Molla e gravità

[cavallipurosangue]

Facciamo conto di avere una massa $m_1$ poggiata a terra, sulla cui superficie piana superiore sia vincolata una molla ideale di costante elastica $k$. Supponiamo di lasciar cadere un'altra massa $m_2$ da un'altezza $h$ rispetto alla superficie libera della molla. Qual'è il valore minimo di $h$ per cui la massa $m_1$ si stacca da terra, se dopo l'urto le due masse sono entrambe vincolate alla molla, e se invece la seconda massa rimanesse libera rispetto alla molla?

[cavallipurosangue]

Ma un ultima cosa, di solito qual'è il corso che tratta queste cose? Forse meccanica Razionale?

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Scusa Mirco è un po come scrivere le leggi del moto di un sistema di punti materiali uniti da molle di costante elastica nota usando la matrice di rigidezza, vero?
E poi con gli autovalori si possono trovare i modi propri di vibrazione della struttura, dico giusto?

[mircoFN1]

Per Cavallipurosangue:

direi piuttosto Meccanica Applicata.


Per GIOVANNI:

dici giusto

ciao a entrambi

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Ma se consideriamo un corpo continuo, con massa distribuita, allora lo spazio degli autovalori diventa uno spazio di infiniti elementi? E come si fa?
Io l'ho visto fare solo con delle strutture semplici tipo solai uniti da travi o piastre unite da gonne cilindriche, tali che si possono discretizzare considerando le masse concentrate nei solai o nelle piastre.

[mircoFN1]

"GIOVANNI IL CHIMICO":Ma se consideriamo un corpo continuo ..... come si fa?
Io l'ho visto fare solo con delle strutture semplici tipo solai uniti da travi o piastre unite da gonne cilindriche, tali che si possono discretizzare considerando le masse concentrate nei solai o nelle piastre.

In tal caso ci sono infiniti autovalori e dal punto di vista matematico la soluzione può essere pensata come uno sviluppo in serie di Fourier con infiniti termini (metodo detto della sovrapposizione modale). Si tratta in definitiva della soluzione dell'equazione alle derivate parziali delle onde, sui libri di dinamica dei continui trovi varie soluzioni di problemi classici (tipico è quello dell'oscillazione delle corde). I problemi che si possono risolvere in forma chiusa sono pochi e richedono una notevole semplicità nella geometria del dominio e delle condizioni al contorno.
Dal punto di vista pratico però, sono le frequenze più basse che hanno importanza (di solito) e quindi una discretizzazione ben fatta (del tipo di quelle che hai visto tu) spesso permette si ottenere una soluzione adeguata per il problema (metodi chiamati di condensazione). Bisogna infatti considerare che lo smorzamento (che abbiamo trascurato nel modello) è in effetti sempre presente e produce effetti proporzionali almeno alla prima potenza della velocità e quindi tende ad annullare i modi propri alle frequenze più elevate. E' la ragione per cui il tuono è sempre più sordo man mano che si allontana!

ciao

[GIOVANNI IL CHIMICO]

ok, infatti ci dissero che per valutare gli effetti sismici e del vento su reattori cilindrici verticali (bestioline da qualche metro di diametro) in fase di progetto spesso basta guardare solo l'autovalore di frequenza più bassa e vedere che non fosse troppo basso.
Poi bisogna vedere cosa dice la normativa.

[Marco831]

Beh, per il vento direi che devi stare attento a stare lontano dalla frequenza di distacco dei vortici che è caratterizzata dal numero di Strouhal (non mi ricordo più come si scrive...) e non è detto che sia poi così basso...

Tornando al problema della molla se consideriamo solo gli spostamenti in drezione dell'asse, possiamo schematizzarla come una barra piena con una certa densità lineare e una certa rigidezza. Il problema risulta trattabile (anche se non so bene come schematizzare l'urto tra la massa che cade e la barra). Sostanzialmente è ilproblema delle onde longitudinali in una barra.