Meccanica Rotazionale Momento Frenante

[Alex_20011]

Ciao a tutti,

Un disco omogeneo di massa M = 10 kg e raggio R = 20 cm ruota liberamente attorno al proprio
asse con velocità angolare ω0 = 10 rad/s. Sul disco viene azionato per un tempo T = 1 s un freno
elettromagnetico che genera una coppia frenante di momento meccanico Mf = -bω, dove ω è la
velocità angolare istantanea e b una costante pari a 0.30 Nms/rad. Determinare:
a) la velocità angolare del disco dopo l'azione del freno;
b) l'energia dissipata dal freno.

Ho provato a risolvere in questo modo:

Seconda eq.cardinale:

$I_dw_f-I_dw_I=\int_{0}^{T}-bw dt$ -> $I_dw_f-I_dw_I=-bϑΔ$

$ϑ=-1/2alphaT^2+w_0t$ e $alpha=(w_0-w)/T$

Poi sostituendo trovo $w_f$ ed infine facendo la differenza tra energia cinetica finale e inziale trovo l'energia dissipata.

Riscontro particolari difficoltà con questo genere d'esercizi, non sono convinto che il procedimento sia corretto, non avendo soluzioni. Grazie per un eventuale aiuto

[ingres]

Conviene non integrare subito l'equazione del moto ma esaminarla con attenzione. Risulta

$I (d omega)/dt = -b omega$

ovvero

$(d omega) /dt +b/I omega = 0$

$omega(0) = omega_0$

Questa è un'equazione differenziale del primo ordine. Posto $tau = I/b$, la soluzione potrà scriversi come

$omega(t) = omega_0 e^(-t/tau)$

A questo punto è semplice calcolare la velocità angolare all'istante T e poi di conseguenza l'energia dissipata.

[Alex_20011]

Chiaro, purtroppo non ho ancora affrontato l'eq. differenziali, non sarei arrivato alla soluzione, buon spunto per approfondire.

[ingres]

"Alex_2001": purtroppo non ho ancora affrontato l'eq. differenziali,

Puoi allora affrontare questo tipo di problemi in modo meno strutturato ma decisamente più semplice per separazione delle variabili, ovvero riscrivere l'equazione in questo modo

$(d omega)/omega = - dt/tau$

e quindi integrando ambo i membri

$int_(omega_0)^omega (d omega)/omega = -1/tau * int_0^t dt$

$ln(omega/omega_0) = -t/tau$

$omega = omega_0 * e^(-t/tau)$

[Alex_20011]

Prendo nota, prima volta che mi capita un problema di questo tipo, grazie!