Molla e attrito

[donald_zeka]

Un corpo di massa $m$ è fissato a un'estremità di una molla di costante elastica $k$ avente l'altra estremità fissata a una parete. Tra il corpo e la superficie d'appoggio c'è attrito. All'istante $t=0$ la molla ha lunghezza di riposo mentre il corpo ha velocità iniziale $v_0$ in con verso opposto alla parete in cui è fissata la molla.

Quale spazio percorre il corpo prima di fermarsi?

Non riesco in alcun modo a ricavarmi la legge oraria del corpo e non saprei in che altro modo calcolare lo spazio percorso prima di fermarsi

[Palliit]

@TeM: non sono d'accordo con la risoluzione che proponi. O, meglio, sarebbe corretta solo nel caso di oscillazione sovrasmorzata, cioè la particella si sposta dall'origine fino alla posizione $s$ percorrendo soltanto (ed una volta sola) il tratto rettilineo che unisce le due posizioni. In caso di più oscillazioni compiute prima dell'arresto, il lavoro fatto dalla forza elastica rimane quello che hai espresso, quello compiuto dalla forza d'attrito no.

[Falco5x]

Penso che il problema intendesse dire "prima di fermarsi la prima volta", e in tal caso la soluzione di TeM sarebbe corretta.
Per dirla in modo chiaro secondo me la questione si pone nei seguenti termini.
Esiste una distanza critica rispetto al punto di riposo della molla, al di sotto della quale la forza di richiamo della molla è inferiore alla forza d'attrito. Chiamiamo xc questa distanza critica:
$${x_c} = \frac{m}
{k}\mu g$$
Se il punto di primo arresto x1 è a una distanza inferiore a questa distanza critica, allora il corpo si ferma definitivamente, altrimenti torna indietro per compiere altre oscillazioni.
La formula risolutiva per il primo arresto risulta dunque:
$${x_1} = {x_c}\left( {\sqrt {1 + \frac{{k{v_0}^2}}
{{m{\mu ^2}{g^2}}}} - 1} \right)$$
$$\eqalign{
& {\text{Se }}\frac{{k{v_0}^2}}
{{m{\mu ^2}{g^2}}} > 3{\text{ il corpo torna indietro dopo il primo arresto}}{\text{,}} \cr
& {\text{se }}\frac{{k{v_0}^2}}
{{m{\mu ^2}{g^2}}} \leqslant 3{\text{ il corpo si ferma al primo arresto}} \cr} $$

[donald_zeka]

Anch'io avevo pensato alla conservazione dell'energia, ma questo esercizio era proposto in un capitolo in cui l'energia non era stata neanche introdotta, e quindi l'unica soluzione mi sembrava essere trovare la legge oraria del moto e fare delle valutazioni, solo che nell'equazione differenziale da risolvere non so come scrivere il fatto che la forza d'attrito è sempre opposta al verso della velocità...o magari esiste qualche altro metodo che non richiede di trovare la legge oraria e non riguarda la conservazione dell'energia?

[Falco5x]

Ah i ricordi di analisi matematica...
L'equazione differenziale che rappresenta la seconda legge di Newton è:
$$\ddot x + \frac{k}
{m}x = - \mu g$$
Trattasi di equazione differenziale lineare, la cui soluzione generale, se la memoria non mi tradisce, è la soluzione dell'omogenea associata più una soluzione particolare.
L'omogenea associata ha la seguente soluzione generale:
$$x = A\cos \left( {\sqrt {\frac{k}
{m}} t + \varphi } \right)$$
a cui si deve aggiungere una soluzione particolare, che qui può essere costituita da una costante B. Dunque la soluzione generale risulta:
$$x = A\cos \left( {\sqrt {\frac{k}
{m}} t + \varphi } \right) + B$$
dove
$$B = - \frac{{m\mu g}}
{k}$$
Adesso impongo la condizione iniziale x=0 per t=0 da cui
$$A\cos \varphi = \frac{{m\mu g}}
{k}$$
Vediamo l'equazione della velocità:
$$\dot x = - A\sqrt {\frac{k}
{m}} \sin \left( {\sqrt {\frac{k}
{m}} t + \varphi } \right)$$
Imponendo la condizione che la velocità iniziale per t=0 la conosciamo si ha:
$$\eqalign{
& \dot x\left( 0 \right) = - A\sqrt {\frac{k}
{m}} \sin \varphi = {v_0} \cr
& A\sin \varphi = - {v_0}\sqrt {\frac{m}
{k}} \cr} $$
Adesso mettendo insieme quanto già trovato si giunge alla funzione oraria:
$$\eqalign{
& \frac{{A\sin \varphi }}
{{A\cos \varphi }} = \tan \varphi = - \frac{{{v_0}}}
{{\mu g}}\sqrt {\frac{k}
{m}} \cr
& A = - \frac{{{v_0}}}
{{\sin \varphi }}\sqrt {\frac{m}
{k}} = \frac{{m\mu g}}
{k}\sqrt {1 + \frac{{k{v_0}^2}}
{{m{\mu ^2}{g^2}}}} \cr
& x = \frac{{m\mu g}}
{k}\left[ {\sqrt {1 + \frac{{k{v_0}^2}}
{{m{\mu ^2}{g^2}}}} \cos \left( {\sqrt {\frac{k}
{m}} t - \arctan \frac{{{v_0}}}
{{\mu g}}\sqrt {\frac{k}
{m}} } \right) - 1} \right] \cr} $$
Il valore massimo di questa funzione si ha quando il coseno è uguale a 1, dunque:
$${x_{\max }} = \frac{{m\mu g}}
{k}\left( {\sqrt {1 + \frac{{k{v_0}^2}}
{{m{\mu ^2}{g^2}}}} - 1} \right)$$

Usando l'energia si fa molto meno fatica, no???

[Faussone]

Quanto scritto da Falco5x sopra vale sempre però se la molla non rimbalza e inverte il verso, altrimenti se proprio si vuole risolvere credo bisogna per forza dividere in sotto-casi a secondo del verso della velocità.

L'equazione differenziale si può scrivere in forma compatta:

$m ddot x = - k x -\frac{mg mu dot x}{|dot x|}$

ma per la soluzione la via migliore credo sia dividere in sotto-casi appunto.

[donald_zeka]

Quanto scritto da Falco5x sopra vale sempre però se la molla non rimbalza e inverte il verso, altrimenti se proprio si vuole risolvere credo bisogna per forza dividere in sotto-casi a secondo del verso della velocità

Già, era il dubbio che mi ero posto sin dall'inizio, e chiaramente da grande stupido non ho postato i valori di $mu,k,m,v_0$ ritenendoli inutili ai fini del problema, infatti sicuramente (non ho ancora controllato) saranno tali che l'oscillazione risulti sovrasmorzata e impedisca alla molla di invertire senso.

Grazie a tutti delle risposte.