Molla e gravità
Facciamo conto di avere una massa $m_1$ poggiata a terra, sulla cui superficie piana superiore sia vincolata una molla ideale di costante elastica $k$. Supponiamo di lasciar cadere un'altra massa $m_2$ da un'altezza $h$ rispetto alla superficie libera della molla. Qual'è il valore minimo di $h$ per cui la massa $m_1$ si stacca da terra, se dopo l'urto le due masse sono entrambe vincolate alla molla, e se invece la seconda massa rimanesse libera rispetto alla molla?
Risposte
1° caso
Affinchè il blocco di terra possa sollevarsi è necessario che la forza $F$ applicata verso l'alto sia pari al suo peso; è necessario cioè che sia
$m_(1)g=kx_(m)$ essendo $x_(m)$ l'allungamento massimo della molla verso l'alto. Nel caso limite in cui la forza elastica eguaglia la forza peso, tale allungamento è uguale alla compressione che la molla subisce a contatto con il secondo blocco e cioè $1/2kx_(m)^2=m_(2)gh$ da cui $x_(m)=sqrt((2m_(2)gh)/k)$, quindi:
$m_(1)g=ksqrt((2m_(2)gh)/k)$, $h=(m_(1)^2g)/(2m_(2)k)$
L'ho buttata li subito ma non mi convince per niente.
Affinchè il blocco di terra possa sollevarsi è necessario che la forza $F$ applicata verso l'alto sia pari al suo peso; è necessario cioè che sia
$m_(1)g=kx_(m)$ essendo $x_(m)$ l'allungamento massimo della molla verso l'alto. Nel caso limite in cui la forza elastica eguaglia la forza peso, tale allungamento è uguale alla compressione che la molla subisce a contatto con il secondo blocco e cioè $1/2kx_(m)^2=m_(2)gh$ da cui $x_(m)=sqrt((2m_(2)gh)/k)$, quindi:
$m_(1)g=ksqrt((2m_(2)gh)/k)$, $h=(m_(1)^2g)/(2m_(2)k)$
L'ho buttata li subito ma non mi convince per niente.
Allora, secondo me possiamo procedere così:
la massa 1 si staccherà da terra quando la forza applicata dalla molla sarà pari alla forza peso, ossia
m1*g=k*Dx =>Dx=m1*g/k
L'energia accumulata dalla molla nell'estendersi di Dx è pari a DE=0.5*k*Dx^2.
Se considerimo il sistema come ideale, l'energia totale sarà conservata. Supponendo che la massa m2 parta da perma e che nell'attimo in cui la massa m1 si stacca dal pavimento la massa m2 sia stata rallentata fino a fermarsi, e pnendo lo zero dell'energia potenziale gravitazionale ed elastica nel punto di riposo della molla, avremo che:
Etot0 = m2*g*h (energia totale iniziale)
Etot1 = m2*g*Dx+DE (energia totale quando la massa 1 si stacca dal terreno)
ma l'energia totale si è conservata, perciò:
Etot1=Etot0 => h=Dx+DE/(m2*g)
Spero di non aver scritto boiate!
la massa 1 si staccherà da terra quando la forza applicata dalla molla sarà pari alla forza peso, ossia
m1*g=k*Dx =>Dx=m1*g/k
L'energia accumulata dalla molla nell'estendersi di Dx è pari a DE=0.5*k*Dx^2.
Se considerimo il sistema come ideale, l'energia totale sarà conservata. Supponendo che la massa m2 parta da perma e che nell'attimo in cui la massa m1 si stacca dal pavimento la massa m2 sia stata rallentata fino a fermarsi, e pnendo lo zero dell'energia potenziale gravitazionale ed elastica nel punto di riposo della molla, avremo che:
Etot0 = m2*g*h (energia totale iniziale)
Etot1 = m2*g*Dx+DE (energia totale quando la massa 1 si stacca dal terreno)
ma l'energia totale si è conservata, perciò:
Etot1=Etot0 => h=Dx+DE/(m2*g)
Spero di non aver scritto boiate!
Nel secondo caso, ossia massa m2 libera rispetto alla molla e molla di massa trascurabile, pavimento perfettamente rigido etc, la massa m1 non dovrebbe potersi staccare da terra...
Mi sembra che tu Marco abbia azzeccato la soluzione in entrambi i casi. Quello che infatti mi aspettavo venisse risposto è: Nel primo caso appunto la massa può staccarsi per via che la massa rimane attaccata e quindi per la sua inerzia provoca un allungamento della molla e quindi una forza elastica diretta verso l'alto che a seconda del suo valore può comportare l'annullamento della forza normale. Mentre nel secondo caso,dato che la molla non ha massa, nulla può provocare un allungamento, quindi niente distaccamento... Vediamo però adesso il primo caso formalmente:
Prendiamo come 0 per l'energia potenziale la superficie libera della molla, quindi per la conservazione dell 'energia meccanica in due istanti qualsiasi si ha:
$mgh=1/2kx^2+m_2gx$, dove $x$ è l'allungamento della molla verso l'alto (e dove sennò...
). Da qui si ricava facilmente x, che deve per l'assuzione fatta all'inizio esser necessariamnete positiva. Quindi:
$kx^2+2m_2gx-2m_2gh=0=>x={-m_2g\pm\sqrt{m_2g(m_2g-2kh)}}/k={-m_2g+\sqrt{m_2g(m_2g-2kh)}}/k$
Poi si sa che quando la massa $m_1$ è sul punto di staccarsi, si ha che: $N=0$ quindi:
$F+N-m_1g=0=>F=m_1g=>-m_2g+\sqrt{m_2g(m_2g-2kh)}=m_1g=>m_2g(m_2g-2kh)=(m_1+m_2)^2g^2=m_2^2g^2-2km_2gh=>h=((m_1^2)/{2km_2}+m_1/{k})g
Prendiamo come 0 per l'energia potenziale la superficie libera della molla, quindi per la conservazione dell 'energia meccanica in due istanti qualsiasi si ha:
$mgh=1/2kx^2+m_2gx$, dove $x$ è l'allungamento della molla verso l'alto (e dove sennò...
). Da qui si ricava facilmente x, che deve per l'assuzione fatta all'inizio esser necessariamnete positiva. Quindi:$kx^2+2m_2gx-2m_2gh=0=>x={-m_2g\pm\sqrt{m_2g(m_2g-2kh)}}/k={-m_2g+\sqrt{m_2g(m_2g-2kh)}}/k$
Poi si sa che quando la massa $m_1$ è sul punto di staccarsi, si ha che: $N=0$ quindi:
$F+N-m_1g=0=>F=m_1g=>-m_2g+\sqrt{m_2g(m_2g-2kh)}=m_1g=>m_2g(m_2g-2kh)=(m_1+m_2)^2g^2=m_2^2g^2-2km_2gh=>h=((m_1^2)/{2km_2}+m_1/{k})g
Spesso poi quando si parla di molle si considera trascurabile la loro massa propria. Se invece cosideriamo una molla di costante $k$ e di massa $m$, quanto varranno, l'energia cinetica, e l'energia potenziale gravitazionale? Prendiamo una molla con massa uniformemente distribuita. A voi.
Attenzione !
Quando si parla di molle con proprietà (massa e elasticità) distribuite il problema si complica notevolmente..... a meno di non fare ipotesi semplificative forti ....
ciao
Quando si parla di molle con proprietà (massa e elasticità) distribuite il problema si complica notevolmente..... a meno di non fare ipotesi semplificative forti ....
ciao
Tipo?
"cavallipurosangue":
Tipo?
Tipo cosa? Le difficoltà o le semplificazioni?
Dicevo le semplificazioni. Si può pensare che la molla abbia allungamento uniforme e che non si propaghino onde attraverso di essa, quindi che sia abbastanza rigida, per esempio. Questo dicevi?
Si, la puoi interpretare anche così. Però è molto discutibile assumere che non si propaghino onde, come tu dici, in un mezzo elastico e con massa distribuita: si tratta del suo naturale comportamento meccanico. Se fai questa semplificazione puoi correre il rischio di eliminare dal problema proprio le caratteristiche che volevi introdurre considerando la molla massiva e con elasticità distribuita.
Per alcuni casi tale semplificazione può essere effettuata, ma è il problema specifico (e non la teoria generale) che ti permette di considerare se le semplificazioni sono adeguate.
ciao
Per alcuni casi tale semplificazione può essere effettuata, ma è il problema specifico (e non la teoria generale) che ti permette di considerare se le semplificazioni sono adeguate.
ciao
Se non mi sbaglio esiste proprio un articolo che si chiama: Equivalent mass of a coil spring, che ho visto prende proprio aueste come approssimazioni. partendo da un modello piu semplificato trova un certo vaolre per la massa, mentre poi afferma che se invece la molla è piu tenera, permettendo la trasmissione di onde, allora tale valore sarà leggermente diverso, e compreso tra...
Si, mi riferivo proprio a quella questione (forse l'hai letta per gli ammortizzatori?). Ora, il problema è proprio: quali sono le caratteristiche che possono essere trascurate? La semplificazione dipende da cosa si vuole calcolare. In linea di principio, la rigidezza della molla non è la grandezza discriminante (se la rigidezza cambia, anche la massa generalmente cambia), ma lo sono invece molto di più le frequenze proprie che compendiano molti aspetti significativi del problema dinamico (rigidezza e massa e loro distribuzione, vincoli, ....).
Per esempio, se ci fossero problemi di vibrazione nel sistema, alcune frequenze proprie elevate potrebbero essere molto importanti sia per aspetti di rumorosità e confort sia per aspetti di resistenza della molla (risonanze). E' evidente che questi fenomeni con il modello semplificato di cui tu parli non potrebbero essere previsti.
ciao
Per esempio, se ci fossero problemi di vibrazione nel sistema, alcune frequenze proprie elevate potrebbero essere molto importanti sia per aspetti di rumorosità e confort sia per aspetti di resistenza della molla (risonanze). E' evidente che questi fenomeni con il modello semplificato di cui tu parli non potrebbero essere previsti.
ciao
Intanto proviamo a vedere che viene fuori con queste prime ipotesi semplificative, ossia allungamento uniforme e trasmissione delle onde trascurabile.
Non ci prova nessuno? 
Sempre su questo problema, ho trovato una formula buttata lì, quasi come "assioma"... Ossia che in una molla libera di muoversi ad una estremità, e vincolata all'altra si registra una velocità che varia linearmente lungo la sua lunghezza : $v(x)=x/Lv_0$ dove $v_0$ è la velocità dell' estremità posta a distanza $L$ dall'origine. Sinceramnte ciò mi torna ad intuizione, ma momentaneamente non riesco a ricavarmi tale formula...
Allora ragazzi, quanto alle molle con massa ho avuto modo leggere un interessante topic su oliforum, magari ci potete trovare qualcosa ...
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... e5767ee582
si potrebbe fare un tentativo e rappresentare la molla come un insieme di piccole masse colelgate tra loro con molle ideali, le equazioni che vengono fuori non dovrebbero essere impossibili da risolvere ...
quanto alla molla di massa continua, si tratta di un tipico problema di vibrazione di una stringa (sia longitudinale, che trasversale), e si risolve usando equazioni differenziali parziali
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... e5767ee582
si potrebbe fare un tentativo e rappresentare la molla come un insieme di piccole masse colelgate tra loro con molle ideali, le equazioni che vengono fuori non dovrebbero essere impossibili da risolvere ...
quanto alla molla di massa continua, si tratta di un tipico problema di vibrazione di una stringa (sia longitudinale, che trasversale), e si risolve usando equazioni differenziali parziali
Ok, quindi:
dato che la forza su ogni punto della molla è la stessa, si può dire:
$\Deltal=F/{k'}={Fx}/{kL}=\DeltaLx/L=>v(x)=x/Lv_0$
Qui però giustamente si trascura l'effetto che la massa creerebbe sulla molla, infatti ogni piccola molla subirebbe anche una forza inerziale, dovuta alla massa che deve accelerare, ossia a $\lambda(L-x)$.
dato che la forza su ogni punto della molla è la stessa, si può dire:
$\Deltal=F/{k'}={Fx}/{kL}=\DeltaLx/L=>v(x)=x/Lv_0$
Qui però giustamente si trascura l'effetto che la massa creerebbe sulla molla, infatti ogni piccola molla subirebbe anche una forza inerziale, dovuta alla massa che deve accelerare, ossia a $\lambda(L-x)$.
In effetti la forza esercitata da ogni molletta non è la stessa ma è in genere diversa nello stesso istante proprio a causa della presenza delle massette.
Se si discretizza la molla in masse e molle ideali si ottiene un sistema di equazioni differenziali ordinarie (lineari) che 'approssima' (i matematici mi consentano l'espressione) l'equazione alle derivate parziali di cui parla Rael in cui la molla è schematizzata come un continuo.
ciao
Se si discretizza la molla in masse e molle ideali si ottiene un sistema di equazioni differenziali ordinarie (lineari) che 'approssima' (i matematici mi consentano l'espressione) l'equazione alle derivate parziali di cui parla Rael in cui la molla è schematizzata come un continuo.
ciao
Saresti capace di sviluppare il problema Mirco? Sono curioso...
"cavallipurosangue":
Saresti capace di sviluppare il problema Mirco? Sono curioso...
Penso che sarei capace, ma non è una cosa che posso fare su due piedi e mi manca il tempo.
L'impostazione è questa: chiama $x_1(t)$ ... $x_i(t)$ ecc.. la posizione delle singole masse in funzione del tempo. Supposte tali posizioni note, puoi scrivere per ogni massetta la seconda legge della dinamica, considerando l'accelerazione , il peso e la forza esercitata dalle mollette a essa collegate (i cui allungamenti sono ricavabili dalle $x_i(t)$). Metti tutto a sistema e risolvi, dando le opportune condizioni iniziali. Se vuoi, comincia con 2-3 masse: coglierai già il nocciolo della questione.
Però, se hai pazienza, entro un annetto ci sarà chi te lo insegna meglio di quanto posso fare io con questo strumento.
ciao
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