Modi normali di oscillazione

[giantmath]

nello studio di un sistema Lagrangiano, mi si chiede di trovare gli autovettori $ bar(u) $ cioè $ (B-lambdaA)bar(u) ^((i))=0 $ dove $ (B-lambdaA)=( ( 2g/l-2lambda , -llambda ),( -llambda , gl-l^2lambda ) ) $ e $ lambda=(2+√2)g/l $ . dovrei riuscire a trovare che $ ( ( u_1 ),( u_2 ) ) =( ( l(2+√2) ),( -2(1+√2) ) ) $ .
tuttavia io ho impostato il sistema $ { (( 2g/l-2lambda)u_1-llambdau_2=0 ),( -llambdau_1+(gl-l^2lambda)u_2=0 ):} $ ma riesco solo a trovare la soluzione banale ossia $ ( ( u_1 ),( u_2 ) ) =( ( 0 ),( 0) ) $ .
potreste spiegarmi il modo corretto come di procedere?

[moccidentale]

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[Lampo1089]

Scusami, quale sarebbe la matrice di cui vuoi trovare autovalori e autovettori?

[Lampo1089]

grazie mille, non ne ero a conoscenza di questa generalizzazione

[moccidentale]

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[giantmath]

sostituendo $ lambda $ ed esplicitando dalla prima equazione trovo: $ u_1=-((2+√2)lu_2)/(2+2√2) $ ...

[moccidentale]

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[giantmath]

grazie mille, tuttavia mi resta da capire come mai, come tu hai giustamente detto, il sistema "oltre alla soluzione banale (deducibile ad occhio) ammette infinite altre soluzioni non banali."
per verificarlo ho applicato il toerema di Rouché Capelli:
$ { ( 2g/l(-1-√2)u_1-g(2+√2)u_2=0 ),( -g(2+√2)u_1+gl(-1-√2)u_2=0 ):} $
quindi la matrice completa associata al sistema scritto sopra è $ A=( ( 2g/l(-1-√2) , -g(2+√2) ),( -g(2+√2) , gl(-1-√2) ) ) $ che ha determinante diverso da zero quindi rango uguale a 2. tuttavia quando la matrice completa ha rango uguale alla matrice incompleta, si ha una e una sola soluzione non riesco a venirne a capo

[moccidentale]

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[giantmath]

ups è vero! sei stato chiarissimo, grazie mille