Molle e forze
In una molla ideale e date due forze distinte agente agli estremi di essa,qual la forza che allunga la molla?e qual è quella che fa muovere la molla?
E' un dubbio stupido...non penso che la differenza tra le due molle....mah
Attendo vostre risposte!ciao!
E' un dubbio stupido...non penso che la differenza tra le due molle....mah
Attendo vostre risposte!ciao!
Risposte
"GuillaumedeL'Hopital":
[quote="david_e"]
Potrei anche sbagliarmi, ma non credo che ci siano oscillazioni: prova a prendere una molla e a trascinarla su una superficie ruvida: sará sottoposta a due forze una nella direzione del moto e una nella direzione opposta (come la molla del nostro esempio), ma non oscillerá...
ti sembra che non oscillerà, bisogna vedere dal fattore di smorzamento[/quote]
Mmm ci devo pensare bene... comunque una cosa é sicura: se c'é oscillazione e non c'é smorzamento o se siamo interessati al transitorio i miei calcoli __non__ vanno assolutamente bene.
Ma nel caso di molla attaccata al muro non c'é oscillazione? Io avrei detto che non c'é alcuna oscillazione visto che l'equazione:
$k \Delta x = F $
non tiene conto delle oscillazioni... e se non c'é oscillazione (o é trascurabile) non capisco come questo caso possa essere diverso: alla fin fine nel sistema di riferimento della molla in pratica siamo in una situazione di molla attaccata al muro. O meglio una situazione di 2 molle in serie AC e CB attaccate al muro in A e sottoposte una a una forza in C l'altra ad una forza in B....
@ mirco59
Si infatti il mio modello non é quello di molla ideale... forse stiamo uscendo dalla domanda di partenza, ma mi pare comunque una discussione interessante...
Urca...il problema si sta complicando non poco...e sta andando oltre le mie conoscenze...
Perche ,mirco, dici che le forze non sono separabili?
"mirco59":
Pertanto l'effetto deformativo che si misura (allontanamento o avvicinamento di A e B) è prodotto da entrambe le forze $F_A$ e $F_B$ (che non sono separabili) e non ha senso chiedersi quale delle due lo esercita.
Se poi volete considerare molle 'reali', ovvero fatte di metallo, con massa, ecc.. il problema si complica un bel po' ma non mi sembra che sia questa la domanda di partenza.
ciao
Perche ,mirco, dici che le forze non sono separabili?
"GuillaumedeL'Hopital":
si! è questa la via! modelli differenziali alle derivate parziali, io non so trattarli.
Secondo me non serve tirare fuori "l'arsenale nucleare"!!
In ogni caso anche il modello differenziale che ho scritto é approssimato visto che la relazione costituitiva di una molla reale é assimilabile al modello lineare solo per valori non grandi delle forze applicate e in ogni caso si tratta comunque di approssimazioni....
"david_e":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"]si! è questa la via! modelli differenziali alle derivate parziali, io non so trattarli.
Secondo me non serve tirare fuori "l'arsenale nucleare"!!
In ogni caso anche il modello differenziale che ho scritto é approssimato visto che la relazione costituitiva di una molla reale é assimilabile al modello lineare solo per valori non grandi delle forze applicate e in ogni caso si tratta comunque di approssimazioni....[/quote]
se è per questo ogni legge fisica è un'approssimazione. cmq ti faccio un esempio: ho una molla attaccata al muro e applico una forza per deformarla, raggiungerà deltax oscillando oppure istantaneamente? oscillando. per quanto riguarda gli arsenali nucleari, di modelli differenziali di questo tipo ce ne sono, forse la mia approx con le masse concentrate va più che bene: si taglia la molla in due e si considera ideale e si pone una massa pari a quella della molla reale nel centro, si scrivono le eq. di equilibrio e si risolve. Nel tuo esempio non mi torna quello che ho detto prima cioè che quelle due forze sono uguali: una differenza di forza costante provoca la dilatazione della molla, e inoltre c'è l'azione d'inerzia, cmq potrebbe essere una buona approssimazione
"david_e":
non tiene conto delle oscillazioni... e se non c'é oscillazione (o é trascurabile) non capisco come questo caso possa essere diverso: alla fin fine nel sistema di riferimento della molla in pratica siamo in una situazione di molla attaccata al muro. O meglio una situazione di 2 molle in serie AC e CB attaccate al muro in A e sottoposte una a una forza in C l'altra ad una forza in B....
no, ripeto, a me piace l'idea del modello alle derivate parziali, non siamo attaccati al muro ma liberi d'oscillare, la forza in A è costante, non è una reazione vincolare, cmq che discussione!
"blackdie":
Urca...il problema si sta complicando non poco...e sta andando oltre le mie conoscenze...
[quote="mirco59"]Pertanto l'effetto deformativo che si misura (allontanamento o avvicinamento di A e B) è prodotto da entrambe le forze $F_A$ e $F_B$ (che non sono separabili) e non ha senso chiedersi quale delle due lo esercita.
Se poi volete considerare molle 'reali', ovvero fatte di metallo, con massa, ecc.. il problema si complica un bel po' ma non mi sembra che sia questa la domanda di partenza.
ciao
Perche ,mirco, dici che le forze non sono separabili?[/quote]
Caro blackdie
mi sembra che stiamo sviluppando tue topic in parallelo, non avendo avuto l'impressione che fosse stata data una risposta esauriente alla tua domenda iniziale ho cercato di inserirmi. La tua domanda conferma la mia impressione, non seguo quindi il filo degli altri amici e cerco di risponderti.
A una molla ideale non puoi applicare uno stato di forze esterne che sia diverso da due forze uguali e contrarie applicate agli estremi. Se lo fai c'è qualche principio di base che viene violato. Per esempio non puoi applicare una sola forza, oppure forze con diversa intensità perchè la massa nulla produrrebbe una accelerazione infinita, non puoi applicare le forze con direzioni diverse: il momento d'inerzia nullo produrrebbe una accelerazione angolare infinita.
In pratica, anche le molle 'reali' sono di fatto sollecitate cosi. Prendi una bilancia pesa persone che sostanzialmente è una molla (o meglio contiene una molla la cui distorsione viene amplificata sul display), noi ingenuamente pensiamo che esa misuri il nostro peso, in realtà se la analizzi, essa risulta sollecitata da due forze di contatto (una è prodotta dalla pressione dei piedi l'altra dalla reazione del pavimento) uguali e contrarie applicate in punti diversi che la sollecitano come una molla ideale (due forze uguali e contrarie applicate ai suoi estremi). Quello che noi leggiamo è l'effetto deformativo prodotto da (entrambe) tali forze agenti sulla molla della bliancia.
Infatti se non stiamo fermi sulla bilancia, o se siamo all'interno di un ascensore che accelera (benchè il nostro peso non cambi in tutte queste situazioni!) la misura della bilancia risulterà strana. Tuttavia in ogni istante (se trascuriamo la massa della bliancia ecc.) essa sarà sollecitata dalle due forze di contatto uguali e contrarie che però non è detto che siano pari al nostro peso.
Spero di essermi spiegato. in caso contrario riproviamo
"david_e":
Mmm ci devo pensare bene...
C'ho pensato!
GuillaumedeL'Hopital ha perfettamente ragione: la molla oscilla eccome! Quindi il mio procedimento é da buttare via...
Volendo si potrebbe utilizzare l'equazione di prima per calcolare la dilatazione a regime, non é complicato abbiamo l'equazione ordinaria:
$ {(T'(s)=-f_C),(T(0)=F_A):} $
dove $f_C=F_C/L$
Si trova:
$T(s) = -f_C s + F_A $
Siccome abbiamo:
$ Delta x = c \int_0^L T(s) ds = -cf_C L^2/2 +c F_A L = -c F_C L/2+c F_A L $
visto che $F_C=F_A-F_B$. In definitiva si ha:
$ \Delta x = c/2 L ( F_B+F_A )$
che conferma la mia soluzione di prima (a regime!). Per studiare il transitorio, purtroppo occorre studiare l'equazione:
$ {( 1/c(\partial^2 x)/(\partial^2 s)+f_C=\rho_0 (\partial^2 x)/(\partial t^2) ),((1/c\partial x(0,t))/(\partial s)=f_A),((1/c\partial x(L,t))/(\partial s)=f_B),(x(s,0)=s-L/2),( dot x(s,0)=h(s) ):}$
essendo $x(s)$, $s \in (0,L)$ la posizione del punto in $s$ a riposo nella configurazione deformata... É un'equazione lineare (é l'equazione delle onde!!!), per cui volendo si riesce anche a trovare la soluzione... ma é un po' lunghetto fare tutti i conti...
*** EDIT ***
Avevo sostiutito la tensione nell'equazione, ma non le condizioni al bordo.
controllerò i tuoi calcoli, questo è un problema di dinamica in campo elastico, che ancora non studio, cmq mi sembra 1) che sia un esempio di modello con massa distribuita (per unità di lunghezza che tu chiami L)?); 2) non fai uso della densità lineare della molla per calcolare l'inerzia di un infinitesimo elemento di molla; 3) il risultato mi sembra una media tra le due forze, prova a estrarre un tratto di molla: è in equilibrio? 4) che cosa ci indichi con $L$?
"GuillaumedeL'Hopital":
controllerò i tuoi calcoli, questo è un problema di dinamica in campo elastico, che ancora non studio, cmq mi sembra 1) che sia un esempio di modello con massa distribuita (per unità di lunghezza che tu chiami L)?); 2) non fai uso della densità lineare della molla per calcolare l'inerzia di un infinitesimo elemento di molla; 3) il risultato mi sembra una media tra le due forze, prova a estrarre un tratto di molla: è in equilibrio? 4) che cosa ci indichi con $L$?
Ho usato il classico modello del filo elastico della meccanica dei continui. Si tratta di un modello a massa distribuita, la densitá puó essere funzione del punto. Con $L$ indico la lunghezza della molla a riposo, $s$ é l'ascissa curvilinea nella configurazione di riposo del corpo e $x(s,t)$ indica la posizione al tempo $t$ nel sistema di riferimento del corpo deformato con centro in $C$. Questo modello si ricava passando ad una formulazione integrale dell'equazione della quantitá di moto e ammettendo che essa sia verificata per ogni parte del corpo... (quindi la 3) é verificata per ipotesi se nn ho sbagliato i conti) (quest'ultimo é un postulato della meccanica dei continui, non un teorema). A questo ho unito la relazione di elasticitá lineare:
$ cT(s) = (\partial x)/(\partial s) $
Ho modificato il modello di prima finendo di sostituire $T$ nelle due equazioni... alla fine si ottiene un problema di Cauchy-Neumann per l'equazione delle onde non omogenea. É un problema che si puó tranquillamente risolvere, ma che é un po' lungo per cui eviterei di mettermi a fare i conti...
Non ho capito la domanda 2). Probabilmente per una questione di terminologia: puoi riscrivermela con altre parole?
"david_e":
Non ho capito la domanda 2). Probabilmente per una questione di terminologia: puoi riscrivermela con altre parole?
non avevo letto bene il tuo post.
si, funziona, il problema nella sua forma generale si risolve con l'eq. delle onde, queste cose ancora le studio
molto meglio di quel procedimento che avevi usato prima
è interessante notare come la tensione vari linearmente da A a B lungo la molla e non sia costante in ogni punto. bel problema, molto istruttivo!
ciao
@ mirco:ora mi è chiaro!grazie!
"GuillaumedeL'Hopital":
molto meglio di quel procedimento che avevi usato prima
Beh in realtá é lo stesso procedimento... l'equazione che ho scritto si ricava integrando la relazione di Newton su parti di corpo e quindi usando il th. della media integrale: ovvero facendo su scala infinitesimale quello che ho tentato di fare prima... Ovviamente il metodo con cui si ricava l'equazione é piú rigoroso di quello che ho usato io (oltre che piú generale ed elegante).
Approposito ho editato i post precedenti perché mi sono accorto di aver chiamato $c$ sia il coefficiente di proporzionalitá fra tensione e deformazione che quello fra deformazione e tensione (sono uno l'inverso dell'altro)... di solito i coefficienti costanti io li pongo tutti uguali a $c$, ma qui mi sono fatto prendere la mano chiamando ancora $c$ $1/c$...
Per l'equazione delle onde se qualcuno si vuole buttare e risolverla tramite separazione di variabili ben venga (non é una cosa complicata, ma lunga)... anche se temo che la soluzione risultante non sia molto leggibile... (verrá una serie trigonometrica con dei termini correttivi per tenere conto del dato non nullo al bordo...) e in ogni caso non só quanti avrebbero la pazienza di leggersi tutta la soluzione... Se vogliamo proprio esagerare possiamo anche aggiungere un termine di smorzamento....
Ciao!
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