Momento di inerzia
Salve a tutti.
Ho un problema nel calcolo del momento di inerzia di un sistema costituito da un asta omogenea $AO$ di massa $M$ e lunghezza $l$ e da una lamina forata di massa $m$ e lato pari ad $l$ sulla quale è ricavato un foro quadrato (ma ruotato come in figura) con lato di lunghezza pari a $l/sqrt 2$.
Il sistema ruota intorno all'origine $O$ del sistema di riferimento $Oxy$.
Ho problemi a calcolare il momento di inerzia della lamina forata. Ho fatto come segue.
Il momento di inerzia lo calcolo con l'equazione $I= \sigma r^2 dS$, dove $\sigma$ è la densità superficiale, $dS$ la superficie infinitesima della lamina.
Quindi, per il quadrato supposto senza foro ottengo che:
$\sigma= m/l^2 $
$I_{ x x}= int_{-l/2}^{l/2} m/l^2 y^2 l dy= 1/12 m l^2$
$I_{yy}=int_{-l/2}^{l/2} m/l^2 x^2 l dx= 1/12 m l^2$
$I_{zz}=I_{ x x} + I_{yy}= 1/6 m l^2$
Per il foro quadrato ottengo invece:
$\sigma= 2m/l^2$
Quindi:
$I_{ x x }= int_{-l/2}^{l/2} 2m/l^2 2 y^2 (l/2 -y) dy = 1/6 m l^2 $
$I_{yy}= int_{-l/2}^{l/2} 2m/l^2 2x^2 (l/2 - x) dx= 1/6 m l^2$
$I_{zz}=I_{ x x} + I_{yy}= 1/3 m l^2$
Il momento di inerzia della lamina forata la calcolo come differenza tra il momento di inerzia della lamina quadrata "intera" e il momento di inerzia del foro quadrato.
Quindi:
$I=(1/6 - 1/3) m l^2$
E già il valore negativo non mi torna.
Evito anche di proseguire con il teorema di Huygens-Steiner.
Ho un problema nel calcolo del momento di inerzia di un sistema costituito da un asta omogenea $AO$ di massa $M$ e lunghezza $l$ e da una lamina forata di massa $m$ e lato pari ad $l$ sulla quale è ricavato un foro quadrato (ma ruotato come in figura) con lato di lunghezza pari a $l/sqrt 2$.
Il sistema ruota intorno all'origine $O$ del sistema di riferimento $Oxy$.
Ho problemi a calcolare il momento di inerzia della lamina forata. Ho fatto come segue.
Il momento di inerzia lo calcolo con l'equazione $I= \sigma r^2 dS$, dove $\sigma$ è la densità superficiale, $dS$ la superficie infinitesima della lamina.
Quindi, per il quadrato supposto senza foro ottengo che:
$\sigma= m/l^2 $
$I_{ x x}= int_{-l/2}^{l/2} m/l^2 y^2 l dy= 1/12 m l^2$
$I_{yy}=int_{-l/2}^{l/2} m/l^2 x^2 l dx= 1/12 m l^2$
$I_{zz}=I_{ x x} + I_{yy}= 1/6 m l^2$
Per il foro quadrato ottengo invece:
$\sigma= 2m/l^2$
Quindi:
$I_{ x x }= int_{-l/2}^{l/2} 2m/l^2 2 y^2 (l/2 -y) dy = 1/6 m l^2 $
$I_{yy}= int_{-l/2}^{l/2} 2m/l^2 2x^2 (l/2 - x) dx= 1/6 m l^2$
$I_{zz}=I_{ x x} + I_{yy}= 1/3 m l^2$
Il momento di inerzia della lamina forata la calcolo come differenza tra il momento di inerzia della lamina quadrata "intera" e il momento di inerzia del foro quadrato.
Quindi:
$I=(1/6 - 1/3) m l^2$
E già il valore negativo non mi torna.
Evito anche di proseguire con il teorema di Huygens-Steiner.
Risposte
"Wintel":
Salve a tutti.
Ho un problema nel calcolo del momento di inerzia di un sistema costituito da un asta omogenea $AO$ di massa $M$ e lunghezza $l$ e da una lamina forata di massa $m$ e lato pari ad $l$ sulla quale è ricavato un foro quadrato (ma ruotato come in figura) con lato di lunghezza pari a $l/sqrt 2$.
Il sistema ruota intorno all'origine $O$ del sistema di riferimento $Oxy$.
Ho problemi a calcolare il momento di inerzia della lamina forata. Ho fatto come segue.
Il momento di inerzia lo calcolo con l'equazione $I= \sigma r^2 dS$, dove $\sigma$ è la densità superficiale, $dS$ la superficie infinitesima della lamina.
Quindi, per il quadrato supposto senza foro ottengo che:
$\sigma= m/l^2 $
$I_{ x x}= int_{-l/2}^{l/2} m/l^2 y^2 l dy= 1/12 m l^2$
$I_{yy}=int_{-l/2}^{l/2} m/l^2 x^2 l dx= 1/12 m l^2$
$I_{zz}=I_{ x x} + I_{yy}= 1/6 m l^2$
Per il foro quadrato ottengo invece:
$\sigma= 2m/l^2$
Ecco l'errore. Perchè poni la densità del foro quadrato uguale a due volte la densità del foro intero ? Può mai essere ?
LA densità superficiale è costante. Quindi è la massa del foro quadrato che devi calcolare!
Ma è banale : la massa del foro è uguale a metà della massa del quadrato intero :
$m_f = m/2$
Adesso puoi proseguire? Per il foro, viste le simmetrie, il m.i. rispetto all'asse baricentrico $z$ è quasi immediato….basta che consideri come hai calcolato $I_(zz)$ del quadrato intero, e tieni conto della massa $m_f$ …….
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