Momento d inerzia.
Buongiorno. Sto impazzendo con il momento d inerzia. Dovrebbe essere una cosa semplicissima dal momento che so svolgere anche gli integrali tripli ma forse sbaglio proprio ad impostarlo. Purtroppo non ho trovato esercizi svolti per poter capire meglio e n'èanche nella barra di ricerca qui.
Ad esempio per calcolare il momento d inerzia di un parallelepipedo (L,L,3L) passante per il centro del lato più lungo come posso fare?
So che $ I= int_()^() R^2 dm = int_()^() rho R^2 dv $
$ dV= 9L^2 $ e $ rho = M/ (3L^2 ) $
Ma so che già da qui c è qualche cosa che non va. Ora il problema non è questo esercizio in particolare ma il calcolo del momento d inerzia in generale. Grazie in anticipo
Ad esempio per calcolare il momento d inerzia di un parallelepipedo (L,L,3L) passante per il centro del lato più lungo come posso fare?
So che $ I= int_()^() R^2 dm = int_()^() rho R^2 dv $
$ dV= 9L^2 $ e $ rho = M/ (3L^2 ) $
Ma so che già da qui c è qualche cosa che non va. Ora il problema non è questo esercizio in particolare ma il calcolo del momento d inerzia in generale. Grazie in anticipo
Risposte
Devi chiarire innanzitutto che cosa passa per il centro del lato più lungo
Un asse di rotazione
Diretto come? Per un punto dello spazio passa una "stella" di rette. Devi essere più precisa.
Diretto ortogonalmente
Ortogonalmente a chi ? Sabrina, dobbiamo fare domanda e risposta ogni volta?
Hai un parallelepipedo di lati $a,b,c$ , e di massa $M$ . Se prendi un asse baricentrico, perpendicolare alla faccia di lati $a$ e $b$ e quindi parallelo a $c$ , il momento di inerzia rispetto a tale asse è dato da:
$I = M(a^2/(12) + b^2/(12)) $
Ora, rispetto a quale asse vuoi calcolare il momento di inerzia? SE il tuo asse è parallelo a questo, basta applicare il teorema di Steiner.
LA dimostrazione della formula detta è anche qui :
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia
Hai un parallelepipedo di lati $a,b,c$ , e di massa $M$ . Se prendi un asse baricentrico, perpendicolare alla faccia di lati $a$ e $b$ e quindi parallelo a $c$ , il momento di inerzia rispetto a tale asse è dato da:
$I = M(a^2/(12) + b^2/(12)) $
Ora, rispetto a quale asse vuoi calcolare il momento di inerzia? SE il tuo asse è parallelo a questo, basta applicare il teorema di Steiner.
LA dimostrazione della formula detta è anche qui :
http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_di_inerzia
Ah ok perfetto. Sbagliavo proprio nel procedimento perché inserivo nel calcolo anche il lato parallelo all asse di rotazione. Effettivamente così sembra quadrare tutto 
per studiare sto usando il Marcellini sbordone ma alcune parti, come questa, non sono trattate ma viene data la formula generale e basta. Grazie mille per la tua chiarezza... Proverò subito ad applicare in qualche esercizio.
per studiare sto usando il Marcellini sbordone ma alcune parti, come questa, non sono trattate ma viene data la formula generale e basta. Grazie mille per la tua chiarezza... Proverò subito ad applicare in qualche esercizio.
"Sabrina90":
Ah ok perfetto Sbagliavo proprio nel procedimento perché inserivo nel calcolo anche il lato parallelo all asse di rotazione…...
Attenta Sabrina! Il lato parallelo all'asse in realtà c'è , poiché comunque si tratta di un integrale triplo, rispetto a $dxdydz$ . Guarda bene l'integrale. Alla fine, il lato $c$ va a finire nel volume : $abc$ . Chiaro?
Allora forse no non è chiaro. Domani rileggerò tutta la conversazione con un esempio sotto mano... Magari va meglio. Ora dopo 13 ore di studio mi merito un po' di riposo. Intanto grazie.
L integrale triplo mi viene $ 10 l^5 $ . (Numericamente i lati erano L, L, 3L). Ma te hai considerato fratto 12 perché le hai scritte come lastre sottili? Inoltre se semplifico con $ M/(12L^3) $ il risultato è corretto. Solamente che come mi hai dato la formula tu, cioè con la massa, non avrei mai questo denominatore. Scusami tanto
Sabrina, io mi riferivo all'integrale triplo che è nel calcolo posto su wikipedia: lo hai attentamente considerato?
È correttissimo.
MA se non dici dove è messo il tuo asse, che a quanto ho capito non è baricentrico, io non posso risponderti. A seconda della posizione dell'asse , $I$ cambia, è chiaro?
Vuoi avere la bontà di scrivere il tuo testo, e di farci capire dove e come è messo l'asse rispetto al quale devi calcolare il momento di inerzia?
È correttissimo.
MA se non dici dove è messo il tuo asse, che a quanto ho capito non è baricentrico, io non posso risponderti. A seconda della posizione dell'asse , $I$ cambia, è chiaro?
Vuoi avere la bontà di scrivere il tuo testo, e di farci capire dove e come è messo l'asse rispetto al quale devi calcolare il momento di inerzia?
Questo è il testo. L asse passa al centro del parallelepipedo (infatti negli integrali ho integrato il lato y e z $ -L/2 , L/2 $ mentre tra x tra $ -3L/3 , 3L/3 $
Quindi la formula che mi hai dato, ovvero il link di wikipedia, è un risultato finale, cioè una formula da utilizzare sempre nel caso di parallelepipedi in cui l asse di rotazione passi per il centro di massa
Il problema è che vorrei calcolarlo e non imparare formule a memoria. Alla fine dell integrazione ho $ rho 10L^5 $
Ma se sostituisco $ rho = M/V = M/3L^3 $ i conti non tornano. Dove sbaglio?
Ma se sostituisco $ rho = M/V = M/3L^3 $ i conti non tornano. Dove sbaglio?
Su wikipedia c'è anche il calcolo esplicito esatto dell'integrale triplo, ma da quello che mi dici penso tu abbia sbagliato l'integrale. Che io non rifaccio, scusa. Piuttosto, chiarisco questo:
Sai che una massa, per un corpo omogeneo, è il prodotto del volume per la densità : $M = \rhoV$
Analogamente, il momento di inerzia di massa si ottiene dal momento di inerzia di volume moltiplicando questo per la densità : $ I_M = \rho*I_V$ . Ci sei fino a questo punto ? Ovviamente : $ \rho = M/V$
Quindi, in casi semplici di solidi omogenei, si può :
1) calcolare il momento di inerzia di volume $I_V$ (ovvero di superficie, di linea…a seconda dei casi, cioè di quello che devi fare! È ovvio che ti viene data la densità di massa, o di area, o di linea, nei vari casi)
2) moltiplicare $I_V$ per la densità $ \rho = M/V$ , e quindi si ottiene il momento di inerzia di massa : $I_M = M/V*I_V$
Applica questo procedimento nel tuo caso, e vedrai che ti trovi.
Io ti ho scritto la formula per il momento di inerzia di massa rispetto ad un asse baricentrico perpendicolare alla faccia di lati $a$ e $b$ , quindi parallelo a $c$, e ho scritto :
$I_M = M/(12)(a^2 + b^2)$
Se ora volessi da questo il m.i. di volume, che devo fare ? Faccio così : $ I_V = V/M*I_M = (abc)/M*M/(12)(a^2 + b^2) = (abc)/(12)(a^2 +b^2)$ .
È chiaro ? Più semplice di così, non so che dirti.
Nel tuo caso : $a= L ; b = 3L ; c = L $
Vai Sabrina, il mondo è tuo !
Sai che una massa, per un corpo omogeneo, è il prodotto del volume per la densità : $M = \rhoV$
Analogamente, il momento di inerzia di massa si ottiene dal momento di inerzia di volume moltiplicando questo per la densità : $ I_M = \rho*I_V$ . Ci sei fino a questo punto ? Ovviamente : $ \rho = M/V$
Quindi, in casi semplici di solidi omogenei, si può :
1) calcolare il momento di inerzia di volume $I_V$ (ovvero di superficie, di linea…a seconda dei casi, cioè di quello che devi fare! È ovvio che ti viene data la densità di massa, o di area, o di linea, nei vari casi)
2) moltiplicare $I_V$ per la densità $ \rho = M/V$ , e quindi si ottiene il momento di inerzia di massa : $I_M = M/V*I_V$
Applica questo procedimento nel tuo caso, e vedrai che ti trovi.
Io ti ho scritto la formula per il momento di inerzia di massa rispetto ad un asse baricentrico perpendicolare alla faccia di lati $a$ e $b$ , quindi parallelo a $c$, e ho scritto :
$I_M = M/(12)(a^2 + b^2)$
Se ora volessi da questo il m.i. di volume, che devo fare ? Faccio così : $ I_V = V/M*I_M = (abc)/M*M/(12)(a^2 + b^2) = (abc)/(12)(a^2 +b^2)$ .
È chiaro ? Più semplice di così, non so che dirti.
Nel tuo caso : $a= L ; b = 3L ; c = L $
Vai Sabrina, il mondo è tuo !
Perfetto. Grazie mille per tutto il tempo. Ora è tutto perfettamente chiaro 
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