Misure in meccanica quantistica
Salve, vorrei chiarire una volta per tutte alcune questioni relative al concetto di misura in meccanica quantistica. Prima due piccole premesse per cui mi serve una conferma:
1. Data una certa osservabile, come la posizione o l'impulso, esistono degli stati \(\displaystyle |e_i\rangle \) che corrispondono ai possibili risultati della sua misura, cioè gli stati in cui si può trovare il sistema dopo la misura. Questi stati formano sempre una base, ammettendo che siano esaustivi ed esclusivi. E' corretto?
2. A ogni osservabile associo un operatore hermitiano. Questo operatore è tale che, agendo su uno stato della base dell'osservabile \(\displaystyle |e_i\rangle \) (autostato) mi restituisce un certo autovalore, che corrisponde alla misura dell'osservabile nel caso in cui il sistema si trovi in un suo autostato. Ovvero, si scrive \(\displaystyle A|e_i\rangle=\lambda_i|e_i\rangle \). Dopo la misura il sistema rimane nello stesso autostato in cui si trovava prima. Giusto fin qui?
Se queste premesse sono corrette, mi resta un dubbio: dato un generico stato \(\displaystyle |\psi\rangle \), cosa significa misurare l'osservabile $A$ in \(\displaystyle |\psi\rangle \)? Ovvero, quale valore trovo, e in quale stato passa il sistema?
La domanda nasce da un esercizio in cui mi si chiede se è vero che il sistema passa nello stato \(\displaystyle |\psi'\rangle=A|\psi\rangle \), che non credo sia vero, ma mi ha fatto comunque sorgere dei dubbi. Qualcuno sa rispondermi?
1. Data una certa osservabile, come la posizione o l'impulso, esistono degli stati \(\displaystyle |e_i\rangle \) che corrispondono ai possibili risultati della sua misura, cioè gli stati in cui si può trovare il sistema dopo la misura. Questi stati formano sempre una base, ammettendo che siano esaustivi ed esclusivi. E' corretto?
2. A ogni osservabile associo un operatore hermitiano. Questo operatore è tale che, agendo su uno stato della base dell'osservabile \(\displaystyle |e_i\rangle \) (autostato) mi restituisce un certo autovalore, che corrisponde alla misura dell'osservabile nel caso in cui il sistema si trovi in un suo autostato. Ovvero, si scrive \(\displaystyle A|e_i\rangle=\lambda_i|e_i\rangle \). Dopo la misura il sistema rimane nello stesso autostato in cui si trovava prima. Giusto fin qui?
Se queste premesse sono corrette, mi resta un dubbio: dato un generico stato \(\displaystyle |\psi\rangle \), cosa significa misurare l'osservabile $A$ in \(\displaystyle |\psi\rangle \)? Ovvero, quale valore trovo, e in quale stato passa il sistema?
La domanda nasce da un esercizio in cui mi si chiede se è vero che il sistema passa nello stato \(\displaystyle |\psi'\rangle=A|\psi\rangle \), che non credo sia vero, ma mi ha fatto comunque sorgere dei dubbi. Qualcuno sa rispondermi?
Risposte
Avrai sentito che la questione della misura è uno dei più grossi scogli concettuali della MQ...
Comunque, dal punto di vista del formalismo, sì, 1) e 2) mi sembrano ok.
Nel tuo caso dubbio, suppongo che tu immagini che il sistema non si trovi in un autostato, ma in una sovrapposizione di questi. Bene, l' operazione di misura NE SCEGLIE uno, e di dà come valore il corrispondente autovalore, mentre il sistema COLLASSA, come si usa dire, nell'autostato corrispondente. Le probabilità dei vari risultati corrispondono ai pesi degli autostati componenti.
Questo per quanto mi ricordo degli ormai lontani studi...
Comunque, dal punto di vista del formalismo, sì, 1) e 2) mi sembrano ok.
Nel tuo caso dubbio, suppongo che tu immagini che il sistema non si trovi in un autostato, ma in una sovrapposizione di questi. Bene, l' operazione di misura NE SCEGLIE uno, e di dà come valore il corrispondente autovalore, mentre il sistema COLLASSA, come si usa dire, nell'autostato corrispondente. Le probabilità dei vari risultati corrispondono ai pesi degli autostati componenti.
Questo per quanto mi ricordo degli ormai lontani studi...
Intanto, grazie per la risposta. Ho ancora dei dubbi però nel formalismo matematico.
Ad esempio, dato \(\displaystyle |\psi\rangle=c_1|1\rangle+c_2|2\rangle \) con \(\displaystyle |1\rangle, |2\rangle \) autostati dell'osservabile $A$, supponiamo di misurare questa osservabile. Il sistema quindi collassa in un autostato o nell'altro; per esempio se si trova in \(\displaystyle |1\rangle \) il suo nuovo stato sarà \(\displaystyle |\psi'\rangle=c_1|1\rangle \). Qual è quindi il risultato di questa misura? E qual è la relazione tra \(\displaystyle A|\psi\rangle \) e \(\displaystyle |\psi'\rangle \)?
Ad esempio, dato \(\displaystyle |\psi\rangle=c_1|1\rangle+c_2|2\rangle \) con \(\displaystyle |1\rangle, |2\rangle \) autostati dell'osservabile $A$, supponiamo di misurare questa osservabile. Il sistema quindi collassa in un autostato o nell'altro; per esempio se si trova in \(\displaystyle |1\rangle \) il suo nuovo stato sarà \(\displaystyle |\psi'\rangle=c_1|1\rangle \). Qual è quindi il risultato di questa misura? E qual è la relazione tra \(\displaystyle A|\psi\rangle \) e \(\displaystyle |\psi'\rangle \)?
Suppongo che il risultato sia l'autovalore corrispondente a \(\displaystyle |1\rangle \) . Quanto all'altre domanda, mi spiace, ma non mi ricordo più niente di bra e ket.
Va bene, ti ringrazio. Aspetterò la risposta di qualcun altro. Un'ultima cosa: sai se esiste un modo per calcolare a priori l'autovalore associato allo stato \(\displaystyle |1\rangle \) nel nostro caso specifico?
Se ricordo bene, dovrebbe essere così:
se $|ψ⟩ = c_1|ψ_1⟩ + c_2|ψ_2⟩$
$A|ψ_1⟩ = a_1|ψ_1⟩$
$A|ψ_2⟩ = a_2|ψ_2⟩$
Allora
$A|ψ⟩ = a|ψ⟩$
e la probabilità che $a = a_1$ è $|c_1|^2$, mentre quella che $a = a_2$ è $|c_2|^2$. Almeno per un operatore con spettro discreto...
se $|ψ⟩ = c_1|ψ_1⟩ + c_2|ψ_2⟩$
$A|ψ_1⟩ = a_1|ψ_1⟩$
$A|ψ_2⟩ = a_2|ψ_2⟩$
Allora
$A|ψ⟩ = a|ψ⟩$
e la probabilità che $a = a_1$ è $|c_1|^2$, mentre quella che $a = a_2$ è $|c_2|^2$. Almeno per un operatore con spettro discreto...
Grazie per la risposta, in effetti ha molto senso che il sistema collassi in uno degli stati in cui si trova inizialmente con probabilità determinate dai coefficienti $c_i$.
Invece nel caso più generale, supponiamo che \(\displaystyle |\psi\rangle \) sia sovrapposizione degli autostati di $A$, ma di voler misurare l'osservabile $B$. Ci sarebbero quindi due casi: o le osservabili sono compatibili, oppure non lo sono. Se sono compatibili, cioè gli operatori commutano, allora gli autostati di $A$ sono anche autostati di $B$, e anche se gli autovalori sono generalmente diversi dovrebbe reggere lo stesso discorso. Se invece non sono compatibili, però, che succede?
Invece nel caso più generale, supponiamo che \(\displaystyle |\psi\rangle \) sia sovrapposizione degli autostati di $A$, ma di voler misurare l'osservabile $B$. Ci sarebbero quindi due casi: o le osservabili sono compatibili, oppure non lo sono. Se sono compatibili, cioè gli operatori commutano, allora gli autostati di $A$ sono anche autostati di $B$, e anche se gli autovalori sono generalmente diversi dovrebbe reggere lo stesso discorso. Se invece non sono compatibili, però, che succede?
Prendiamo per esempio l'operatore del momento angolare $L$. Si può dimostrare facilmente che $$[L_x, L_y] = i \hbar L_z$$
quindi non commutano. Non ha senso dunque cercare un set di funzioni che siano autofunzioni contemporaneamente di $L_x$ ed $L_y$ (lo stesso ragionamento lo puoi applicare ad $L_x$, $L_z$ ed $L_y$ ed $L_z$). Se però prendiamo l'operatore $L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$ allora ci si accorge che: $$ [L^2, L_x] = [L^2, L_y] = [L^2, L_z] = 0$$
quindi $L^2$ ed $\vec L$ commutano. In questo caso ha perfettamente senso cercare un set di funzioni che soddisfi contemporaneamente le condizioni (per esempio scritte su $L^2$ ed $L_z$:
$$L^2|ψ⟩=\lambda|ψ⟩$$ $$L_z|ψ⟩=\mu|ψ⟩$$
quindi non commutano. Non ha senso dunque cercare un set di funzioni che siano autofunzioni contemporaneamente di $L_x$ ed $L_y$ (lo stesso ragionamento lo puoi applicare ad $L_x$, $L_z$ ed $L_y$ ed $L_z$). Se però prendiamo l'operatore $L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$ allora ci si accorge che: $$ [L^2, L_x] = [L^2, L_y] = [L^2, L_z] = 0$$
quindi $L^2$ ed $\vec L$ commutano. In questo caso ha perfettamente senso cercare un set di funzioni che soddisfi contemporaneamente le condizioni (per esempio scritte su $L^2$ ed $L_z$:
$$L^2|ψ⟩=\lambda|ψ⟩$$ $$L_z|ψ⟩=\mu|ψ⟩$$
Su questo sono d'accordo, ma quindi in generale \(\displaystyle B|\psi\rangle \) a cosa corrisponde nelle ipotesi del post precedente?
Se ho interpretato bene la tua domanda, A e B sono:
nel primo caso $L_x$ ed $L_y$
nel secondo caso $L^2$ ed $L_z$.
Quindi se (per esempio) $A = L_z$:
1) se $B = L_x$ o $B=L_y$ non ha senso cercare un autostato comune a tutte e due
2) se $B = L^2$ allora ha perfettamente senso cercare un autostato comune ad entrambi
PS: credo che questo però ti sia chiaro... allora non ho capito la domanda
nel primo caso $L_x$ ed $L_y$
nel secondo caso $L^2$ ed $L_z$.
Quindi se (per esempio) $A = L_z$:
1) se $B = L_x$ o $B=L_y$ non ha senso cercare un autostato comune a tutte e due
2) se $B = L^2$ allora ha perfettamente senso cercare un autostato comune ad entrambi
PS: credo che questo però ti sia chiaro... allora non ho capito la domanda
Sì, è chiaro che due operatori ammettono una base comune di autostati se e solo se commutano. La mia domanda sarebbe se è possibile determinare concretamente il risultato della misura di un'osservabile non compatibile con la base degli autostati in cui è espresso lo stato del sistema al momento della misura.
Ciao, sono incasinatissimo 'sti giorni. Siccome non mastico questi argomenti da un po', per evitare di dirti una cavolata, è bene che mi riguardi due cosette... però non ho proprio tempo in questi giorni 
Spero che qualche utente del forum ti aiuti se hai fretta!
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Tranquillo, non c'è urgenza. Grazie comunque per le risposte.
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