Momento di inerzia con masse di una figura composta
Salve, dovrei risolvere un problema di meccanica razionale relativo ai momenti di inerzia. Ho questo profilato composto di massa $ 3m $:
Di questo ho già calcolato il baricentro tramite formula di Varignon, scomponendo in due rettangoli (lungo una verticale) il profilato e dovrebbe corrispondere al punto $ (7/4h, 5/6h) $ .
Adesso devo calcolare i momenti di inerzia rispetto all'asse x (coincidente con la base). Non ho ben capito la differenza tra la formula $ 1/3bh^3 $ e $ 1/12mh^2 $, ma se mi viene data la massa nella traccia, dovrei utilizzare la seconda. Il problema è che scomponendo, dovrei sommare le inerzie delle due parti che compongono il profilato, ed utilizzando la $ 1/12mh^2 $, come posso continuare per quanto riguarda la massa?
Di questo ho già calcolato il baricentro tramite formula di Varignon, scomponendo in due rettangoli (lungo una verticale) il profilato e dovrebbe corrispondere al punto $ (7/4h, 5/6h) $ .
Adesso devo calcolare i momenti di inerzia rispetto all'asse x (coincidente con la base). Non ho ben capito la differenza tra la formula $ 1/3bh^3 $ e $ 1/12mh^2 $, ma se mi viene data la massa nella traccia, dovrei utilizzare la seconda. Il problema è che scomponendo, dovrei sommare le inerzie delle due parti che compongono il profilato, ed utilizzando la $ 1/12mh^2 $, come posso continuare per quanto riguarda la massa?
Risposte
L'area totale della figura e' $1.5h*h+1.5h*2h=4.5h^2$.
La densita e' pertanto: ${3m}/{4.5h^2}$
Momento di inerzia rettangolo "di sinistra"
$ int_{y=0}^{y=h} dmy^2=int_{y=0}^{y=h}\rho*1.5h*dy*y^2=1.5h*{3m}/{4.5h^2}*1/3h^3=1/3mh^2 $
Stesso ragionamento con il rettangolo di destra, ti dovrebbe dare $8/3mh^2$
Il totale ti da (a meno di errori, probabili quando si fanno i conti con l'editor!)
$I=3mh^2$
La densita e' pertanto: ${3m}/{4.5h^2}$
Momento di inerzia rettangolo "di sinistra"
$ int_{y=0}^{y=h} dmy^2=int_{y=0}^{y=h}\rho*1.5h*dy*y^2=1.5h*{3m}/{4.5h^2}*1/3h^3=1/3mh^2 $
Stesso ragionamento con il rettangolo di destra, ti dovrebbe dare $8/3mh^2$
Il totale ti da (a meno di errori, probabili quando si fanno i conti con l'editor!)
$I=3mh^2$
Perfetto, ma mi sapreste dire è qual è la differenza tra la formula $ 1/3bh^3 $ e $ 1/12mh^2 $?
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