Momento d'inerzia di un disco omogeneo
Il mio libro calcola il momento d'inerzia di un disco omogeneo (rispetto ad un asse ortogonale al piano del disco e passante per il suo centro) in questo modo:
la massa è $ m= int rho dS = rho pi r^2 $.
Il momento d'inerzia è $ I= int r^2 dm = intr^2 rho dS $.
Poiché $ dS =2pirdr $, posso scrivere $ I = int r^2 rho 2pirdr = int r^3 rho 2pi dr = rho 2pi int_(0)^(r) r^3 dr = rho 2pi r^4/4 = rho pi r^4/2 $.
Conoscendo il valore della massa, il momento d'inerzia è $ I= 1/2mr^2 $.
E' tutto chiaro, credo, ma non capisco perché quando calcola la massa usa $ dS = pi r^2 $ e quando calcola il momento d'inerzia usa $ dS = 2pirdr $. Perché cambiare?
la massa è $ m= int rho dS = rho pi r^2 $.
Il momento d'inerzia è $ I= int r^2 dm = intr^2 rho dS $.
Poiché $ dS =2pirdr $, posso scrivere $ I = int r^2 rho 2pirdr = int r^3 rho 2pi dr = rho 2pi int_(0)^(r) r^3 dr = rho 2pi r^4/4 = rho pi r^4/2 $.
Conoscendo il valore della massa, il momento d'inerzia è $ I= 1/2mr^2 $.
E' tutto chiaro, credo, ma non capisco perché quando calcola la massa usa $ dS = pi r^2 $ e quando calcola il momento d'inerzia usa $ dS = 2pirdr $. Perché cambiare?
Risposte
"maxira":
......
E' tutto chiaro, credo, ma non capisco perché quando calcola la massa usa $ dS = pi r^2 $ e quando calcola il momento d'inerzia usa $ dS = 2pirdr $. Perché cambiare?
Ma che scrivi ? $ dS = pi r^2 $ ???
Si pone : $ dS = 2pirdr $ , che è l'area di una corona di raggio $r$ e "spessore radiale " $dr$ . Integrando rispetto al raggio , si ottiene l'area :
$S = pir^2$
Grazie mille! Il mio libro usa direttamente quella scrittura e salta alcuni passaggi, perciò non mi era chiaro. Adesso mi trovo con tutto.
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