Momento della forza e momento angolare
Due pattinatrici, aventi ciascuna $50 kg$ di massa,vanno l'una verso l'altra con velocità d'intensità uguale e verso opposto di $1,4 m/s$ su due corsie parallele separate di $3 m$.
Come si vede, dall'alto, la prima regge l'estremità di una lunga asta di massa trascurabile, che l'altra afferra al passaggio per l'opposta estremità. Si ammette che il ghiaccio sia privo di attrito.
a)Trovate il raggio della circonferenza e
b)le velocità angolari delle pattinatrici dopo l'incontro.
c)Quant'è l'energia cinetica del sistema?
Tirandosi lungo l'asta, esse riducono poi a $1 m$ la distanza che le separa.
d)Qual'è a questo punto la loro velocità angolare?
e)Calcolate sul medesimo istante l'energia cinetica del sistema.
f)Da dove proviene l'energia cinetica aggiuntiva?
Penso sia meglio leggersi anche la versione originale in inglese per capire meglio il testo:
Preso da qui: http://faculty.ksu.edu.sa/alzayed/210/Chapter%2011.pdf
Mentre nella versione italiana è l'es.35: ftp://docenti.ing.units.it/arc_stud/Del ... iCap11.pdf
a)Il raggio è 1.5 metri perchè se loro ruotano e sono a distanza di 3 metri, visto che devono sempre essere equidistanti dal centro il raggio deve essere la metà della distanza che le separa.
b)$w=v/R = 0.93 (rad)/s$
c)Il momento d'inerzia è:
$I=m*r^2+m*r^2=2m*r^2= 225 kg *m^2$
Quindi l'energia cinetica
$K=1/2 * I *w^2 = 1/2 * 2m * r^2 *w^2=194.6 J $
ma è sbagliato perchè dovrebbe risultare $98 J$...
Però se faccio
$K=1/2 * m *v^2 + 1/2*m*v^2 = 98J$...
Ma perchè? Nella versione inglese dice: "Poi iniziano a ruotare ..."
Allora di che energia cinetica stiamo parlando? Non dovrebbe essere quella rotazionale?
E poi la quantità di moto non dovrebbe risultare 0 visto che le 2 pattinatrici, aventi la stessa massa, vanno a stessa velocità in verso opposto?
E dato che, all'inizio, prima di iniziare la rotazione, la velocità (e dunque il vettore quantità di moto) è nella stessa drezione del vettore posizione, il momento angolare non dovrebbe risultare anch'esso zero?
Come si vede, dall'alto, la prima regge l'estremità di una lunga asta di massa trascurabile, che l'altra afferra al passaggio per l'opposta estremità. Si ammette che il ghiaccio sia privo di attrito.
a)Trovate il raggio della circonferenza e
b)le velocità angolari delle pattinatrici dopo l'incontro.
c)Quant'è l'energia cinetica del sistema?
Tirandosi lungo l'asta, esse riducono poi a $1 m$ la distanza che le separa.
d)Qual'è a questo punto la loro velocità angolare?
e)Calcolate sul medesimo istante l'energia cinetica del sistema.
f)Da dove proviene l'energia cinetica aggiuntiva?
Penso sia meglio leggersi anche la versione originale in inglese per capire meglio il testo:
Preso da qui: http://faculty.ksu.edu.sa/alzayed/210/Chapter%2011.pdf
Mentre nella versione italiana è l'es.35: ftp://docenti.ing.units.it/arc_stud/Del ... iCap11.pdf
a)Il raggio è 1.5 metri perchè se loro ruotano e sono a distanza di 3 metri, visto che devono sempre essere equidistanti dal centro il raggio deve essere la metà della distanza che le separa.
b)$w=v/R = 0.93 (rad)/s$
c)Il momento d'inerzia è:
$I=m*r^2+m*r^2=2m*r^2= 225 kg *m^2$
Quindi l'energia cinetica
$K=1/2 * I *w^2 = 1/2 * 2m * r^2 *w^2=194.6 J $
ma è sbagliato perchè dovrebbe risultare $98 J$...
Però se faccio
$K=1/2 * m *v^2 + 1/2*m*v^2 = 98J$...
Ma perchè? Nella versione inglese dice: "Poi iniziano a ruotare ..."
Allora di che energia cinetica stiamo parlando? Non dovrebbe essere quella rotazionale?
E poi la quantità di moto non dovrebbe risultare 0 visto che le 2 pattinatrici, aventi la stessa massa, vanno a stessa velocità in verso opposto?
E dato che, all'inizio, prima di iniziare la rotazione, la velocità (e dunque il vettore quantità di moto) è nella stessa drezione del vettore posizione, il momento angolare non dovrebbe risultare anch'esso zero?
Risposte
"Atem":
...
c)Il momento d'inerzia è:
$I=m*r^2+m*r^2=2m*r^2= 225 kg *m^2$
Quindi l'energia cinetica
$K=1/2 * I *w^2 = 1/2 * 2m * r^2 *w^2=194.6 J $
ma è sbagliato perchè dovrebbe risultare $98 J$......
$K=1/2 * I *omega^2 = 1/2 * 2*m * r^2 *(v/r)^2=m*v^2=50*1.4^2 \ J=98 \ J$
"chiaraotta":
[quote="Atem"]...
c)Il momento d'inerzia è:
$I=m*r^2+m*r^2=2m*r^2= 225 kg *m^2$
Quindi l'energia cinetica
$K=1/2 * I *w^2 = 1/2 * 2m * r^2 *w^2=194.6 J $
ma è sbagliato perchè dovrebbe risultare $98 J$......
$K=1/2 * I *omega^2 = 1/2 * 2*m * r^2 *(v/r)^2=m*v^2=50*1.4^2 \ J=98 \ J$[/quote]
Ah ecco, avevo usato 100kg invece di 50kg...
E poi per il punto d)
Io calcolo il momento d'inerzia ora che il raggio è 0.5m
$I=2m*r^2=2*50*0.25=25Kg*m^2$
Quindi dovrei usare la conservazione del momento angolare?
$I_1*w=l$
ma se $l$ era uguale a zero... come ci salto fuori? :\
Io calcolo il momento d'inerzia ora che il raggio è 0.5m
$I=2m*r^2=2*50*0.25=25Kg*m^2$
Quindi dovrei usare la conservazione del momento angolare?
$I_1*w=l$
ma se $l$ era uguale a zero... come ci salto fuori? :\
\[I_{i}\omega_{i}=I_{f}\omega_{f}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\omega_{f}=\frac{I_{i}}{I_{f}}\omega_{i}\]
d) Il momento angolare si conserva. Se quello iniziale era
$I omega$,
con
$I=2*m*r^2$
e
$omega=v/r$,
quello finale è
$I' omega'$,
con
$I'=2*m*r'^2$
e
$omega'$ incognita.
Da cui
$I omega=I' omega'->omega'=I/(I') omega=(2*m*r^2)/(2*m*r'^2) v/r=(r v)/(r'^2)=(1.5*1.4)/0.5^2 \ rad*s^-1=8.4 \ rad*s^-1$.
e)
$K'=1/2I'omega'^2=1/2*2m*r'^2*((r v)/(r'^2))^2=m((rv)/(r'))^2=50((1.5*1.4)/0.5)^2 \ J=882 \ J$.
$I omega$,
con
$I=2*m*r^2$
e
$omega=v/r$,
quello finale è
$I' omega'$,
con
$I'=2*m*r'^2$
e
$omega'$ incognita.
Da cui
$I omega=I' omega'->omega'=I/(I') omega=(2*m*r^2)/(2*m*r'^2) v/r=(r v)/(r'^2)=(1.5*1.4)/0.5^2 \ rad*s^-1=8.4 \ rad*s^-1$.
e)
$K'=1/2I'omega'^2=1/2*2m*r'^2*((r v)/(r'^2))^2=m((rv)/(r'))^2=50((1.5*1.4)/0.5)^2 \ J=882 \ J$.
"chiaraotta":
d) Il momento angolare si conserva. Se quello iniziale era
$I omega$,
con
$I=2*m*r^2$
e
$omega=v/r$,
quello finale è
$I' omega'$,
con
$I'=2*m*r'^2$
e
$omega'$ incognita.
Da cui
$I omega=I' omega'->omega'=I/(I') omega=(2*m*r^2)/(2*m*r'^2) v/r=(r v)/(r'^2)=(1.5*1.4)/0.5^2 \ rad*s^-1=8.4 \ rad*s^-1$.
e)
$K'=1/2I'omega'^2=1/2*2m*r'^2*((r v)/(r'^2))^2=m((rv)/(r'))^2=50((1.5*1.4)/0.5)^2 \ J=882 \ J$.
Ok grazie mille questo lo capisco ma potresti spiegarmi perchè è sbagliato quello che ho detto prima?
La cosa che non mi rende chiara il problema sta all'inizio e cioè le 2 pattinatrici pattinano su moto rettilineo uniforme PRIMA di iniziare a ruotare cioè prima di iniziare il moto circolare uniforme dunque momento angolare e quantità di moto non dovrebbero essere uguali a zero per le seguenti ragioni: ?
"Atem":
E poi la quantità di moto non dovrebbe risultare 0 visto che le 2 pattinatrici, aventi la stessa massa, vanno a stessa velocità in verso opposto?
E dato che, all'inizio, prima di iniziare la rotazione, la velocità (e dunque il vettore quantità di moto) è nella stessa drezione del vettore posizione, il momento angolare non dovrebbe risultare anch'esso zero?
E se dopo si conserva non dovrebbe continuare a risultare zero il momento angolare? E invece a conti fatti non è così...
Se avesse detto che sin dall'inizio ruotavano allora non avrei avuto problemi ma il punto che mi sta tormentando è questo visto che loro pattinavano nella stessa direzione con stessa velocità ma di segno opposto e visto che hanno pure uguale massa...
Questo è l'HINT di quel problema:
(b) The total angular momentum of the skaters is conserved. While the skaters are skating along
straight lines, each has an angular momentum of mvd/2 about the center of the circle. Here
d is the separation of the skaters. After they start skating around the circle each has an angular
momentum of m(d/2)2ω, where ω is their angular speed. Equate the two expression for the total
angular momentum and solve for ω.
http://www.ceaedizioni.it/ita/servizi/e ... ch11ok.pdf
Se ognuna di loro in un dato istante ha momento angolare mvd/2 ma v è di segno opposto il momento angolare complessivo non diventa 0?
RIcordati che risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati in punti diversi dello spazio, sono grandezze indipendenti. Ad esempio nel nostro caso la risultante delle quantità di moto è nulla (cioè il moto del centro di massa non viene perturbato) ma il momento risultante (cioè il momento angolare totale) è non nullo, infatti le quantità di moto formano una coppia, cioè il momento angolare totale dipende solo dalla distanza che separa le due pattinatrici
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}\hspace{2cm}L=dp\]
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}\hspace{2cm}L=dp\]
"Cuspide83":
RIcordati che risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati in punti diversi dello spazio, sono grandezze indipendenti. Ad esempio nel nostro caso la risultante delle quantità di moto è nulla (cioè il moto del centro di massa non viene perturbato) ma il momento risultante (cioè il momento angolare totale) è non nullo, infatti le quantità di moto formano una coppia, cioè il momento angolare totale dipende solo dalla distanza che separa le due pattinatrici
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}\hspace{2cm}L=dp\]
Ma qui si parte dall'idea però che secondo il problema le pattinatrici inizino a ruotare attorno al polo sin dall'istante 0?
Io mi riferivo all'istante prima in cui loro iniziano a ruotare, come suggerito dall'HINT.
Quindi dici che quel $1,4 m/s$ si riferisca al primo istante in cui loro iniziano a ruotare vero?
Prima di quell'istante non sappiamo nulla?
Perchè se quel $1.4 m/s$ fosse riferito all'istante precedente in cui inizi il moto di rotazione noi avremmo che quel prodotto vettoriale fra $vec(r)$ ed $m*vec(v)$ darebbe 0 visto che i 2 vettori stanno nella stessa direzione...
E' questo l'errore che ho fatto e cioè di aver male interpretato il problema (e purtroppo non è la prima volta nè la seconda che mi capita...)
Dunque in definitiva quei valori di velocità sono riferiti già al moto rotatorio circolare uniforme e non ad un istante precedente vero?
Sia PRIMA della rotazione che DURANTE la rotazione le quantità di moto formano una coppia (cioè vettori paralleli uguali e opposti), ovvero come ho scritto prima la quantità di moto totale è nulla ma il momento angolare totale che è non nullo ha modulo dipendente solo dalla distanza che separa le due pattinatrici \(L=dp\).
"Cuspide83":
Sia PRIMA della rotazione che DURANTE la rotazione le quantità di moto formano una coppia (cioè vettori paralleli uguali e opposti), ovvero come ho scritto prima la quantità di moto totale è nulla ma il momento angolare totale che è non nullo ha modulo dipendente solo dalla distanza che separa le due pattinatrici \(L=dp\).
Ma quindi questo vuol dire che il momento angolare totale non può mai essere nullo?
Se la definizione vettoriale è
$vec(L)=vec(r) X mvec(v)$
Nel caso in cui $vec(r)$ e $vec(v)$ si trovino nella stessa direzione il risultato non dovrebbe dare 0?
PS: come si scrive su questo forum il simbolo drll'operatore prodotto vettoriale?
Ricorda che i momenti vanno riferiti verso un dato polo:
considera un vettore non nullo orizzontale, se prendi un qualunque polo lungo la sua retta d'azione il suo momento sarà sempre nullo, se invece prendi un polo "fuori" dalla sua retta d'azione il momento dipenderà sempre dalla distanza che separa il polo dalla retta.
Nel tuo caso ripeto (è un caso particolare, la cosiddetta coppia) il momento totale vale \(L=dp\) quindi potrebbe essere nullo solo se \(d=0\) ovvero se le ballerine viaggiassero sulla stessa retta d'azione o se entrambe fossero in quiete.
considera un vettore non nullo orizzontale, se prendi un qualunque polo lungo la sua retta d'azione il suo momento sarà sempre nullo, se invece prendi un polo "fuori" dalla sua retta d'azione il momento dipenderà sempre dalla distanza che separa il polo dalla retta.
Nel tuo caso ripeto (è un caso particolare, la cosiddetta coppia) il momento totale vale \(L=dp\) quindi potrebbe essere nullo solo se \(d=0\) ovvero se le ballerine viaggiassero sulla stessa retta d'azione o se entrambe fossero in quiete.
Si scrive "\times". Se prendi un polo lungo la retta d'azione della prima ballerina si annullerà il suo momento angolare, ma non l'altro infatti la seconda quantità di moto e il secondo raggio vettore non sono paralleli. Il polo DEVE essere UNICO per tutti i vettori.
Ora lo riscrivo, prendiamo un QUALUNQUE polo avremo un raggio vettore \(\vec{r}_{1}\) che parte dal polo e arriva alla prima ballerina, e avremo un raggio vettore \(\vec{r}_{2}\) che parte dal polo e arriva alla seconda ballerina.
Calcoliamo ora il momento angolare totale
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}\]
ora essendo \(\vec{p}_{2}=-\vec{p}_{1}\)
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}-\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}_{1}\]
ora il vettore \((\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\) che chiamo \(\vec{a}\) può essere scomposto in due direzioni, una parallela e una ortogonale alla direzione del vettore quantità di moto, per cui
\[\vec{L}=\vec{a}\times\vec{p}=(\vec{a}_{\parallel}+\vec{a}_{\perp})\times\vec{p}=\vec{a}_{\perp}\times\vec{p}\]
cioè in modulo
\[L=dp\]
in quanto la distanza \(d\) (distanza tra le direzioni delle quantità di moto) è proprio il modulo del vettore \(\vec{a}_{\perp}\)
Quindi come vedi nel CASO DI UNA COPPIA di vettori il momento di questi vettori NON dipende dalla scelta del polo (infatti noi ne abbiamo preso uno generico), ma dipende solo dalla distanza che separa le due rette d'azione.
Ora lo riscrivo, prendiamo un QUALUNQUE polo avremo un raggio vettore \(\vec{r}_{1}\) che parte dal polo e arriva alla prima ballerina, e avremo un raggio vettore \(\vec{r}_{2}\) che parte dal polo e arriva alla seconda ballerina.
Calcoliamo ora il momento angolare totale
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}\]
ora essendo \(\vec{p}_{2}=-\vec{p}_{1}\)
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}-\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}_{1}\]
ora il vettore \((\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\) che chiamo \(\vec{a}\) può essere scomposto in due direzioni, una parallela e una ortogonale alla direzione del vettore quantità di moto, per cui
\[\vec{L}=\vec{a}\times\vec{p}=(\vec{a}_{\parallel}+\vec{a}_{\perp})\times\vec{p}=\vec{a}_{\perp}\times\vec{p}\]
cioè in modulo
\[L=dp\]
in quanto la distanza \(d\) (distanza tra le direzioni delle quantità di moto) è proprio il modulo del vettore \(\vec{a}_{\perp}\)
Quindi come vedi nel CASO DI UNA COPPIA di vettori il momento di questi vettori NON dipende dalla scelta del polo (infatti noi ne abbiamo preso uno generico), ma dipende solo dalla distanza che separa le due rette d'azione.
"Cuspide83":
Si scrive "\times". Se prendi un polo lungo la retta d'azione della prima ballerina si annullerà il suo momento angolare, ma non l'altro infatti la seconda quantità di moto e il secondo raggio vettore non sono paralleli. Il polo DEVE essere UNICO per tutti i vettori.
(dimostrazione)
Ahh ok finalmente l'ho capito, grazie mille per la pazienza che hai avuto xD
Però ho una curiosità su questo punto:
Cosa succederebbe se le ballerine avessero la stessa quantità di moto nel senso che i loro vettori velocità avrebbero lo stesso verso? Avremmo:
ora essendo \(\vec{p}_{2}=+\vec{p}_{1}\)
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{1}+\vec{r}_{2})\times\vec{p}_{1}\]
Ora fermo restando che se avessero lo stesso verso di velocità non sarebbe una rotazione ma l'asta andrebbe dritta di moto rettilineo uniforme questo fisicamente cosa vorrebbe dire? In questo caso noi avremmo l'esatto contrario di quello che abbiamo avuto prima e cioè che il momento angolare sarebbe 0 mentre la quantità di moto sarebbe doppia. E' dunque questo il senso del momento angolare rapportato con quello della quantità di moto? E cioè che se abbiamo momento angolare=0 allora non c'è rotazione e che per esserci moto circolare uniforme abbiamo bisogno che la quantità di moto sia 0 mentre il momento angolare deve essere diverso da 0?
"Cuspide83":
ora essendo \(\vec{p}_{2}=-\vec{p}_{1}\)
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}-\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})\times\vec{p}_{1}\]
Cosa succederebbe se le ballerine avessero la stessa quantità di moto nel senso che i loro vettori velocità avrebbero lo stesso verso? Avremmo:
ora essendo \(\vec{p}_{2}=+\vec{p}_{1}\)
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{1}=(\vec{r}_{1}+\vec{r}_{2})\times\vec{p}_{1}\]
Ora fermo restando che se avessero lo stesso verso di velocità non sarebbe una rotazione ma l'asta andrebbe dritta di moto rettilineo uniforme questo fisicamente cosa vorrebbe dire? In questo caso noi avremmo l'esatto contrario di quello che abbiamo avuto prima e cioè che il momento angolare sarebbe 0 mentre la quantità di moto sarebbe doppia. E' dunque questo il senso del momento angolare rapportato con quello della quantità di moto? E cioè che se abbiamo momento angolare=0 allora non c'è rotazione e che per esserci moto circolare uniforme abbiamo bisogno che la quantità di moto sia 0 mentre il momento angolare deve essere diverso da 0?
In questo caso (non viene chiamata coppia perchè i vettori anche se uguali e paralleli sono concordi), il momento dipenderebbe dalla scelta del polo.
La quantità di moto è non nulla ma il momento angolare non necessariamente è nullo dipende appunto dalla scelta del polo.
No aspetta fermooooooooo non correre:
quando abbiamo vettori applicati tutti in un punto (come nel caso di un punto materiale) la risultante e il momento risultante di questi vettori sono grandezze dipendenti. Se invece abbiamo vettori applicati in punti diversi (come accade nei sistemi di punti materiali) risultante e momento risultante di questi vettori sono grandezze indipendenti. E' questo che devi ricordare.
La quantità di moto è non nulla ma il momento angolare non necessariamente è nullo dipende appunto dalla scelta del polo.
No aspetta fermooooooooo non correre:
quando abbiamo vettori applicati tutti in un punto (come nel caso di un punto materiale) la risultante e il momento risultante di questi vettori sono grandezze dipendenti. Se invece abbiamo vettori applicati in punti diversi (come accade nei sistemi di punti materiali) risultante e momento risultante di questi vettori sono grandezze indipendenti. E' questo che devi ricordare.
"Cuspide83":
In questo caso (non viene chiamata coppia perchè i vettori anche se uguali e paralleli sono concordi), il momento dipenderebbe dalla scelta del polo.
La quantità di moto è non nulla ma il momento angolare non necessariamente è nullo dipende appunto dalla scelta del polo.
Mi riferivo al caso in cui il polo scelto sia il punto medio del segmento che congiunge la posizione delle due particelle (o ballerine in questo caso).
Si scegliendo quel polo il momento angolare è nullo perchè somma di due momenti angolari opposti.
"Cuspide83":
Si scegliendo quel polo il momento angolare è nullo perchè somma di due momenti angolari opposti.
Ma quindi la seguente affermazione:
"ogni qualvolta il momento angolare complessivo è nullo NON c'è rotazione"
è sempre vera oppure possono esserci dei casi in cui non vale?
Supponi di avere due punti materiali di diversa massa che descrivono circonferenze concentriche distinte con verso opposto e velocità diverse in modulo.
Prendiamo come polo l'origine di queste circonferenze, abbiamo
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}\]
da cui
\[L=r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\]
cioè se scegliamo un sistema che mantenga queste proporzioni sicuramente rispetto al nostro polo il momento angolare è nullo pur essendoci rotazione.
Prendiamo come polo l'origine di queste circonferenze, abbiamo
\[\vec{L}=\vec{r}_{1}\times\vec{p}_{1}+\vec{r}_{2}\times\vec{p}_{2}\]
da cui
\[L=r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}=0\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\]
cioè se scegliamo un sistema che mantenga queste proporzioni sicuramente rispetto al nostro polo il momento angolare è nullo pur essendoci rotazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo