Metodo energetico/metodo cinematico; uguale ?
Ciao ragazzi, per questo esercizio, risolvendo il terzo quesito ho usato due metodi, il cinematico e l'energetico. Desideravo un vostro parere riguardo la correttezza del secondo. Ecco il testo: Su un piano orizzontale è posata una massa $ m=10kg $. Essa viene messa in movimento tramite un filo (il filo è orizzontale ragazzi) che si avvolge su una puleggia di raggio $ r=20cm $. Questa è messa in rotazione dalla discesa, sotto l'azione del peso, di una massa $ M=4kg $, a cui è collegata da un filo (questo è verticale) avvolto su una puleggia di raggio $ R=50cm $, coassiale e rigidamente fissata alla precedente. Il momento di inerzia del sistema delle due pulegge rispetto al comune asse di rotazione vale $ I=6kgm^2 $. Calcolare 1) la velocità $ v $ di $ M $ dopo che è scesa di $ h=1m $; 2) le tensioni dei due fili durante il movimento; 3) il valore di $ v $ se tra $ m $ e il piano ci fosse un coefficiente di attrito dinamico $ mu =0,25 $. Dunque, io ho risolto il terzo quesito grazie alla cinematica di M, e partendo dalla equazione $ y=1/2at^2 $ e $ v=at $ dove a è l'accelerazione trovata nello svolgimento dei primi due quesiti; ho però anche applicato anche il teorema dell'energia cinetica $ Delta E=W $. Suppongo che il sistema parta da fermo e dunque la velocità iniziale di M è 0, la finale quella da calcolare e ho posto $ 1/2mv^2=Mgh-T(1)h $ dove $ T(1) $ è la tensione di $ M $. A secondo membro ho i lavori compiuti dalla forza peso e dalla tensione 1 in 1 metro. Il risultato della velocità è pressocché identico, anche quando vado ad inserire l'attrito per il calcolo successivo (cambiando però la $ T(1) $ perché cambiano i risultati che vengono fuori dal sistema risolutivo) . Ed ecco il dubbio, scusate se mi sono dilungato ma volevo essere chiaro quanto più possibile: è giusto calcolare la velocità di $ M $ con questo metodo? Grazie mille!
Risposte
Qualunque metodo adoperi, i risultati devono essere gli stessi.
Col metodo cinematico , le due pulegge sono un unico corpo rigido ,rotante attorno a un asse centrale di inerzia. Il momento delle forze esterne rispetto a tale asse causa variazione del momento angolare, quindi accelerazione angolare :
$\Sigma M_e = I\alpha$
hai un momento motore $MgR$ , e un momento resistente $-Tr$ , in cui $T$ è la tensione nel filo orizzontale .
A sua volta : $ T =ma = m\alpha*r$. PErò le accelerazioni lineari di $m$ ed $M$ sono diverse perchè diversi sono i raggi . Anche la velocita angolare del corpo rigido è unica , evidentemente , ma le velocita lineari delle due masse sono diverse, per lo stesso motivo anzidetto . Hai tutti gli elementi per determinare quello che ti serve .
Con il metodo energetico : il lavoro delle forze agenti su $M$ è anche uguale alla variazione di energia cinetica di $M$ . Devi analizzare attentamente le forze agenti su $M$ , tenendo conto che c'è una forza motrice $Mg$ e una fora resistente , data dalla tensione nel filo che sostiene $M$ . Questa tensione dipende da quello che c'è a monte di $M$ : la puleggia doppia e la massa $m$ , e anche l'eventuale attrito di $m$ col piano .
Oppure devi considerare la variazione di energia cinetica totale (ci sono tre corpi che si muovono) e uguagliarla alla variazione di energia potenziale . Vedi tu .
Col metodo cinematico , le due pulegge sono un unico corpo rigido ,rotante attorno a un asse centrale di inerzia. Il momento delle forze esterne rispetto a tale asse causa variazione del momento angolare, quindi accelerazione angolare :
$\Sigma M_e = I\alpha$
hai un momento motore $MgR$ , e un momento resistente $-Tr$ , in cui $T$ è la tensione nel filo orizzontale .
A sua volta : $ T =ma = m\alpha*r$. PErò le accelerazioni lineari di $m$ ed $M$ sono diverse perchè diversi sono i raggi . Anche la velocita angolare del corpo rigido è unica , evidentemente , ma le velocita lineari delle due masse sono diverse, per lo stesso motivo anzidetto . Hai tutti gli elementi per determinare quello che ti serve .
Con il metodo energetico : il lavoro delle forze agenti su $M$ è anche uguale alla variazione di energia cinetica di $M$ . Devi analizzare attentamente le forze agenti su $M$ , tenendo conto che c'è una forza motrice $Mg$ e una fora resistente , data dalla tensione nel filo che sostiene $M$ . Questa tensione dipende da quello che c'è a monte di $M$ : la puleggia doppia e la massa $m$ , e anche l'eventuale attrito di $m$ col piano .
Oppure devi considerare la variazione di energia cinetica totale (ci sono tre corpi che si muovono) e uguagliarla alla variazione di energia potenziale . Vedi tu .
Va bene, grazie
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