Molla con due masse urtata da un'altra massa

[bug54]

Salve,
sono alle prese del seguente problemino.
Due corpi puntiformi $C_1$ e C$_2$ di masse m$_1$ e m$2_$=2m$_1$, in quiete su un asse orizzontale liscio,
sono uniti tra loro da un amolla di costante elastica k e lunghezza a riposo L$_0$. Un terzo corpo di massa m$_3$, in moto con velocità v$_0$ lungo l'asse, colpisce C$_2$ rimanendovi attaccato. Si calcoli la contrazione massima della molla.

[Falco5x]

Inizialmente la quantità di moto è [tex]{P_0} = {m_3}{V_0}[/tex]
Immediatamente dopo l'urto le masse m3 e m2 sono attaccate e viaggiano a velocità V1, mentre la massa m1 è ferma. Calcoliamo la V1:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{P_1} = \left( {{m_3} + {m_2}} \right){V_1} = {P_0} \\
{V_1} = \frac{{{m_3}}}{{{m_3} + {m_2}}}{V_0} \\
\end{array}[/tex]

Mentre la quantità di moto si conserva, l'energia cinetica è minore perché un po' va perduta nell'urto che è chiaramente anelastico. Dunque l'energia subito dopo l'urto è:

[tex]\displaystyle {E_1} = \frac{1}{2}\left( {{m_3} + {m_2}} \right){V_1}^2 = \frac{1}{2}\frac{{{m_3}^2}}{{{m_3} + {m_2}}}{V_0}^2[/tex]

Dopo questo primo istante la molla inizia a comprimersi e nel frattempo anche la m1 si mette in movimento. Le masse m3 e m2, solidali tra loro, rallentano mentre accelera la m1. La massima contrazione della molla si ha quando le tre masse si muovono alla stessa velocità. Calcoliamo questa velocità V2:

[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{P_2} = \left( {{m_3} + {m_2} + {m_1}} \right){V_2} = {P_0} \\
{V_2} = \frac{{{m_3}}}{{{m_3} + {m_2} + {m_1}}}{V_0} \\
\end{array}[/tex]

A questo punto l'energia cinetica delle 3 masse che si muovono alla stessa velocità è:

[tex]\displaystyle {E_2} = \frac{1}{2}\left( {{m_3} + {m_2} + {m_1}} \right){V_2}^2 = \frac{1}{2}\frac{{{m_3}^2}}{{{m_3} + {m_2} + {m_1}}}{V_0}^2[/tex]

La differenza tra E2 e E1 è proprio l'energia massima immagazzinata nella molla.

[tex]\displaystyle {E_{molla}} = {E_1} - {E_2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{m_3} + {m_2}}} - \frac{1}{{{m_3} + {m_2} + {m_1}}}} \right){m_3}^2{V_0}^2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{m_1}}}{{\left( {{m_3} + {m_2}} \right)\left( {{m_3} + {m_2} + {m_1}} \right)}}} \right){m_3}^2{V_0}^2[/tex]

Da qui si trova la contrazione della molla:

[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{E_{molla}} = \frac{1}{2}k{({L_0} - L)^2} \\
{L_0} - L = \sqrt {\frac{1}{k}\left( {\frac{{{m_1}}}{{\left( {{m_3} + {m_2}} \right)\left( {{m_3} + {m_2} + {m_1}} \right)}}} \right){m_3}^2{V_0}^2} \\
\end{array}[/tex]


Salvo errori, naturalmente...

[bug54]

Chiarissimooo
grazie