Metrica e prodotti scalari in GR
Ciao a tutti,
sto cercando di studiare, con tutti i miei limiti, relatività generale dal libro di Wald "General Relativity".
A un certo punto (pag. 22) introduce il concetto di metrica definendola come un tensore $g_{ab}$ di tipo (0,2), che abbia le proprietà di essere simmetrico e non degenere.
Poi aggiunge la frase:
In other words, a metric is a (not necessarily positive definite) inner product on the tangent space at each point.
Quello che non capisco di questa frase è il fatto che lui in qualche modo sta dicendo che \(\displaystyle \text{spazio metrico} \Rightarrow \text{spazio con prodotto scalare} \), quando invece normalmente è il contrario.
Per fare la sua affermazione, dovrei rendermi conto che la metrica che ha introdotto può discendere da un qualche prodotto scalare, molto probabilmente il seguente:
$$:=g_{ab}v_1^av_2^b$$
ma purtroppo, quando vado a sincerarmi che l'operatore appena definito soddisfi effettivamente gli assiomi di prodotto scalare, mi rendo conto che la "positive definiteness" non vale, per cui devo dedurre che quello non è un prodotto scalare.
Dove mi sto sbagliando?
Vi ringrazio in anticipo.
sto cercando di studiare, con tutti i miei limiti, relatività generale dal libro di Wald "General Relativity".
A un certo punto (pag. 22) introduce il concetto di metrica definendola come un tensore $g_{ab}$ di tipo (0,2), che abbia le proprietà di essere simmetrico e non degenere.
Poi aggiunge la frase:
In other words, a metric is a (not necessarily positive definite) inner product on the tangent space at each point.
Quello che non capisco di questa frase è il fatto che lui in qualche modo sta dicendo che \(\displaystyle \text{spazio metrico} \Rightarrow \text{spazio con prodotto scalare} \), quando invece normalmente è il contrario.
Per fare la sua affermazione, dovrei rendermi conto che la metrica che ha introdotto può discendere da un qualche prodotto scalare, molto probabilmente il seguente:
$$
ma purtroppo, quando vado a sincerarmi che l'operatore appena definito soddisfi effettivamente gli assiomi di prodotto scalare, mi rendo conto che la "positive definiteness" non vale, per cui devo dedurre che quello non è un prodotto scalare.
Dove mi sto sbagliando?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
a metric is a (not necessarily positive definite) inner product on the tangent space at each point.Intende "metrica" non nel senso di "spazio metrico" (cioè di categoria enriched sul quantale \([0,\infty]^\text{op}\)), ma nel senso di "varietà dotata di un tensore di un certo tipo". Vedi qui https://math.stackexchange.com/question ... c-a-metric
Poi, dice espressamente not necessarily positive definite.
Fun fact: per questo motivo, la topologia di varietà di un manifold di Lorentz e quella indotta dal tensore metrico (in un senso opportuno, visto che come detto strettamente parlando non si tratta di una metrica) sono radicalmente diverse (la seconda non dà uno spazio di Hausdorff).
Intende "metrica" non nel senso di "spazio metrico" (cioè di categoria enriched sul quantale [0,∞]op), ma nel senso di "varietà dotata di un tensore di un certo tipo"
Ok, bene, quindi sono concetti diversi sotto lo stesso nome. Magari "pseudo-metrica" poteva aiutare...
Stessa obiezione anche per "inner product": non si intende nello stesso senso di "spazio con prodotto interno", vero?
cioè di categoria enriched sul quantale \(\displaystyle [0,∞]^\text{op} \)
Faccio finta di non aver letto...
Il mio livello è molto basso, devi tarare le cose come se le stessi spiegando ai bambini
"Silent":Vedi cosa succede a leggere cose scritte da/per fisici...Intende "metrica" non nel senso di "spazio metrico" (cioè di categoria enriched sul quantale [0,∞]op), ma nel senso di "varietà dotata di un tensore di un certo tipo"
Ok, bene, quindi sono concetti diversi sotto lo stesso nome. Magari "pseudo-metrica" poteva aiutare...
Stessa obiezione anche per "inner product": non si intende nello stesso senso di "spazio con prodotto interno", vero?Immagino intenda "applicazione bilineare semidefinita", perché la metrica su una varietà lorentziana quello è...
Il mio livello è molto basso, devi tarare le cose come se le stessi spiegando ai bambiniSpiego sempre le cose ai bambini; a volte bambini veloci, a volte bambini lenti.
Riaccendo questo thread perché non ci sto capendo più niente su questo argomento...
Facciamo che ho uno spazio vettoriale $V$ e il suo spazio duale \(\displaystyle V^* \). Mi viene data la base $\{e_{(1)},...,e_{(n)}\}$ per $V$.
Poi io dico: dentro \(\displaystyle V^* \) identifico quegli $n$ funzionali $\{e^{(1)},...,e^{(n)}\}$ che si comportano in questo modo: \(\displaystyle e^{(i)}(e_{(j)})=\delta^i_j \). Mi accorgo pure che questi formano una base per \(\displaystyle V^* \).
A questo punto dico: se metto in relazione biunivoca i vettori delle due basi in questo modo: \(\displaystyle g(e_{(i)})=e^{(i)} \), e dico che $g$ deve essere lineare, ho automaticamente creato una mappatura biunivoca tra tutto $V$ e tutto \(\displaystyle V^* \):
$$g(v)=g\left(\sum_i v^ie_{(i)}\right)=\sum_iv_i e^{(i)}$$
dove nell'ultimo membro ho scritto $v_i$ col pedice basso per convenzione, ma è lo stesso numero reale $v^i$ di prima.
Qui mi sono chiesto: ma mica adesso vale ancora la proprietà \(\displaystyle g(v)(v)=1 \)? Sembra che la risposta sia no, perché se applico \(\displaystyle g(v) \) su $v$ ottengo la somma dei moduli quadri delle sue componenti, che non deve fare per forza 1.
Allora chi è quel funzionale \(\displaystyle v^* \in V^*\) che realizza \(\displaystyle v^*(v)=1 \)? Direi che qui la risposta non è una sola, perché posso trovare vari modi di rimodulare i coefficienti dei vari \(\displaystyle e^{(i)} \) (cioè posso trovare varie mappe lineari) in modo da ottenere come risultato ogni volta il numero reale 1.
Fin qui ci sono errori nei ragionamenti che ho fatto?
Mi serve qualche conferma perché sto uscendo matto...
Facciamo che ho uno spazio vettoriale $V$ e il suo spazio duale \(\displaystyle V^* \). Mi viene data la base $\{e_{(1)},...,e_{(n)}\}$ per $V$.
Poi io dico: dentro \(\displaystyle V^* \) identifico quegli $n$ funzionali $\{e^{(1)},...,e^{(n)}\}$ che si comportano in questo modo: \(\displaystyle e^{(i)}(e_{(j)})=\delta^i_j \). Mi accorgo pure che questi formano una base per \(\displaystyle V^* \).
A questo punto dico: se metto in relazione biunivoca i vettori delle due basi in questo modo: \(\displaystyle g(e_{(i)})=e^{(i)} \), e dico che $g$ deve essere lineare, ho automaticamente creato una mappatura biunivoca tra tutto $V$ e tutto \(\displaystyle V^* \):
$$g(v)=g\left(\sum_i v^ie_{(i)}\right)=\sum_iv_i e^{(i)}$$
dove nell'ultimo membro ho scritto $v_i$ col pedice basso per convenzione, ma è lo stesso numero reale $v^i$ di prima.
Qui mi sono chiesto: ma mica adesso vale ancora la proprietà \(\displaystyle g(v)(v)=1 \)? Sembra che la risposta sia no, perché se applico \(\displaystyle g(v) \) su $v$ ottengo la somma dei moduli quadri delle sue componenti, che non deve fare per forza 1.
Allora chi è quel funzionale \(\displaystyle v^* \in V^*\) che realizza \(\displaystyle v^*(v)=1 \)? Direi che qui la risposta non è una sola, perché posso trovare vari modi di rimodulare i coefficienti dei vari \(\displaystyle e^{(i)} \) (cioè posso trovare varie mappe lineari) in modo da ottenere come risultato ogni volta il numero reale 1.
Fin qui ci sono errori nei ragionamenti che ho fatto?
Mi serve qualche conferma perché sto uscendo matto...
In generale non puoi sempre puoi riscalare una base ortogonale per far avere norma quadra 1 a ogni vettore. Là situazione cambia sui reali o sui complessi. Se esiste una radice quadrata per -1, puoi essere nella situazione in cui g(v, v) fa 1 o -1 e ulteriormente semplificare moltiplicando per i. Sui complessi quindi l'unico invariante per classificare le forme quadratiche è il rango. Sui reali invece ci si deve fermare un passo prima, e insieme allo rango l'altro invariante che classifica le forme quadratiche è la segnatura (o "indice d'inerzia, probabilmente retaggio del tempo dei protoindouropei, quando questa robaccia è stata inventata per dare conto della rappresentazione in coordinate dei tensori simmetrici).
Del resto, perché credi che la metrica di Minkowski si sia scriva esattamente in quel modo?!
Del resto, perché credi che la metrica di Minkowski si sia scriva esattamente in quel modo?!
Ne ho parlato diffusamente qui sbir sbur e in mille altri posti sbor molto spesso sotto altri pseudonimi, perché per motivi oscuri a chiunque tranne che al buon signore che sta per nascere, questa idea semplicissima ({forme bilineari non degeneri} ~ {isomorfismi \(V\cong V^\lor\)}) non si sedimenta, nell'inconscio collettivo di *mente.
Ti ringrazio, ma parli troppo difficile, non ti capisco.
L'unica cosa che ho capito è questa frase:
Mi potresti dire per favore se la risposta a questo:
è semplicemente sì oppure no?
PS: tutti coefficienti reali, in questi discorsi ora i numeri complessi non esistono ancora.
L'unica cosa che ho capito è questa frase:
"megas_archon":
In generale non puoi sempre puoi riscalare una base ortogonale per far avere norma quadra 1 a ogni vettore.
Mi potresti dire per favore se la risposta a questo:
"Silent":
Fin qui ci sono errori nei ragionamenti che ho fatto?
è semplicemente sì oppure no?
PS: tutti coefficienti reali, in questi discorsi ora i numeri complessi non esistono ancora.
Parlo difficile perché queste cose non si imparano studiando su Focus, ma interiorizzando il linguaggio dell'algebra lineare e tensoriale, che è fatta di conti. In particolare non voglio darti una risposta pronta, ma una maniera di riflettere. Dai un pesce a un uomo e lo sfamerai un giorno, insegnagli invece a trovarsi il pesce nelle mutande e...
L'errore è di ingenuità, più che di forma, e nasce proprio dal fatto che non sai abbastanza algebra lineare;
Rifletti di più su quello che ti ho detto, e che è il contenuto di qualsiasi corso di algebra lineare che studi le forme blineari/quadratiche:
1. Fissato uno spazio reale $V$ c'è uno spazio vettoriale delle forme bilineari \(g : V\times V\to k\);
2. il gruppo ortogonale \(SO(V)\) agisce su questo spazio vettoriale così: \(g \mapsto M^tgM\);
3. Lo spazio delle orbite di questa azione è fatto dalle forme che hanno lo stesso rango (quando le rappresenti come matrici, in una e quindi in ogni base di $V$) e la stessa "segnatura", ovverosia lo stesso numero di +1 e -1 nella diagonale, quando le diagonalizzi ortogonalmente, come ti viene permesso dal teorema spettrale.
Queste cose si fanno prima di studiare relatività, sia che si studi fisica sia che si studi matematica, perché senza di esse non si capisce che minchia si sta facendo.
L'errore è di ingenuità, più che di forma, e nasce proprio dal fatto che non sai abbastanza algebra lineare;
ma mica adesso vale ancora la proprietà \(\displaystyle g(v)(v)=1 \)?Quasi; puoi sempre ridurti al caso in cui o fa +1, o fa -1. Quello che non ti è chiaro, perché non hai appreso queste cose, è il motivo.
Allora chi è quel funzionale \(\displaystyle v^* \in V^*\) che realizza \(\displaystyle v^*(v)=1 \)?In generale, e in particolare, proprio nel caso che interessa a te, non esiste, perché \(\mathbb R^4\) con la metrica di Minkowski avrà sempre una direzione (la quarta, o la prima, a seconda di quale eresia scegli) \(v_i\) tale che \(g(v_i,v_i)=-1\). Ora, sarebbe bellissimo riscalare \(v_i\) per un fattore \(\lambda\) tale che \(g(\lambda v_i,\lambda v_i)=1\), ma del resto questo è esattamente equivalente a trovare un numero reale \(\lambda\) tale che \(\lambda^2+1=0\); come si insegna all'asilo, questo è impossibile.
Rifletti di più su quello che ti ho detto, e che è il contenuto di qualsiasi corso di algebra lineare che studi le forme blineari/quadratiche:
1. Fissato uno spazio reale $V$ c'è uno spazio vettoriale delle forme bilineari \(g : V\times V\to k\);
2. il gruppo ortogonale \(SO(V)\) agisce su questo spazio vettoriale così: \(g \mapsto M^tgM\);
3. Lo spazio delle orbite di questa azione è fatto dalle forme che hanno lo stesso rango (quando le rappresenti come matrici, in una e quindi in ogni base di $V$) e la stessa "segnatura", ovverosia lo stesso numero di +1 e -1 nella diagonale, quando le diagonalizzi ortogonalmente, come ti viene permesso dal teorema spettrale.
Queste cose si fanno prima di studiare relatività, sia che si studi fisica sia che si studi matematica, perché senza di esse non si capisce che minchia si sta facendo.
Questo è importante, perché (appunto) la classificazione delle forme quadratiche dipende fortemente dal campo dove la fai:
- sui complessi, l'unico invariante che classifica una forma è il suo rango, perché quando l'hai spezzata in nucleo\(\oplus\)immagine, ti resta solo da determinare una base del nucleo (facile) e una base dell'immagine che puoi poi riscalare cosicché \(g(v,v)=1\) per tutti gli elementi della suddetta;
- sui reali è più difficile, perché non ci sono radici quadrate per -1;
- sui razionali è come mettersi un piccolo ago sotto l'unghia del pollice e cercare di scrollare tiktok.
Quest'ultimo caso non ti interessa, ma gli altri due sì, molto, e avere chiara la differenza (cioè intuire che c'è un motivo profondo per cui la geometria -la mia forma quadratica mi dice cos'è lo spazio tempo che bello!- e l'algebra -gli scalari della mia teoria sono reali o complessi- si influenzano a vicenda e NON sono indipendenti) è importante.
- sui complessi, l'unico invariante che classifica una forma è il suo rango, perché quando l'hai spezzata in nucleo\(\oplus\)immagine, ti resta solo da determinare una base del nucleo (facile) e una base dell'immagine che puoi poi riscalare cosicché \(g(v,v)=1\) per tutti gli elementi della suddetta;
- sui reali è più difficile, perché non ci sono radici quadrate per -1;
- sui razionali è come mettersi un piccolo ago sotto l'unghia del pollice e cercare di scrollare tiktok.
Quest'ultimo caso non ti interessa, ma gli altri due sì, molto, e avere chiara la differenza (cioè intuire che c'è un motivo profondo per cui la geometria -la mia forma quadratica mi dice cos'è lo spazio tempo che bello!- e l'algebra -gli scalari della mia teoria sono reali o complessi- si influenzano a vicenda e NON sono indipendenti) è importante.
Non sto studiando su Focus, e di conti ne sto facendo parecchi nel tentativo di capire, ma fa niente dai, a posto così grazie di nuovo.
C'è una incomprensione di fondo in questa conversazione.
Tu pretendi io ti dia una risposta adeguata al tuo livello di preparazione; ce l'ho (te l'ho nascosta tra le righe), ma invece, in superficie, ti do (apposta) una risposta troppo sofisticata e generale, che non hai gli strumenti per comprendere: per non darti altra scelta che acquisirli, e poi, comprendere.
Tu pretendi io ti dia una risposta adeguata al tuo livello di preparazione; ce l'ho (te l'ho nascosta tra le righe), ma invece, in superficie, ti do (apposta) una risposta troppo sofisticata e generale, che non hai gli strumenti per comprendere: per non darti altra scelta che acquisirli, e poi, comprendere.
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