Momento di una forza
Ciao!
Studiando i momenti ho interpretato la cosa considerando il fatto che se $F$ è una forza $R$ il braccio e $theta$ l’angolo compreso allora ponendo che $abs(F)*sin(theta)=abs(a_t)=malphaR$ ovvero sia un moto circolare con accelerazione angolare $alpha$ si ottiene $M:=abs(F)*abs(r)*sin(theta)=(mR^2)alpha=Ialpha$
Da questa legge si può ricavare direttamente il moto della massa.
Quindi mi è sembrato chiaro che “i momenti generano rotazioni”
Questo però è quando la forza in considerazione “gira” su una circonferenza di raggio $R$ ovvero quando l’angolo forza-braccio è costante.
Quando invece l’angolo varia, per esempio nel caso della forza peso, si può trovare un’espressione del moto in funzione del tempo?
Per esempio usando $1/2 I(omega_f^2-omega_i^2)=-mg(sin(theta_f)-sin(theta_i))$ posso trovarmi la velocità angolare data dalla presenza della forza peso, ma se volessi farlo in ogni punto avrei questa dipendenza da $theta_f$ che vorrei eliminare.
Studiando i momenti ho interpretato la cosa considerando il fatto che se $F$ è una forza $R$ il braccio e $theta$ l’angolo compreso allora ponendo che $abs(F)*sin(theta)=abs(a_t)=malphaR$ ovvero sia un moto circolare con accelerazione angolare $alpha$ si ottiene $M:=abs(F)*abs(r)*sin(theta)=(mR^2)alpha=Ialpha$
Da questa legge si può ricavare direttamente il moto della massa.
Quindi mi è sembrato chiaro che “i momenti generano rotazioni”
Questo però è quando la forza in considerazione “gira” su una circonferenza di raggio $R$ ovvero quando l’angolo forza-braccio è costante.
Quando invece l’angolo varia, per esempio nel caso della forza peso, si può trovare un’espressione del moto in funzione del tempo?
Per esempio usando $1/2 I(omega_f^2-omega_i^2)=-mg(sin(theta_f)-sin(theta_i))$ posso trovarmi la velocità angolare data dalla presenza della forza peso, ma se volessi farlo in ogni punto avrei questa dipendenza da $theta_f$ che vorrei eliminare.
Risposte
Il momento di una forza rispetto a un polo è un prodotto vettoriale: $vecM =vecr\timesvecF$.
È ovvio che, se il raggio vettore e/o la forza sono funzione del tempo, anche $vecM$ è funzione del tempo. Anche l’angsolo tra loro può variare nel tempo. Ma non è mica detto che il momento di una forza sia associato sempre alla rotazione! Prendi un polo fisso (in un riferimento inerziale,siamo più tranquilli...), e una forza la cui retta di azione, passante a distanza $d$ dal polo, non varia col tempo. Il modulo del momento è M =Fd, in questo caso è costante, e pure la direzione del vettore momento è costante, anche se sposti la forza lungo la sua retta di azione [nota]per chiarezza , quando si applica una forza ad un corpo, lo spostamento della forza lungo la sua retta di azione in un altro punto del corpo è lecita se si tratta di un corpo rigido, come lo si intende in meccanica razionale. Se la forza è applicata ad un corpo deformabile, come ad es. quelli che si studiano in teoria dell'elasticità, non è più una operazione lecita: si mantiene la forza nel punto del corpo deformabile dove è applicata.[/nota]: $rsentheta =d = "cost(t) " $ .
Ma non è detto che qualcosa debba ruotare. Dipende essenzialmente dai vincoli, che potrebbero reagire efficacemente a certi momenti applicati , impedendo la rotazione : è la natura del vincolo e il suo posizionamento nel corpo a determinare gli effetti; da poco abbiamo parlato di una porta di casa , che gira sui cardini: se tiri la porta verso l’alto o il basso, la possibilità di movimento (traslatorio!) dipende da come è vincolata. Non si può generalizzare.
Ma poi, perché il momento dovrebbe generare rotazione solo se la forza gira su una circonferenza? E perché “l’angolo della forza peso è variabile” ? Quale angolo ? Che vogliono dire queste idee, da dove saltano fuori?
È ovvio che, se il raggio vettore e/o la forza sono funzione del tempo, anche $vecM$ è funzione del tempo. Anche l’angsolo tra loro può variare nel tempo. Ma non è mica detto che il momento di una forza sia associato sempre alla rotazione! Prendi un polo fisso (in un riferimento inerziale,siamo più tranquilli...), e una forza la cui retta di azione, passante a distanza $d$ dal polo, non varia col tempo. Il modulo del momento è M =Fd, in questo caso è costante, e pure la direzione del vettore momento è costante, anche se sposti la forza lungo la sua retta di azione [nota]per chiarezza , quando si applica una forza ad un corpo, lo spostamento della forza lungo la sua retta di azione in un altro punto del corpo è lecita se si tratta di un corpo rigido, come lo si intende in meccanica razionale. Se la forza è applicata ad un corpo deformabile, come ad es. quelli che si studiano in teoria dell'elasticità, non è più una operazione lecita: si mantiene la forza nel punto del corpo deformabile dove è applicata.[/nota]: $rsentheta =d = "cost(t) " $ .
Ma non è detto che qualcosa debba ruotare. Dipende essenzialmente dai vincoli, che potrebbero reagire efficacemente a certi momenti applicati , impedendo la rotazione : è la natura del vincolo e il suo posizionamento nel corpo a determinare gli effetti; da poco abbiamo parlato di una porta di casa , che gira sui cardini: se tiri la porta verso l’alto o il basso, la possibilità di movimento (traslatorio!) dipende da come è vincolata. Non si può generalizzare.
Ma poi, perché il momento dovrebbe generare rotazione solo se la forza gira su una circonferenza? E perché “l’angolo della forza peso è variabile” ? Quale angolo ? Che vogliono dire queste idee, da dove saltano fuori?
Credo di capire cosa intende l'OP. E la risposta e': non in tutti i casi si puo' ottenere la velocita' angolare punto per punto.
Si puo' ottiene in tutti casi l'equazione differenziale del moto (e quindi per derivazione quella della velocita' angolare), ma non si puo' risolvere analiticamente.
Tipico caso e' il pendolo, in cui la forza peso, mantenendosi verticale, genera un momento in funzione dell'angolo fra il filo e la verticale, di modo che:'
$mgLsintheta=-mL^2ddottheta$
Questa equazione non si puo' risolvere se non per valori abbastanza piccoli di $theta$ che permettono di sostituire $sintheta$ con $theta$.
E' evidente he se la forza peso, per qualche scherzo di natura, rimanesse tangente alla circonferenza descritta dal filo, la nuova equazione
$mgL=-mL^2ddottheta$
sarebbe risolvibile analiticamente e potresti scrivere la $theta$ in funzione di $omega$ o quello che preferisci tu
Naturalmente se ho capito bene il senso della domanda...
Si puo' ottiene in tutti casi l'equazione differenziale del moto (e quindi per derivazione quella della velocita' angolare), ma non si puo' risolvere analiticamente.
Tipico caso e' il pendolo, in cui la forza peso, mantenendosi verticale, genera un momento in funzione dell'angolo fra il filo e la verticale, di modo che:'
$mgLsintheta=-mL^2ddottheta$
Questa equazione non si puo' risolvere se non per valori abbastanza piccoli di $theta$ che permettono di sostituire $sintheta$ con $theta$.
E' evidente he se la forza peso, per qualche scherzo di natura, rimanesse tangente alla circonferenza descritta dal filo, la nuova equazione
$mgL=-mL^2ddottheta$
sarebbe risolvibile analiticamente e potresti scrivere la $theta$ in funzione di $omega$ o quello che preferisci tu
Naturalmente se ho capito bene il senso della domanda...
Ciao e grazie ad entrambi, cerco di chiarire quello che intendo
Supponiamo di avere una forza $F$ che agisce su un punto vincolato ad un braccio $b$ di lunghezza $R$ e origine in $O$
Il momento angolare sarà $M=btimesF$ e supponiamo che l’angolo compreso tra $F$ e $b$ sia costante, allora
Essendo tutte quantità fisse avremo che $alpha$ costante.
A questo punto si può ottenere il moto angolare come $theta(t)=1/2alphat^2+omega_0t+theta_0$
Per la forza peso non posso trovare una formula simile per il moto ed è semplicemente dato dal fatto che l’angolo tra il braccio e la forza cambia nel tempo
In questo caso si avrà una cosa del tipo $Ialpha(t)=FRsinphi(t)$
Però a quanto ho capito è una cosa normalissima non poter trovare sempre formule chiuse per il moto angolare
Il dubbio è nato dal fatto che se $theta_1$ è l’angolo iniziale e $theta_2$ quello finale(sempre tra braccio e forza)
$M_2=FRsintheta_2=(FRsintheta_1)*(sintheta_2)/(sintheta_1)=(sintheta_2)/(sintheta_1)*M_1$
Quindi in genere il momento $M(t)$ può essere completamente descritto come $(sintheta(t))/(sintheta_1)*M_1$
Supponiamo di avere una forza $F$ che agisce su un punto vincolato ad un braccio $b$ di lunghezza $R$ e origine in $O$
Il momento angolare sarà $M=btimesF$ e supponiamo che l’angolo compreso tra $F$ e $b$ sia costante, allora
$Ialpha=RFsintheta => alpha=(RFsinphi)/I$
Essendo tutte quantità fisse avremo che $alpha$ costante.
A questo punto si può ottenere il moto angolare come $theta(t)=1/2alphat^2+omega_0t+theta_0$
Per la forza peso non posso trovare una formula simile per il moto ed è semplicemente dato dal fatto che l’angolo tra il braccio e la forza cambia nel tempo
In questo caso si avrà una cosa del tipo $Ialpha(t)=FRsinphi(t)$
Però a quanto ho capito è una cosa normalissima non poter trovare sempre formule chiuse per il moto angolare
Il dubbio è nato dal fatto che se $theta_1$ è l’angolo iniziale e $theta_2$ quello finale(sempre tra braccio e forza)
$M_2=FRsintheta_2=(FRsintheta_1)*(sintheta_2)/(sintheta_1)=(sintheta_2)/(sintheta_1)*M_1$
Quindi in genere il momento $M(t)$ può essere completamente descritto come $(sintheta(t))/(sintheta_1)*M_1$
Un braccio rigido $b$ , posto nel campo gravitazionale e imperniato in alto, libero di ruotare , non è altro che un pendolo fisico, con oscillazioni comunque ampie. Quello che dici è giusto, ma il dubbio qual è ?
Diciamo che era legato all’interesse di trovare l’espressione del moto angolare di alcune forze, ma a quanto pare va distinto caso per caso
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