Momento angolare corpo rigido
Ciao a tutti,
Ho un dubbio sul momento angolare.
Io so che il momento angolare di un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse principale d'inerzia è uguale a $K= I_o omega$.
Qual è il momento angolare di un corpo rigido in rototraslazione?
P.s. Per il corpo rigido che trasla solamente, immagino che sia $r_g xx Mv_g$, dove con $g$ ci si riferisce al centro di massa, giusto?
Ho un dubbio sul momento angolare.
Io so che il momento angolare di un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse principale d'inerzia è uguale a $K= I_o omega$.
Qual è il momento angolare di un corpo rigido in rototraslazione?
P.s. Per il corpo rigido che trasla solamente, immagino che sia $r_g xx Mv_g$, dove con $g$ ci si riferisce al centro di massa, giusto?
Risposte
Il momento angolare di un sistema rispetto ad un polo fisso $O$ si può scrivere come somma del momento angolare $vecr_ctimesMvecv_c$ del centro di massa rispetto al polo , immaginando concentrata in C tutta la massa , e C dotato della velocità di traslazione $vecv_c$ rispetto al polo $O$ , e del momento angolare $vecL_c$ del sistema relativo al centro di massa .
"Shackle":
Il momento angolare di un sistema rispetto ad un polo fisso $O$ si può scrivere come somma del momento angolare $vecr_ctimesMvecv_c$ del centro di massa rispetto al polo , immaginando concentrata in C tutta la massa , e C dotato della velocità di traslazione $vecv_c$ rispetto al polo $O$ , e del momento angolare $vecL_c$ del sistema relativo al centro di massa .
Quindi, per un corpo rigido, il momento angolare rispetto al polo O diventa
$vecK= vecr_ctimesMvecv_c + I_O vecomega$
?
No. Il secondo termine al secondo membro deve essere il momento angolare del corpo rispetto al proprio centro di massa. Ne abbiamo parlato tanto negli ultimi tempi!
"Shackle":
No. Il secondo termine al secondo membro deve essere il momento angolare del corpo rispetto al proprio centro di massa. Ne abbiamo parlato tanto negli ultimi tempi!
Quindi, anzichè $I_O$, dovrei scrivere $I_G$ ?
Si .
"Shackle":
Si .
Ottimo, grazie! Sai dove posso trovare la dimostrazione di come si giunge a questo risultato del momento angolare per la rototraslazione di un corpo rigido?
In qualsiasi testo di fisica 1 come si deve. Comunque, ecco qua :
"Shackle":
In qualsiasi testo di fisica 1 come si deve. Comunque, ecco qua :
Addirittura postato! Gentilissimo Shackle, grazieee
Shackle una domanda che è nata leggendo le pagine da te postate:
se prendo un polo fisso $ Omega $ ho la formula scritta prima, ovvero $vecK_(Omega)= vecr_ctimesMvecv_c + I_G vecomega$ .
Se calcolassi il momento della quantità di moto rispetto a
a) un polo in movimento $C$
oppure
b) il centro di massa $G$
Come si trasforma tale formula?
(Per $b$ penso che il momento angolare calcolato rispetto al centro di massa sia uguale semplicemente a $vecK_G= I_G vecomega$, sbaglio?)
se prendo un polo fisso $ Omega $ ho la formula scritta prima, ovvero $vecK_(Omega)= vecr_ctimesMvecv_c + I_G vecomega$ .
Se calcolassi il momento della quantità di moto rispetto a
a) un polo in movimento $C$
oppure
b) il centro di massa $G$
Come si trasforma tale formula?
(Per $b$ penso che il momento angolare calcolato rispetto al centro di massa sia uguale semplicemente a $vecK_G= I_G vecomega$, sbaglio?)
"Shackle":
In qualsiasi testo di fisica 1 come si deve. Comunque, ecco qua :
Shackle una domanda che è nata leggendo le pagine da te postate:
se prendo un polo fisso $ Omega $ ho la formula scritta prima, ovvero $vecK_(Omega)= vecr_ctimesMvecv_c + I_G vecomega$ .
Se calcolassi il momento della quantità di moto rispetto a
a) un polo in movimento $C$
oppure
b) il centro di massa $G$
Come si trasforma tale formula?
(Per $b$ penso che il momento angolare calcolato rispetto al centro di massa sia uguale semplicemente a $vecK_G= I_G vecomega$, sbaglio?)
Quando il polo rispetto a cui si calcola il momento delle forze esterne e il momento angolare non è fisso, si deve tenere conto del moto del polo. Nella figura seguente:
è dato un sistema di due masse 1 e 2, ma il ragionamento vale per un numero qualsiasi di masse costituenti il nostro sistema in esame, ovvero per un sistema continuo , dove si mettono integrali al posto delle sommatorie. Il polo scelto per il calcolo ha raggio vettore $vecr_0$ rispetto a un riferimento fisso , le masse hanno raggi vettori $vecr_i$ . Il momento angolare del sistema rispetto al polo mobile è dato da :
$vecL = Sigma_i (vecr_i-vecr_0) times m_i(dotvecr_i-dotvecr_0) $
e fin qui nulla di nuovo. MA quando si va a calcolare la derivata rispetto al tempo del momento angolare, si ha :
$(dvecL)/(dt) = d/(dt) (Sigma_i (vecr_i-vecr_0) times m_i(dotvecr_i-dotvecr_0) ) $
trovi i passaggi, che non ripeto, sui due fogli allegati :
L’equazione finale 7.43 dice che , oltre al momento delle forze esterne ( quello delle forze interne è nullo, qualunque sia il polo) , compare un termine aggiuntivo al secondo membro :
$-M(vecR - vecr_0) times ddotvecr_0$
questo termine dà fastidio. Esso è nullo se si annulla il prodotto vettoriale, quindi se è soddisfatta una delle tre condizioni :
1) il polo è il CM del sistema. E questa è la scelta che normalmente si fa
2) il polo non accelera : $ddotvecr_0 = 0$ . Di solito, questa si sostituisce con una condizione più forte, e cioè che il polo sia fisso. Non si ha interesse al caso in cui il polo è in moto a velocità costante. Però capita!
3) i due vettori sono paralleli.
Alla fine, rimane solo l’espressione 7.44 , che altro non è che la 2º equazione cardinale della dinamica : un momento di forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare , riferendo i momenti allo stesso polo, cioè in genere il CM o un polo fisso.
è dato un sistema di due masse 1 e 2, ma il ragionamento vale per un numero qualsiasi di masse costituenti il nostro sistema in esame, ovvero per un sistema continuo , dove si mettono integrali al posto delle sommatorie. Il polo scelto per il calcolo ha raggio vettore $vecr_0$ rispetto a un riferimento fisso , le masse hanno raggi vettori $vecr_i$ . Il momento angolare del sistema rispetto al polo mobile è dato da :
$vecL = Sigma_i (vecr_i-vecr_0) times m_i(dotvecr_i-dotvecr_0) $
e fin qui nulla di nuovo. MA quando si va a calcolare la derivata rispetto al tempo del momento angolare, si ha :
$(dvecL)/(dt) = d/(dt) (Sigma_i (vecr_i-vecr_0) times m_i(dotvecr_i-dotvecr_0) ) $
trovi i passaggi, che non ripeto, sui due fogli allegati :
L’equazione finale 7.43 dice che , oltre al momento delle forze esterne ( quello delle forze interne è nullo, qualunque sia il polo) , compare un termine aggiuntivo al secondo membro :
$-M(vecR - vecr_0) times ddotvecr_0$
questo termine dà fastidio. Esso è nullo se si annulla il prodotto vettoriale, quindi se è soddisfatta una delle tre condizioni :
1) il polo è il CM del sistema. E questa è la scelta che normalmente si fa
2) il polo non accelera : $ddotvecr_0 = 0$ . Di solito, questa si sostituisce con una condizione più forte, e cioè che il polo sia fisso. Non si ha interesse al caso in cui il polo è in moto a velocità costante. Però capita!
3) i due vettori sono paralleli.
Alla fine, rimane solo l’espressione 7.44 , che altro non è che la 2º equazione cardinale della dinamica : un momento di forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare , riferendo i momenti allo stesso polo, cioè in genere il CM o un polo fisso.
"Shackle":
...
questo termine dà fastidio. Esso è nullo se si annulla il prodotto vettoriale, quindi se è soddisfatta una delle tre condizioni :
1) il polo è il CM del sistema. E questa è la scelta che normalmente si fa
2) il polo non accelera : $ddotvecr_0 = 0$ . Di solito, questa si sostituisce con una condizione più forte, e cioè che il polo sia fisso. Non si ha interesse al caso in cui il polo è in moto a velocità costante. Però capita!
3) i due vettori sono paralleli.
Alla fine, rimane solo l’espressione 7.44 , che altro non è che la 2º equazione cardinale della dinamica : un momento di forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare , riferendo i momenti allo stesso polo, cioè in genere il CM o un polo fisso.
Grazie Shackle.
Questi tre punti sono importanti quando devo derivare il momento angolare, come si può notare nella seconda cardinale.
Ma quando devo semplicemente calcolare momento angolare iniziale e momento angolare finale, come per esempio quando ho la conservazione del momento angolare negli urti, posso prendere un polo qualsiasi?
Ma quando devo semplicemente calcolare momento angolare iniziale e momento angolare finale, come per esempio quando ho la conservazione del momento angolare negli urti, posso prendere un polo qualsiasi?
Puoi prendere il polo che vuoi, ma ti complichi inutilmente la vita, perche poi devi tener conto del movimento del polo. Conviene semplificare le cose , non complicarle. I processi di urto sono già difficili di per sé. Ma spesso, l’esercizio stesso suggerisce dove conviene prendere il polo. Il CM è (quasi) sempre la scelta migliore.
"Shackle":
Puoi prendere il polo che vuoi, ma ti complichi inutilmente la vita, perche poi devi tener conto del movimento del polo. Conviene semplificare le cose , non complicarle. I processi di urto sono già difficili di per sé. Ma spesso, l’esercizio stesso suggerisce dove conviene prendere il polo. Il CM è (quasi) sempre la scelta migliore.
Giustamente il centro di massa è quasi sempre la scelta migliore, ma quando cambia durante gli urti?
Esempio:
se avviene un urto completamente anelastico tra un blocchetto quadrato di lato $L_1$, massa $M_1$ e centro di massa in $G_1$ ed un altro blocchetto quadrato inizialmente fermo di lato $L_2$, massa $M_2$ e centro in $G_2$
(masse e lati dei due quadrati sono diversi)
io calcolo il momento angolare prima dell'urto in $G_1$.
Il momento angolare dopo l'urto dovrò calcolarlo nuovamente in $G_1$, ma esso non sarà più il centro di massa del mio sistema!
Conviene calcolare il momento angolare assumendo come polo, fin dall’inizio, il CM dopo l’urto anelastico, cioè quello del sistema finale .
"Shackle":
Conviene calcolare il momento angolare assumendo come polo, fin dall’inizio, il CM dopo l’urto anelastico, cioè quello del sistema finale .
Ma allora, in tale caso, il momento angolare calcolato nell'istante prima dell'urto sarà calcolato rispetto ad un polo che non è il centro di massa.
Si ma il CM finale lo trovi a priori, e trovi il momento angolare del sistema rispetto ad esso, sia iniziale che finale.
Esempio : su un piano orizzontale liscio si trova poggiata un’asta di massa M e lunghezza L. Un proiettile di massa $m$ si conficca a una estremità dell’asta. In questo caso assumi il CM finale come polo. Nessuno ti impedisce di prendere un altro polo, ad es il punto di impatto; ma allora le cose cambiano, fermo restando che la soluzione finale è la stessa.
Esempio : su un piano orizzontale liscio si trova poggiata un’asta di massa M e lunghezza L. Un proiettile di massa $m$ si conficca a una estremità dell’asta. In questo caso assumi il CM finale come polo. Nessuno ti impedisce di prendere un altro polo, ad es il punto di impatto; ma allora le cose cambiano, fermo restando che la soluzione finale è la stessa.
"Shackle":
Si ma il CM finale lo trovi a priori, e trovi il momento angolare del sistema rispetto ad esso, sia iniziale che finale.
Esempio : su un piano orizzontale liscio si trova poggiata un’asta di massa M e lunghezza L. Un proiettile di massa $m$ si conficca a una estremità dell’asta. In questo caso assumi il CM finale come polo. Nessuno ti impedisce di prendere un altro polo, ad es il punto di impatto; ma allora le cose cambiano, fermo restando che la soluzione finale è la stessa.
Quindi... se prima dell'urto calcolo il momento angolare rispetto ad un polo $C$ che non è il centro di massa del sistema, ma che è fermo, e dopo l'urto calcolo il momento angolare rispetto a $C$ che non è più fermo, ma che è diventato il centro di massa del sistema, posso scrivere benissimo $K_C(i)=K_C(f)$ senza che ci siano termini strani?
va bene?
No che non va bene! Prima prendi il polo in un punto C che è fisso , poi lo prendi nel CM del sistema finale ?
il polo deve essere sempre lo stesso, sia prima che dopo.
il polo deve essere sempre lo stesso, sia prima che dopo.
"Shackle":
No che non va bene! Prima prendi il polo in un punto C che è fisso , poi lo prendi nel CM del sistema finale ?
il polo deve essere sempre lo stesso, sia prima che dopo.
$C$ è sempre lo stesso polo.
Immaginiamo una parete verticale ed un'asta di lunghezza $L$ e massa $M$.
Un'estremo dell'asta è vincolata tramite un perno alla parete, e si trova inizialmente nella condizione equilibrio, ovvero disposta verticalmente.
Ad un certo istante, un punto materiale di massa $M$ (ha la stessa massa del'asta) e che si muove lungo l'orizzontale con velocità costante $v_0$ va a conficcarsi all'altro estremo dell'asta.
Il centro di massa dell'asta, prima dell'impatto era situato in $G$, ovvero a $L/2$ dal perno.
Dopo l'urto completamente anelastico, il centro di massa si troverà a $3/4L$ dal perno. Chiamiamo questo punto $C$.
Se io calcolassi il momento angolare prima dell'urto in $C$ che è fermo, e dopo l'urto sempre in $C$ (che non è più fermo ma sarebbe il nuovo centro di massa del sistema), andrebbe bene?
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