Momento di una forza, confusione
Ciao a tutti, sto svolgendo questo esercizio:
"Un sistema meccanico è costituito da un’asta rigida, sottile ed omogenea di lunghezza $2l$ ($l=1 m$) e massa $m_1=20 kg$. L’estremo $A$ è vincolato a scorrere senza attrito lungo una guida verticale e l’estremo $B$ lungo una guida orizzontale. In $B$ è attaccata una fune inestensibile di lunghezza $2l$ che ha l’altro capo connesso con un punto materiale di massa $m_2$, vincolato a scorrere senza attrito sulla stessa guida verticale su cui scorre $A$. In $B$ inoltre è applicata una molla di costante elastica $k=100 N/m$, vincolata a restare orizzontale e ancorata all’altro estremo al punto fisso $O$. La molla è a riposo nella configurazione in cui $theta = 30°$. Si calcoli il valore di $m_2$ affinchè il sistema sia in equilibrio nella configurazione $theta=45°$."
ecco la figura:
Teoricamente, ho bene in mente la soluzione:
imposto un sistema con le equazioni per l'equilibrio, mi ricavo qualche incognita con qualche sostituzione, e le calcolo per $theta = 45°$.
imposto un sistema di riferimento, mi imposto le equazioni di equilibrio per $m_2$ e asta lungo $x$ e lungo $y$, e fin qui tutto ok...
devo poi anche impostare che la risultante dei momenti rispetto a un polo (ho scelto $A$) sia uguale a 0, sempre per l'equilibrio... e qui sto facendo confusione con gli angoli...
ho guardato la soluzione del libro ma comunque non mi ci sto raccapezzando...
($m_1glsen(theta) + 2lk(sen(theta) - sen(theta_0))cos(theta) + 2lTsen(2theta) - 2lN_Bsen(theta) = 0$)
(per esempio a me viene, al primo termine, $m_1glcos(theta)$...)
Avrei bisogno di qualcuno che pazientemente mi commentasse la soluzione, e come ci si arriva... grazie mille!
"Un sistema meccanico è costituito da un’asta rigida, sottile ed omogenea di lunghezza $2l$ ($l=1 m$) e massa $m_1=20 kg$. L’estremo $A$ è vincolato a scorrere senza attrito lungo una guida verticale e l’estremo $B$ lungo una guida orizzontale. In $B$ è attaccata una fune inestensibile di lunghezza $2l$ che ha l’altro capo connesso con un punto materiale di massa $m_2$, vincolato a scorrere senza attrito sulla stessa guida verticale su cui scorre $A$. In $B$ inoltre è applicata una molla di costante elastica $k=100 N/m$, vincolata a restare orizzontale e ancorata all’altro estremo al punto fisso $O$. La molla è a riposo nella configurazione in cui $theta = 30°$. Si calcoli il valore di $m_2$ affinchè il sistema sia in equilibrio nella configurazione $theta=45°$."
ecco la figura:
Teoricamente, ho bene in mente la soluzione:
imposto un sistema con le equazioni per l'equilibrio, mi ricavo qualche incognita con qualche sostituzione, e le calcolo per $theta = 45°$.
imposto un sistema di riferimento, mi imposto le equazioni di equilibrio per $m_2$ e asta lungo $x$ e lungo $y$, e fin qui tutto ok...
devo poi anche impostare che la risultante dei momenti rispetto a un polo (ho scelto $A$) sia uguale a 0, sempre per l'equilibrio... e qui sto facendo confusione con gli angoli...
ho guardato la soluzione del libro ma comunque non mi ci sto raccapezzando...
($m_1glsen(theta) + 2lk(sen(theta) - sen(theta_0))cos(theta) + 2lTsen(2theta) - 2lN_Bsen(theta) = 0$)
(per esempio a me viene, al primo termine, $m_1glcos(theta)$...)
Avrei bisogno di qualcuno che pazientemente mi commentasse la soluzione, e come ci si arriva... grazie mille!
Risposte
Devi per forza usare le equazioni della dinamica? Perche usando il potenziale risulta molto piu semplice
si, giusto, ma vorrei approfittarne per non avere lacune...
Comincia a scrivere le equazioni. Il libro ha ragione, perche a te viene $mgLcos\theta$?
La retta su cui giace la forza peso dell'asta dista dal polo $Lsin\theta$ (e' un modo per vederla).
Oppure scomponendo la forza peso della asta lungo l'asta stessa e lungo la normale ad essa:
la componente $mgLcos\theta$ parallela all'asta non da momento (il prolungamento passa per il polo).
La componente ortogonale e' una forza $mgsin\theta$ applicata a distanza L dal polo.
Pero', ti ripeto, questi problemi si risolvono molto piu' agevolmente usando la variazione del potenziale delle forze. Con un' unica equazione ti eviti di rsiolvere un sistema, come in questa caso, 3 0 4 equazioni
La retta su cui giace la forza peso dell'asta dista dal polo $Lsin\theta$ (e' un modo per vederla).
Oppure scomponendo la forza peso della asta lungo l'asta stessa e lungo la normale ad essa:
la componente $mgLcos\theta$ parallela all'asta non da momento (il prolungamento passa per il polo).
La componente ortogonale e' una forza $mgsin\theta$ applicata a distanza L dal polo.
Pero', ti ripeto, questi problemi si risolvono molto piu' agevolmente usando la variazione del potenziale delle forze. Con un' unica equazione ti eviti di rsiolvere un sistema, come in questa caso, 3 0 4 equazioni
ok, ora ci sono, stavo facendo confusione con gli angoli in effetti... ho scomposto e giustamente è il seno, non il coseno.
Solo che ho un altro dubbio:
quando considera il contributo della tensione del filo, scrive $2lTsen(2theta)$.... come fa a calcolarsi quell'angolo?
Solo che ho un altro dubbio:
quando considera il contributo della tensione del filo, scrive $2lTsen(2theta)$.... come fa a calcolarsi quell'angolo?
mi rispondo da solo..... con le formule di addizione e sottrazione della trigonometria, essendo quello l'angolo $pi - 2theta$...
Grazie professorkappa!
Grazie professorkappa!
Si l'angolo fra la tensione e la sbarra, se prolunghi la tensione e' esattamente $2\theta$.
Ti viene $m_2=5.78kg$?
Io l'ho risolto cosi (potenziale):
$ U=-1/2k(2Lsin\theta-2Lsin\theta_0)^2-m_1gLcos\theta+m_2g*2Lcos\theta $
Derivando e imponendo ${dU}/{d\theta}=0$ si ottiene
$ -4kL^2(sin\theta-sin\theta_0)cos\theta+m_1gLsin\theta-m_2g*2Lsin\theta=0 $
Qui, grazie al fatto che per $\theta=45$, $sin\theta=cos\theta$, si semplifica e viene:
$ m_2={P-4kL(sin45-sin30)}/{2g}=5.78kg $
Ti viene $m_2=5.78kg$?
Io l'ho risolto cosi (potenziale):
$ U=-1/2k(2Lsin\theta-2Lsin\theta_0)^2-m_1gLcos\theta+m_2g*2Lcos\theta $
Derivando e imponendo ${dU}/{d\theta}=0$ si ottiene
$ -4kL^2(sin\theta-sin\theta_0)cos\theta+m_1gLsin\theta-m_2g*2Lsin\theta=0 $
Qui, grazie al fatto che per $\theta=45$, $sin\theta=cos\theta$, si semplifica e viene:
$ m_2={P-4kL(sin45-sin30)}/{2g}=5.78kg $
si, grazie, ora è tutto chiaro!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo