Momento d'inerzia tramite integrale

[matteo_g1]

Ciao ragazzi, vi chiederei se sapresti spiegarmi (senza dare per scontato nemmeno i passaggi più semplici) come calcolare la formula per ricavare il momento di inerzia di un corpo tramite gli integrali. nel caso specifco attuale il corpo è un rettangolo.
Ho già affrontato il corso di analisi 1 e analisi 2 perciò ho le basi del calcolo di integrali doppi e tripli nel caso servissero.
grazie!!!
Slaluti Matteo!!

[Shackle]

Rispetto a quali assi vuoi calcolare i momenti di inerzia del rettangolo ? Immagino innanzitutto che gli assi stiano nel piano della figura . Allora , prendi due assi coincidenti con base e altezza , quindi la loro origine è nello spigolo inferiore sinistro del rettangolo . Prendi ora un'area elementare $dA = dx*dy$ , il cui centro ha ascissa $x$ e ordinata $y$ .
Il momento di inerzia di quest'area elementare rispetto all'asse $x$ vale $ y^2dA = y^2dx*dy$ , quello rispetto all'asse $y$ vale $x^2dx*dy$ .

Per calcolare i momenti di inerzia totali rispetto ai due assi, devi calcolare due integrali doppi ; naturalmente i limiti di integrazione sono , lungo $x$ l'origine e $L$ ; lungo $y$ , l'origine e $H$ .

E visto che sai fare gli integrali doppi , non occorre che te li faccia io !

[mgrau]

Supponendo che tu sappia già cos'è il momento d'inerzia di un punto materiale rispetto a un asse ($I = m * r^2$), e anche che il MI è additivo, si tratta di suddividere l'oggetto che ti interessa in elementi infinitesimi di massa $dm$ e integrare.
Poi nota che non è sufficiente dire che si tratta di un rettangolo, perchè il MI è relativo all'oggetto, ma ANCHE all'asse di rotazione, per cui devi specificare anche questo. Non è la stessa cosa calcolare il MI rispetto a una mediana, a un lato, alla diagonale, ecc.

[Shackle]

"mgrau":..........
Poi nota che non è sufficiente dire che si tratta di un rettangolo, perchè il MI è relativo all'oggetto, ma ANCHE all'asse di rotazione, per cui devi specificare anche questo. Non è la stessa cosa calcolare il MI rispetto a una mediana, a un lato, alla diagonale, ecc.

Beh, era sottinteso che il m.i. dipende dall'asse rispetto al quale lo si vuole calcolare ; per questo ho detto : " Rispetto a quali assi vuoi calcolare il m.i. del rettangolo ? "

Se lo studente non sa neppure questo bisogna cominciare da capo , ogni volta ?

[mgrau]

@shackle
Non avevo visto il tuo intervento, al solito...