Momento d'inerzia asta non omogenea

[Arlindeion]

Buongiorno,
chiedo aiuto per un problema di meccanica in cui sono sicuro di aver cannato il ragionamento, ma non riesco a trovare la strada corretta. Il problema è il seguente:
Una barra di lunghezza L ha una massa M distribuita con densità lineare λ (massa per unità di lunghezza) data
dalla legge: $λ= $ int_(0)^(L)r^2λdL= (ax^3+b)int_(0)^(L)(L-x)^2dL $ $ dove:
• “a” e “b” sono due costanti positive,
• “x” è l'ascissa, espressa in metri, del punto generico P della barra rispetto alla retta orientata r con origine nell’estremo A, come in figura.


Calcolare i valori delle costanti “a” e “b” in modo che il momento d’inerzia della
barra rispetto ad un asse perpendicolare alla barra e passante per l’altro estremo B valga $1/10ML^2$

Il mio primo approccio consisteva nell'andare ad sostituire la densità lineare nel momento di inerzia così impostato:
Considerando che $λ=(dM) / (dL)$ ho impostato l'integrale così:
$int_(0)^(L)r^2λdL$
Il passaggio successivo sarebbe stato portare fuori integrale la densità ed equiparare tutto al momento di inerzia fornito dalla traccia:
$(ax^3+b)int_(0)^(L)r^2dL=1/10ML^2$
Non vado avanti con i calcoli (L e M sono numeri interi forniti dal testo) perché presumo di aver già commesso un errore di concetto, visto che pur risolvendo l'integrale non vedo modo di ricavare le incognite a e b da quella equazione (pur ammesso che sia legittimo scriverla in quel modo)
Ringrazio anticipatamente se qualcuno riuscisse a riportarmi sulla retta via

[Noodles1]

Ammesso e non concesso che sia:

$\lambda(x)=ax^3+b$

devi impostare le due equazioni sottostanti:

$M=\int_{0}^{L}\lambda(x)dx$

$1/10ML^2=\int_{0}^{L}\lambda(x)(L-x)^2dx$

svolgendo gli integrali senza portare fuori la funzione $\lambda(x)$. Ad ogni modo, onde evitare di portare fuori una funzione non costante, dovresti prestare più attenzione a nominare coerentemente le grandezze coinvolte.