Meccanica Razionale/Fisica matematica
Ciao a tutti... sto svolgendo un eserc. di meccanica razionale... se l'asta è omogenea, il baricentro è il centro dell'asta giusto?
Vi propongo un esercizio e spero in un vostro aiuto per la risoluzione (in questo caso l'asta non è omogenea)
Un'asta AB di lunghezza 2L è vincolata a restare in un piano verticale liscio Oxy, con y verticale discendente e incernierata senza attrito in O.
Al baricentro G dell'asta è applicata una forza elastica F=-k(G-D) don D proiezione di G sull'asse delle x e k>0.
Nell'ipotesi che l'asta sia non omogenea e la densità in un suo punto P generico sia data da u(P)=$(3m(AP)^2)/L^3$ si calcolino le posizio di equilibrio per AB discutendone la stabilità.
ho iniziato calcolando la massa che mi viene 8m
non riesco a capire quanti GdL ci sono...
Vi propongo un esercizio e spero in un vostro aiuto per la risoluzione (in questo caso l'asta non è omogenea)
Un'asta AB di lunghezza 2L è vincolata a restare in un piano verticale liscio Oxy, con y verticale discendente e incernierata senza attrito in O.
Al baricentro G dell'asta è applicata una forza elastica F=-k(G-D) don D proiezione di G sull'asse delle x e k>0.
Nell'ipotesi che l'asta sia non omogenea e la densità in un suo punto P generico sia data da u(P)=$(3m(AP)^2)/L^3$ si calcolino le posizio di equilibrio per AB discutendone la stabilità.
ho iniziato calcolando la massa che mi viene 8m
non riesco a capire quanti GdL ci sono...
Risposte
Prova a mettere come variabile $\theta$ l'angolo fra l'asta e l'asse $y$, riesci ad individuare tutti i possibili spostamenti dell'asta? io direi di sì dato che può solo ruotare! quindi si muove in una sola dimensione.
è a un grado d libertà?
Muoversi in una sola dimensione=1 grado di libertà^^, quindi SI
apparte che si muove su un piano....comunque ne dovrebbe avere uno perchè hai solo un parametro...
Per gli equlibri puoi lavorare con i potenziali...
Per gli equlibri puoi lavorare con i potenziali...
Si in effetti mi sono espresso da schifo^^ 
ho calcolato il baricentro e viene $3/2$ L e quindi le coord del baric sono $(3/2l sen theta, 3/2 cosl cos theta)
poi ho calcolato il potenziale della forza peso, forza elastica, il potenz totale.. e ora mi sono bloccata
poi ho calcolato il potenziale della forza peso, forza elastica, il potenz totale.. e ora mi sono bloccata
Ma come ti sei bloccata sul più bello!!!
Le posizioni di equilibrio si ottengo imponendo la derivata del potenziale (rispetto alle coordinate) uguale a zero, quindi se hai usato la coordinata $\theta$ devi fare
$\frac(d U)(d \theta)=0$
Ma questo è un concetto fondamentale se non lo conosci guardalo prima di continuare l'esercizio c'è l'hai di sicuro su qualunque testo ti fisica o meccanica razionale, và sotto il nome di teorema della stazionarietà dell'energia potenziale o qualcosa di simile dipende dal testo...
Le posizioni di equilibrio si ottengo imponendo la derivata del potenziale (rispetto alle coordinate) uguale a zero, quindi se hai usato la coordinata $\theta$ devi fare
$\frac(d U)(d \theta)=0$
Ma questo è un concetto fondamentale se non lo conosci guardalo prima di continuare l'esercizio c'è l'hai di sicuro su qualunque testo ti fisica o meccanica razionale, và sotto il nome di teorema della stazionarietà dell'energia potenziale o qualcosa di simile dipende dal testo...
grazie mille
Allora la forza peso mi viene $12mglcostheta$
la forza elastica $-9/8kl^2cos^2theta$
quindi
$\frac(d U)(d\theta)=-12mglcostheta-9/8kl^2[2(costheta)(-sentheta)]$ è così?
a questo punto???
la forza elastica $-9/8kl^2cos^2theta$
quindi
$\frac(d U)(d\theta)=-12mglcostheta-9/8kl^2[2(costheta)(-sentheta)]$ è così?
a questo punto???
ok!perfetto...ora la poni uguale a zero....magari potresti raccogliere un coseno....
allora...
$-12mglcostheta-9/8kl^2costhetasentheta$
raccolgo $costheta[-12mgl+9/8kl^2sentheta]=0$
giusto?
$-12mglcostheta-9/8kl^2costhetasentheta$
raccolgo $costheta[-12mgl+9/8kl^2sentheta]=0$
giusto?
pongo $\frac(d U)(d\theta)=0$ per vedere per quali punti si annullerà e quindi se sarà di equilibrio e quindi $costheta=0$
$ theta1=0, theta2=pi$
$ theta1=0, theta2=pi$
bè il coseno si annulla in $(\pi)/2 +k\pi$
poi devi annullare l'elemento all'interno della parentesi
poi devi annullare l'elemento all'interno della parentesi
ciao Littlestar anche io sono alle prese con l'esame di fisica matematica....ma quale università frequenti?
te????
ELWOOD mi sorge un dubbio... è giusto mettere il cos in evidenza? o dovevo mettere in evidenza sen? anche se non avrei potuto.. però penso di aver sbagliato.. il potenziale della forza peso mi viene 12mglcos$theta$ quando poi studio l'equilibrio e la stabilità metto il meno davanti e resta tutto uguale? ho questo dubbio.. o diventa -12mglsen$theta$? graziee
partendo dall'ultima espressione che hai scritto del potenziale hai fatto bene a raccogliere il coseno.
Facendo così hai:
$\cos\theta=0$ hai 2 posizioni di equilibrio: $\theta_1=(\pi)/2$ e $\theta_1=(3\pi)/2$
poi uguagli a zero l'espressione all'interno della parentesi
$\sin\theta=-\frac{32}{3}\frac{mg}{kl}$
$\theta_1=\arcsin(-\frac{32}{3}\frac{mg}{kl})$ e $\theta_2=\arcsin(+\frac{32}{3}\frac{mg}{kl})$
ora non resta che studiare la stabilità in queste 4 posizioni d'equilibrio
Facendo così hai:
$\cos\theta=0$ hai 2 posizioni di equilibrio: $\theta_1=(\pi)/2$ e $\theta_1=(3\pi)/2$
poi uguagli a zero l'espressione all'interno della parentesi
$\sin\theta=-\frac{32}{3}\frac{mg}{kl}$
$\theta_1=\arcsin(-\frac{32}{3}\frac{mg}{kl})$ e $\theta_2=\arcsin(+\frac{32}{3}\frac{mg}{kl})$
ora non resta che studiare la stabilità in queste 4 posizioni d'equilibrio
quindi è giusto così? perchè mi hanno detto che quando faccio $\frac (d U)(d\theta)=-12mglsentheta$ invece nel potenziale della forza peso ottengo $12mglcostheta$ che dici? sono un pò confusa
io ho presupposto ke quell'espressione del potenziale sia giusta....se è così va bene.
In ogni caso non ti puoi sbagliare, questo è il procedimento:
-determinazione del potenziale totale
-determinazione delle configurazioni degli equilibri attraverso l'annullamento della derivata del potenziale rispetto ai parametri lagrangiani
-verifica delle stabilità attraverso la derivata seconda
...ora scappo ke Trento mi aspetta!
buon lavoro,ciao un bacio
In ogni caso non ti puoi sbagliare, questo è il procedimento:
-determinazione del potenziale totale
-determinazione delle configurazioni degli equilibri attraverso l'annullamento della derivata del potenziale rispetto ai parametri lagrangiani
-verifica delle stabilità attraverso la derivata seconda
...ora scappo ke Trento mi aspetta!
buon lavoro,ciao un bacio
ti ringarzio.
ciaociao :*
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