Molle e forze
In una molla ideale e date due forze distinte agente agli estremi di essa,qual la forza che allunga la molla?e qual è quella che fa muovere la molla?
E' un dubbio stupido...non penso che la differenza tra le due molle....mah
Attendo vostre risposte!ciao!
E' un dubbio stupido...non penso che la differenza tra le due molle....mah
Attendo vostre risposte!ciao!
Risposte
"blackdie":
In una molla ideale e date due forze distinte agente agli estremi di essa,qual la forza che allunga la molla?e qual è quella che fa muovere la molla?
Puoi spiegarti meglio?
Vediamo....prendo una molla alle sue estremità, e esercito contemporaneamente due forze di intesità diverse....ovviamente la molla si allungherà e dopo si spostera..ma qual è la forza che la fa allungare?
"blackdie":
Vediamo....prendo una molla alle sue estremità, e esercito contemporaneamente due forze di intesità diverse....ovviamente la molla si allungherà e dopo si spostera..ma qual è la forza che la fa allungare?
Col modello ideale di molla non so se si riesce a venirne fuori... credo che minimo minimo vada specificata la massa della molla...
xke non si riesce a venirne fuori?
Beh se c'é una risultante sulla molla, per determinare l'accelerazione e, quindi, il movimento, serve la massa della molla:
$ m vec a = vec R $
una volta trovata l'accelerazione é poi possibile determinare l'allungamento: ad esempio si potrebbe passare al sistema di riferimento solidale alla molla inserendo le forze d'inzerzia....
Ma la massa é necessaria per fare questi calcoli...
$ m vec a = vec R $
una volta trovata l'accelerazione é poi possibile determinare l'allungamento: ad esempio si potrebbe passare al sistema di riferimento solidale alla molla inserendo le forze d'inzerzia....
Ma la massa é necessaria per fare questi calcoli...
dunque si può dire con certezza che il CM della molla si muoverà con un'accelerazione $a$ causata dalla differenza delle due forze, poi se questa differenza viene mantenuta nel tempo la molla continuerà ad oscillare e bisogna studiare le oscillazioni
"GuillaumedeL'Hopital":
dunque si può dire con certezza che il CM della molla si muoverà con un'accelerazione $a$ causata dalla differenza delle due forze, poi se questa differenza viene mantenuta nel tempo la molla continuerà ad oscillare e bisogna studiare le oscillazioni
Si hai ragione. Comunque penso che il "tuo" metodo (=passando al sistema di riferimento solidale alla molla
) renderebbe questi calcoli molto semplici...
si, perchè cosi abbiamo la forza d'inerzia applicata in mezzo alla molla cioè una molla allungata da una forza non applicata agli estremi, non so andare oltre, qualche idea?
si ma la molla oltre ad allungarsi si sposta...come faccio a determinare le forze?
Direi che se indichiamo con A e B gli estremi della molla e con C il baricentro, nel sistema di riferimento della molla abbiamo tre forze $vec F_A, vec F_B$ e $vec F_C$ con :
$vec F_A + vec F_B + vec F_C = 0$
se ipotiziamo $F_A > F_B$ abbiamo che la forza $vec F_C$ é diretta come $vec F_B$. A questo punto si spezza idealmente la molla fra il punto A e il punto C in un punto arbitrario M. Consideriamo il tratto di molla AM e imponiamo l'equilibrio. Abbiamo una forza $vec F_A$ e una forza $vec F_M$ applicate in A e M rispettivamente. La prima é la forza $vec F_A$ dell'inizio del problema, la seconda é la forza che la parte di molla BM esercita sulla parte di molla AM ovvero la tensione interna alla molla. Proiettando sulla direzione di $vec F_A$ abbiamo:
$ F_A - F_M = 0 \implies F_M = F_A $
quindi $\forall$ M $\in$ (A,C) abbiamo $F_M=F_A$. Analogamente ragionando sul tratto CB prendendo un Q $\in$ (C,B) troviamo:
$ F_Q = F_B $
quindi la molla ha due allungamenti diversi, uno a destra di C e uno a sinistra! (visto che le tensioni sono diverse nelle due zone)(*) e vale:
$ \Delta x_{(A,C)} = 1/(2k) F_A $
e
$ \Delta x_{(C,B)} = 1/(2k) F_B $
quindi:
$ \Delta x_{\text{tot}} = 1/(2k) (F_A + F_B) $
supponendo di essere in regime di elasticitá lineare:
$ (\Delta x)/L = c T \implies \Delta x = Lc T \implies \Delta x = 1/k T $
chiamando $1/k=L c$ come si é soliti fare con le molle...
------------------------------------
(*) in effetti c'é una discontinuitá della tensione nel punto C ove non é definita
provo a fare un disegnino in ASCII della molla intera:
qui abbiamo la molla spezzata:
$vec F_A + vec F_B + vec F_C = 0$
se ipotiziamo $F_A > F_B$ abbiamo che la forza $vec F_C$ é diretta come $vec F_B$. A questo punto si spezza idealmente la molla fra il punto A e il punto C in un punto arbitrario M. Consideriamo il tratto di molla AM e imponiamo l'equilibrio. Abbiamo una forza $vec F_A$ e una forza $vec F_M$ applicate in A e M rispettivamente. La prima é la forza $vec F_A$ dell'inizio del problema, la seconda é la forza che la parte di molla BM esercita sulla parte di molla AM ovvero la tensione interna alla molla. Proiettando sulla direzione di $vec F_A$ abbiamo:
$ F_A - F_M = 0 \implies F_M = F_A $
quindi $\forall$ M $\in$ (A,C) abbiamo $F_M=F_A$. Analogamente ragionando sul tratto CB prendendo un Q $\in$ (C,B) troviamo:
$ F_Q = F_B $
quindi la molla ha due allungamenti diversi, uno a destra di C e uno a sinistra! (visto che le tensioni sono diverse nelle due zone)(*) e vale:
$ \Delta x_{(A,C)} = 1/(2k) F_A $
e
$ \Delta x_{(C,B)} = 1/(2k) F_B $
quindi:
$ \Delta x_{\text{tot}} = 1/(2k) (F_A + F_B) $
supponendo di essere in regime di elasticitá lineare:
$ (\Delta x)/L = c T \implies \Delta x = Lc T \implies \Delta x = 1/k T $
chiamando $1/k=L c$ come si é soliti fare con le molle...
------------------------------------
(*) in effetti c'é una discontinuitá della tensione nel punto C ove non é definita
provo a fare un disegnino in ASCII della molla intera:
|--> F_C
F_A <--| A /\/\/\/\/\/\/\ C /\/\/\/\/\/\ B |--> F_Bqui abbiamo la molla spezzata:
F_A <--| A /\/\/\/\/\ M |--> F_M F_Q <--| Q /\/\/\/\/\ B |--> F_B
"david_e":
A questo punto si spezza idealmente la molla fra il punto A e il punto C in un punto arbitrario M. Consideriamo il tratto di molla AM e imponiamo l'equilibrio. Abbiamo una forza $vec F_A$ e una forza $vec F_M$ applicate in A e M rispettivamente. La prima é la forza $vec F_A$ dell'inizio del problema, la seconda é la forza che la parte di molla BM esercita sulla parte di molla AM ovvero la tensione interna alla molla. Proiettando sulla direzione di $vec F_A$ abbiamo:
$ F_A - F_M = 0 \implies F_M = F_A $
dunque, non mi è chiaro questo passaggio, come fai a dire che $F_a=F_m$?
poi tu dici che la costante k diventa k/2, secondo me, si deve spezzare la molla in due in C e porre in C una ipotetica massa=massa della molla come se la massa della molla fosse tutta concentrata nel CM per semplificare, risolvendo un sistema (semplice) di due eq. differenziali, per la costante k' per ognuna della due molle, è come se queste fossero in serie quindi $k=1/(1/k'+1/k')$ quindi $k'=2k$
Ho supposto che la parte di molla AM fosse all'equilibrio rispetto al sistema di riferimento solidale al baricentro della molla. Quindi ho supposto che la molla venisse allungata e traslata con accelerazione costante. Secondo me infatti non si hanno oscillazioni, ma si raggiunge subito la configurazione di equilibrio. Esattamente come applicando a una molla attaccata a un muro una forza essa si dilata, ma senza oscillare.
Non si puó spezzare la molla in C perché in C si ha una forza concentrata, ma bisogna spezzarla o su AC o su CB... un pó come quando si spezzano le aste rigide in meccanica per calcolare le forze interne alle aste...
Per la costante $k$. La relazione lineare di elasticitá (caso 1d) dice che:
$ (\Delta x)/L = c T $
dove $L$ é la lunghezza del corpo, $c$ é una costante, $Delta x$ é l'allungamento e $T$ é la tensione interna. Moltiplicando ambo i membri per $L$ troviamo:
$ \Delta x = 1/k T $
ponendo $1/k=L c$ (non $k$ come scritto prima, dopo correggo)
se prendiamo peró in esame metá molla abbiamo:
$ (2\Delta x)/L=cT \implies \Delta x = 1/(2k) T$
questo risultato é consistente col caso della molla attaccata al muro. Infatti se $N$ é la reazione vincolare del muro (in modulo) e $F$ é la forza applicata alla molla. Ragionando analogamente si trova:
$ \Delta x = 1/(2k) ( F + N ) = 1/k F $
Non si puó spezzare la molla in C perché in C si ha una forza concentrata, ma bisogna spezzarla o su AC o su CB... un pó come quando si spezzano le aste rigide in meccanica per calcolare le forze interne alle aste...
Per la costante $k$. La relazione lineare di elasticitá (caso 1d) dice che:
$ (\Delta x)/L = c T $
dove $L$ é la lunghezza del corpo, $c$ é una costante, $Delta x$ é l'allungamento e $T$ é la tensione interna. Moltiplicando ambo i membri per $L$ troviamo:
$ \Delta x = 1/k T $
ponendo $1/k=L c$ (non $k$ come scritto prima, dopo correggo)
se prendiamo peró in esame metá molla abbiamo:
$ (2\Delta x)/L=cT \implies \Delta x = 1/(2k) T$
questo risultato é consistente col caso della molla attaccata al muro. Infatti se $N$ é la reazione vincolare del muro (in modulo) e $F$ é la forza applicata alla molla. Ragionando analogamente si trova:
$ \Delta x = 1/(2k) ( F + N ) = 1/k F $
"david_e":
Ho supposto che la parte di molla AM fosse all'equilibrio rispetto al sistema di riferimento solidale al baricentro della molla. Quindi ho supposto che la molla venisse allungata e traslata con accelerazione costante. Secondo me infatti non si hanno oscillazioni, ma si raggiunge subito la configurazione di equilibrio. Esattamente come applicando a una molla attaccata a un muro una forza essa si dilata, ma senza oscillare.
si dilata senza oscillare? dipende dal fattore di smorzamento.
in equilibrio rispetto al CM? no, dal punto di vista del CM vediamo gli estremi oscillare, (in assenza di smorzamento, blackdie non ne ha parlato), prima ho proposto un modello semplificativo a masse concentrate, forse lavorandoci su si può considerare quello con la massa della molla distribuita uniformemente nella sua lunghezza.
cmq se c'è lo smorzamento a regime credo, non sono sicuro, ma la differenza tra le due forze provoca l'oscillazione, come nelle oscillazioni forzate con smorzamento.
"david_e":
Non si puó spezzare la molla in C perché in C si ha una forza concentrata, ma bisogna spezzarla o su AC o su CB... un pó come quando si spezzano le aste rigide in meccanica per calcolare le forze interne alle aste...
Se spezzi in C devi rinunciare a tenere la massa concentrata in C, ma devi passare a un modello in cui la massa sia distribuita sull'intera molla e $F_C$ sia sostituito da una forza di volume sulla molla. Questo é analogo, ad esempio, a quando in gravitazione si deve rinunciare a considerare due corpi puntiformi per calcolare la reciproca attrazione gravitazionale qualora essi fossero a contatto...
Ovviamente passando al modello a massa distribuita cambiano le cose visto che su ogni parte di corpo si avrebbe una forza di volume dovuta alla forza apparente... tuttavia il problema diventerebbe esageratamente complicato. Sempre restando in regime di elasticitá lineare si potrebbe approssimare la molla a una corda elastica:
${( (\partial vec t)/(\partial s) + vec b_0 = rho_0 vec ddot x ),(vec t = T(s) vec tau),(T(s)=c(\partial x)/(\partial s)) :} $
ma io non credo che usando questo (complicatissimo!) sistema si ottengano risultati molto dissimili che usando la mia approx...
"blackdie":
Vediamo....prendo una molla alle sue estremità, e esercito contemporaneamente due forze di intesità diverse....ovviamente la molla si allungherà e dopo si spostera..ma qual è la forza che la fa allungare?
Se permettete dico la mia, ma non vorrei essere frainteso.
Una molla ideale non ha massa, si estende (o contrae) nel senso del suo asse di una quantità proporzionale alla forza che la sollecita.
In questo caso, la domanda di blackdie è pertinente e piuttosto sottile. In effetti la molla non può essere considerata come un punto materiale se non a scapito della sua natura propria: la molla (anche ideale) è un corpo esteso deformabile (è importante infatti la sua struttura). La molla ha infatti necessariamente due punti distinti : gli estremi A e B (che possono essere anche coincidenti in certi istanti) che costituiscono i punti di applicazione di una coppia di braccio nullo.
Voglio dire che a una molla ideale si possono applicare solo due forze distinte $F_A$ e $F_B$ che istante per istante hanno la direzione dell'asse della molla, sono applicate ognuna a un estremo distinto e hanno verso opposto.
Tutti gli altri modi di sollecitare la molla non sono compatibili con il modello di molla ideale.
Ora in tali condizioni lo spostamento relativo dei punti A e B (e non quello assoluto) risulta direttamente proporzionale all'intrensità comune delle due forze agenti $F=|F_A|=|F_B|$ . Per motivi energetici inoltre si deduce che una azione di trazione produce un allungamento e viceversa (siccome la molla aumenta la sua energia elastica quando è distorta rispetto alla condizione naturale, le due forze devono necessariamente fare lavoro positivo...).
Pertanto l'effetto deformativo che si misura (allontanamento o avvicinamento di A e B) è prodotto da entrambe le forze $F_A$ e $F_B$ (che non sono separabili) e non ha senso chiedersi quale delle due lo esercita.
Se poi volete considerare molle 'reali', ovvero fatte di metallo, con massa, ecc.. il problema si complica un bel po' ma non mi sembra che sia questa la domanda di partenza.
ciao
"david_e":
questo risultato é consistente col caso della molla attaccata al muro. Infatti se $N$ é la reazione vincolare del muro (in modulo) e $F$ é la forza applicata alla molla. Ragionando analogamente si trova:
$ \Delta x = 1/(2k) ( F + N ) = 1/k F $
si, ma in questo caso, F=N a regime e con smorzamento, per allungare una molla di $Deltax$ bisogna applicare due forze uguali, se le forze sono diverse, mi convinco sempre di più di quel che ho detto prima, la molla oscilla, si dilata, lì ci sono sempre due forze differenti e in più l'azione d'inerzia applicata nel baricentro
"GuillaumedeL'Hopital":
[quote="david_e"]Ho supposto che la parte di molla AM fosse all'equilibrio rispetto al sistema di riferimento solidale al baricentro della molla. Quindi ho supposto che la molla venisse allungata e traslata con accelerazione costante. Secondo me infatti non si hanno oscillazioni, ma si raggiunge subito la configurazione di equilibrio. Esattamente come applicando a una molla attaccata a un muro una forza essa si dilata, ma senza oscillare.
si dilata senza oscillare? dipende dal fattore di smorzamento.
in equilibrio rispetto al CM? no, dal punto di vista del CM vediamo gli estremi oscillare, (in assenza di smorzamento, blackdie non ne ha parlato), prima ho proposto un modello semplificativo a masse concentrate, forse lavorandoci su si può considerare quello con la massa della molla distribuita uniformemente nella sua lunghezza.
cmq se c'è lo smorzamento a regime credo, non sono sicuro, ma la differenza tra le due forze provoca l'oscillazione, come nelle oscillazioni forzate con smorzamento.[/quote]
Potrei anche sbagliarmi, ma non credo che ci siano oscillazioni: prova a prendere una molla e a trascinarla su una superficie ruvida: sará sottoposta a due forze una nella direzione del moto e una nella direzione opposta (come la molla del nostro esempio), ma non oscillerá...
"david_e":
Potrei anche sbagliarmi, ma non credo che ci siano oscillazioni: prova a prendere una molla e a trascinarla su una superficie ruvida: sará sottoposta a due forze una nella direzione del moto e una nella direzione opposta (come la molla del nostro esempio), ma non oscillerá...
ti sembra che non oscillerà, bisogna vedere dal fattore di smorzamento
"mirco59":
non mi sembra che sia questa la domanda di partenza.
ciao
bè è che il primo punto quello senza massa della molla l'abbiamo risolto da un pò, ma forse ti è sfuggito! se la molla ha massa, è reale e applico una differenza di forza/pressione agli estremi che succede? questo ci stavamo chiedendo!!
"david_e":
Ovviamente passando al modello a massa distribuita cambiano le cose visto che su ogni parte di corpo si avrebbe una forza di volume dovuta alla forza apparente... tuttavia il problema diventerebbe esageratamente complicato. Sempre restando in regime di elasticitá lineare si potrebbe approssimare la molla a una corda elastica:
${( (\partial vec t)/(\partial s) + vec b_0 = rho_0 vec ddot x ),(vec t = T(s) vec tau),(T(s)=c(\partial x)/(\partial s)) :} $
ma io non credo che usando questo (complicatissimo!) sistema si ottengano risultati molto dissimili che usando la mia approx...
si! è questa la via! modelli differenziali alle derivate parziali, io non so trattarli.
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