Molla in una guida circolare
Una biglia forata di peso w = 1 N, inserita su una guida circolare liscia di raggio R = 0.50m e fissata in un piano verticela (vedi figura) è connessa ad un estremo di una molla ideale, di costante elastica k = 4,0 N/m, attaccata al fondo B della guida. La biglia, inizialmente posta nel punto A, viene messa in moto lungo la guida con una velocità di modulo trascurabile. Supponendo di poter trascurare la lunghezza a riposo della molla, determinare: 1) I moduli della velocità e dell'accelerazione di P nell'estremo D 2) il modulo della forza esercitata dalla guida su P in tale posizione
Io ho fatto cosi:
Per la conservazione dell'energia:
$mgR = frac{1}{2}k(2R - sqrt(2)R)^2 + frac{1}{2}mv^2$
Da cui:
$v = sqrt(2gR(1+frac{k(2sqrt(2)-3)R}{w})$
Ma il risultato riportato è:
$v = sqrt(2gR(1+frac{kR}{w})$
Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
Io ho fatto cosi:
Per la conservazione dell'energia:
$mgR = frac{1}{2}k(2R - sqrt(2)R)^2 + frac{1}{2}mv^2$
Da cui:
$v = sqrt(2gR(1+frac{k(2sqrt(2)-3)R}{w})$
Ma il risultato riportato è:
$v = sqrt(2gR(1+frac{kR}{w})$
Qualcuno mi sa dire dove sbaglio?
Risposte
Hai fatto confusione con l'energia potenziale elastica:
P.S.
Immagino che l'estremo fosse il punto D.
$mgR+2kR^2=1/2mv^2+kR^2$
P.S.
Immagino che l'estremo fosse il punto D.
Si, si D, corretto.
Come hai ricavato che nella posizione iniziale ci fosse un allungamento di modulo $2R$ e in D un allungamento di modulo $R$?
Come hai ricavato che nella posizione iniziale ci fosse un allungamento di modulo $2R$ e in D un allungamento di modulo $R$?
Poiché la molla ha lunghezza a riposo trascurabile, l'allungamento è uguale alla lunghezza della molla.
Veramente, mentre l'allungamento in A è uguale a $2R$, l'allungamnto in D è uguale a $sqrt2R$. Inoltre, indicando con $x$ l'allungamento, ti ricordo che l'energia potenziale elastica è $1/2kx^2$.
"Dracmaleontes":
Come hai ricavato ...
Veramente, mentre l'allungamento in A è uguale a $2R$, l'allungamnto in D è uguale a $sqrt2R$. Inoltre, indicando con $x$ l'allungamento, ti ricordo che l'energia potenziale elastica è $1/2kx^2$.
Ora per ricavare l'accelerazione mi sto trovando un pò in difficoltà con le relazioni angolari. Ho ricavato che l'allungamento della molla in generale vale $2R(1-cos(theta))$ dove $theta = Ahat{\B}P$, come posso sfruttare quest'angolo per ricavarmi le componenti della forza peso?
Edit:
Ho dimenticato di disegnarlo ma $P$ è il punto dove si trova la sfera
Edit:
Ho dimenticato di disegnarlo ma $P$ è il punto dove si trova la sfera
Non è necessario il caso generale. Quando la biglia si trova nel punto D:
Ad ogni modo, poiché, quando la biglia si trova nel punto D, la reazione vincolare è diretta orizzontalmente, basta proiettare il 2° principio della dinamica lungo la direzione orizzontale.
$\theta=\pi/4$
Ad ogni modo, poiché, quando la biglia si trova nel punto D, la reazione vincolare è diretta orizzontalmente, basta proiettare il 2° principio della dinamica lungo la direzione orizzontale.
Non è semplice devi ragionare sulle componenti della forza lungo la tangente, quelle radiali sono compensate dalla reazione della guida.
Le forze sono il peso e la spinta della molla
Ricorda che nel punto P la componente tangenziale del peso la calcoli come $ mgcos(90-2theta)=mgsin(2theta) $
Per la forza $ F=kDeltal $
Il tuo è giusto, poi fai $ F_t= (....... ) sin(theta) $
Le forze sono il peso e la spinta della molla
Ricorda che nel punto P la componente tangenziale del peso la calcoli come $ mgcos(90-2theta)=mgsin(2theta) $
Per la forza $ F=kDeltal $
Il tuo è giusto, poi fai $ F_t= (....... ) sin(theta) $
"Dracmaleontes":
I moduli della velocità e dell'accelerazione ...
Avevo dimenticato che ti chiede anche il modulo dell'accelerazione. A questo punto devi proiettare il 2° principio della dinamica anche lungo la direzione verticale (la direzione tangente alla guida nel punto D).
Penso di aver risolto, anche se non sono sicuro di alcune cose che magari potete chiarirmi voi :
Innanzitutto ho proiettato il secondo principio della dinamica lungo 2 direzioni:
La direzione tangenziale, con verso positivo quello orario, e la direzione normale, con verso positivo quello entrante. Allora si ottiene:
$hat{\u_n} : -F_ecos(theta) + mg = ma_t$
$hat{\u_t} : N - F_esin(theta) = mfrac{v^2}{R}$
Svolgendo i calcoli lungo la tangente:
$(ksqrt(2)R)frac{sqrt(2)}{2} + mg = ma_t$
e
$a_t = g(1 + frac{kR}{w})$
Lungo la normale abbiamo che:
$a_n = frac{v^2}{R} = 2g(1+frac{kR}{w})$
A questo punto:
$ a = sqrt((a_t)^2 + (a_n)^2) = sqrt(5)g(1+frac{kR}{w})$
Risultato che combacia con quello del libro
Per la normale invece si ha:
$N = frac{mv^2}{R} + F_esin(theta) = frac{w}{gR} * 2gR(1+frac{kR}{w}) - kR = 2w + kR$
Risultato che combacia con quello del libro
Una cosa che però non mi è particolarmente chiara e di cui non sono sicuro sono le direzioni delle forze, a sensazione ho pensato che la direzione della normale fosse entrante, è vero o è stato solo un colpo di fortuna? se si come mai accade?
Innanzitutto ho proiettato il secondo principio della dinamica lungo 2 direzioni:
La direzione tangenziale, con verso positivo quello orario, e la direzione normale, con verso positivo quello entrante. Allora si ottiene:
$hat{\u_n} : -F_ecos(theta) + mg = ma_t$
$hat{\u_t} : N - F_esin(theta) = mfrac{v^2}{R}$
Svolgendo i calcoli lungo la tangente:
$(ksqrt(2)R)frac{sqrt(2)}{2} + mg = ma_t$
e
$a_t = g(1 + frac{kR}{w})$
Lungo la normale abbiamo che:
$a_n = frac{v^2}{R} = 2g(1+frac{kR}{w})$
A questo punto:
$ a = sqrt((a_t)^2 + (a_n)^2) = sqrt(5)g(1+frac{kR}{w})$
Risultato che combacia con quello del libro
Per la normale invece si ha:
$N = frac{mv^2}{R} + F_esin(theta) = frac{w}{gR} * 2gR(1+frac{kR}{w}) - kR = 2w + kR$
Risultato che combacia con quello del libro
Una cosa che però non mi è particolarmente chiara e di cui non sono sicuro sono le direzioni delle forze, a sensazione ho pensato che la direzione della normale fosse entrante, è vero o è stato solo un colpo di fortuna? se si come mai accade?
È una reazione non una tensione
Comunque è una convenzione, nulla di che.
Bravo
Comunque è una convenzione, nulla di che.
Bravo
"Dracmaleontes":
... sono le direzioni delle forze ...
I versi delle forze, non le direzioni.
"Dracmaleontes":
... ho pensato che la direzione della normale fosse entrante ...
Il moto curvilineo è tipicamente analizzato rispetto alla terna intrinseca. Inoltre, se il moto è piano, sono sufficienti solo due versori:
1. Versore tangente: ha il verso degli archi crescenti.
2. Versore normale: è diretto verso il centro di curvatura.
Ora, mentre il verso del versore tangente è arbitrario, dipende dal verso degli archi crescenti fissato dall'osservatore, il verso del versore normale è univocamente determinato dalle caratteristiche geometriche della curva. Insomma, mentre puoi decidere il verso del versore tangente (tu hai deciso il verso orario), non hai alcuna libertà nel decidere il verso del versore normale. Infatti, nella nota formula sottostante:
$veca=ddot svec(u_t)+dots^2/\rhovec(u_n)$
mentre la prima componente, accelerazione tangenziale, può assumere entrambi i segni, la seconda componente, accelerazione normale, è necessariamente positiva.
Ad ogni modo, nella speranza di aver colto il punto, aggiungo quanto segue:
Forza peso
$mgvec(u_t)$
(il segno è noto)
Forza elastica
$kRvec(u_t)+kRvec(u_n)$
(i segni sono noti)
Reazione vincolare
$R_Vvec(u_n)$
(il segno non è noto)
Accelerazione
$a_tvec(u_t)+a_nvec(u_n)$
(il primo segno non è noto, il secondo segno è noto)
2° principio della dinamica
$[m(a_tvec(u_t)+a_nvec(u_n))=mgvec(u_t)+kRvec(u_t)+kRvec(u_n)+R_Vvec(u_n)] rarr$
$rarr [a_t=g+(kR)/m] ^^ [a_n=(kR)/m+R_V/m]$
Ora, dal punto di vista dinamico, mentre l'accelerazione tangenziale è nota, l'accelerazione normale, dipendendo dalla reazione vincolare, è incognita. Tuttavia, poiché, dal punto di vista cinematico:
$a_n=v^2/R$
e il modulo della velocità è ricavabile, per fortuna, senza integrare le equazioni del moto (conservando l'energia meccanica per intenderci), la seconda equazione può essere utilizzata per determinare la reazione vincolare:
$[R_V=ma_n-kR] rarr [R_V=mv^2/R-kR]$
Insomma, si tratta di una strategia del tutto generale. Se fai mente locale, ti puoi rendere conto che tutti gli esercizi riguardanti il moto curvilineo piano in assenza di attrito si risolvono in base alla logica appena esposta.
Penso di aver capito, grazie, post utilissimo.
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