempo:
$ d(K_(o))/dt=d(((G-O)^^vec(V_(g))))/dt+d(([I_(g)]*vec(omega)))/dt $
Sviluppando e considerando che sul primo termine di prodotto vettoriale avrò
$vec(V_(g))^^m(vec(V_(g)))=0$
e che
$d([I_(g)])/dt=0$
e che
$dm/dt=0$
Ottengo:
1) $ d(K_(o))/dt=(G-O)^^m(d(vec(V_(g))))/dt+[I_(g)]*(d(vec(omega)))/dt $
Ora vado in crisi con le derivate temporali di $vec(V_(g))$ e di $vec(omega)$ e non riesco a ricondurmi all'enunciato del teorema.
_________________________________________________________________________________________________
L'altro approccio (quello con le masse concentrate) lo sto ripassando, provo a scrivere quello che spero di aver capito.
Considero sempre un momento angolare si un sistema a masse distribuite rispetto al polo generico o di una terna (non solidale) avrò:
$ K_(o)=sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^m_(i)vec(V_(i)) $
Derivata temporale di $K_(o)$:
$ d(K_(o))/dt=d(sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^m_(i)vec(V_(i)))/dt $
$ d(K_(o))/dt=sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))+sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^d(m_(i)vec(V_(i)))/dt $
Questo termine $sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^d(m_(i)vec(V_(i)))/dt=vec(M_(o)$, cioè è il momento risultante su tutto il sistema di masse rispetto al polo $o$, quindi:
$ d(K_(o))/dt=sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))+vec(M_(o))$
Ora mi concentro sul primo termine:
$sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))$
Se la terna è fissa:
$sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))=0$ infatti $d((P_(i)-O))/dt=vec(V_(i))$ e $vec(V_(i))^^mvec(V_(i))=0$
Nel caso in cui invece il polo o sia in movimento avrò:
$sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))=- sum_(i = 1\ldotsn) vec(V_(o))^^m_(i)vec(V_(i))$
Riassumendo:
$ d(vec(K_(o)))/dt=vec(M_(o))- sum_(i = 1\ldotsn) vec(V_(o))^^m_(i)vec(V_(i))=vec(M_(o))- vec(V_(o))^^mvec(V_(g))$
Enunciato il caso generico del teorema del momento angolare (o del momento della quantità di moto), nei casi particolari in cui
1) la terna di riferimento è baricentrica e solidale al corpo, avrò:
$d(vec(K_(g)))/dt=vec(M_(g))=[I_(g)]*vec(dot(omega))+vec(omega)^^[I_(g)]vec(omega)$ inquanto il termine $vec(V_(g))^^mvec(V_(g))=vec(0)$
2) il polo $o$ è fermo:
$d(vec(K_(o)))/dt=vec(M_(o))$ inquanto il termine $vec(V_(o))=vec(0)$
Spero di aver capito bene ... è sempre questa maledetta derivata che mi frega:
$d(vec(K_(g)))/dt=[I_(g)]*vec(dot(omega))+vec(omega)^^[I_(g)]vec(omega)$ con $K_(g)=[I_(g)] vec(omega)$
Momento angolare rispetto una terna di generico polo $o$:
$ K_(o)=(G-O)^^vec(V_(g))+[I_(g)]*vec(omega) $
Per trovare l'eneunciato del teorema del momento angolare, dovrò derivare rispetto al tempo:
$ d(K_(o))/dt=d(((G-O)^^vec(V_(g))))/dt+d(([I_(g)]*vec(omega)))/dt $
Sviluppando e considerando che sul primo termine di prodotto vettoriale avrò
$vec(V_(g))^^m(vec(V_(g)))=0$
e che
$d([I_(g)])/dt=0$
e che
$dm/dt=0$
Ottengo:
1) $ d(K_(o))/dt=(G-O)^^m(d(vec(V_(g))))/dt+[I_(g)]*(d(vec(omega)))/dt $
Ora vado in crisi con le derivate temporali di $vec(V_(g))$ e di $vec(omega)$ e non riesco a ricondurmi all'enunciato del teorema.
_________________________________________________________________________________________________
L'altro approccio (quello con le masse concentrate) lo sto ripassando, provo a scrivere quello che spero di aver capito.
Considero sempre un momento angolare si un sistema a masse distribuite rispetto al polo generico o di una terna (non solidale) avrò:
$ K_(o)=sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^m_(i)vec(V_(i)) $
Derivata temporale di $K_(o)$:
$ d(K_(o))/dt=d(sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^m_(i)vec(V_(i)))/dt $
$ d(K_(o))/dt=sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))+sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^d(m_(i)vec(V_(i)))/dt $
Questo termine $sum_(i = 1\ldotsn) (P_(i)-O)^^d(m_(i)vec(V_(i)))/dt=vec(M_(o)$, cioè è il momento risultante su tutto il sistema di masse rispetto al polo $o$, quindi:
$ d(K_(o))/dt=sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))+vec(M_(o))$
Ora mi concentro sul primo termine:
$sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))$
Se la terna è fissa:
$sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))=0$ infatti $d((P_(i)-O))/dt=vec(V_(i))$ e $vec(V_(i))^^mvec(V_(i))=0$
Nel caso in cui invece il polo o sia in movimento avrò:
$sum_(i = 1\ldotsn) d((P_(i)-O))/dt^^m_(i)vec(V_(i))=- sum_(i = 1\ldotsn) vec(V_(o))^^m_(i)vec(V_(i))$
Riassumendo:
$ d(vec(K_(o)))/dt=vec(M_(o))- sum_(i = 1\ldotsn) vec(V_(o))^^m_(i)vec(V_(i))=vec(M_(o))- vec(V_(o))^^mvec(V_(g))$
Enunciato il caso generico del teorema del momento angolare (o del momento della quantità di moto), nei casi particolari in cui
1) la terna di riferimento è baricentrica e solidale al corpo, avrò:
$d(vec(K_(g)))/dt=vec(M_(g))=[I_(g)]*vec(dot(omega))+vec(omega)^^[I_(g)]vec(omega)$ inquanto il termine $vec(V_(g))^^mvec(V_(g))=vec(0)$
2) il polo $o$ è fermo:
$d(vec(K_(o)))/dt=vec(M_(o))$ inquanto il termine $vec(V_(o))=vec(0)$
Spero di aver capito bene ... è sempre questa maledetta derivata che mi frega:
$d(vec(K_(g)))/dt=[I_(g)]*vec(dot(omega))+vec(omega)^^[I_(g)]vec(omega)$ con $K_(g)=[I_(g)] vec(omega)$
Puoi chiamarla quantità di moto angolare, visto che di momenti abbonda la fisica
"Lucacs":
Puoi chiamarla quantità di moto angolare, visto che di momenti abbonda la fisica
Commento prezioso
Ad esempio nel caso in cui ho un rotore con baricentro non allineato all'asse z (quello di rotazione) e $omega$ è costante.
Ho sia uno squilibrio statico (il baricentro non è sull'asse di rotazione) che dinamico (l'asse di rotazione è una direzione principale di inerzia).
Avrò, calcolando il momento risultante rispetto a un polo O sull'asse di rotazione, la seguente formula (teorema del momento della quantità di moto):
$vec(M_(O))-vec(v_(o))^^mvec(v_(g))=d(vec(K_(O)))/dt=d vec(K_(g))/dt+d((G-O)^^mvec(V_(g)))/dt$
con
$vec(v_(o))=0$
Sviluppando le derivate avrò:
$ vec(M_(O))=[I_(g)]vec(dotomega)+ vec(omega)^^([I_(g)]vec(omega))+d((G-O))/dt^^mvec(V_(g))+(G-O)^^d(mvec(V_(g)))/dt $
Considero che
$[I_(g)]vec(dotomega)=0$ perchè $vec(dotomega)=0$
$d((G-O))/dt^^mvec(V_(g))=0$ perchè $d((G-O))/dt$ e $vec(V_(g))$ sono paralleli (sono la stessa cosa)
Rimarrebbe quindi:
$ vec(M_(O))=vec(omega)^^([I_(g)]vec(omega))+(G-O)^^d(mvec(V_(g)))/dt $
Se non ho fatto altri casini nei passaggi precedenti il termine
$(G-O)^^d(mvec(V_(g)))/dt$ diventa?
Ho sia uno squilibrio statico (il baricentro non è sull'asse di rotazione) che dinamico (l'asse di rotazione è una direzione principale di inerzia).
Avrò, calcolando il momento risultante rispetto a un polo O sull'asse di rotazione, la seguente formula (teorema del momento della quantità di moto):
$vec(M_(O))-vec(v_(o))^^mvec(v_(g))=d(vec(K_(O)))/dt=d vec(K_(g))/dt+d((G-O)^^mvec(V_(g)))/dt$
con
$vec(v_(o))=0$
Sviluppando le derivate avrò:
$ vec(M_(O))=[I_(g)]vec(dotomega)+ vec(omega)^^([I_(g)]vec(omega))+d((G-O))/dt^^mvec(V_(g))+(G-O)^^d(mvec(V_(g)))/dt $
Considero che
$[I_(g)]vec(dotomega)=0$ perchè $vec(dotomega)=0$
$d((G-O))/dt^^mvec(V_(g))=0$ perchè $d((G-O))/dt$ e $vec(V_(g))$ sono paralleli (sono la stessa cosa)
Rimarrebbe quindi:
$ vec(M_(O))=vec(omega)^^([I_(g)]vec(omega))+(G-O)^^d(mvec(V_(g)))/dt $
Se non ho fatto altri casini nei passaggi precedenti il termine
$(G-O)^^d(mvec(V_(g)))/dt$ diventa?
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