Meccanica Razionale: scomposizione vettore in due componenti

[davideama]

Ciao a tutti, mi dispiace disturbarvi per un problema cosi ma non riesco a venirne a capo
Sto preparando l'esame di meccanica Razionale e sono bloccato a questa formula, non mi torna e non riesco a capire come ci sia arrivato.


ho provato a farmi dei disegni e bene o male la componente parallela credo di aver capito come la ricava ma non mi torna il modulo a denominatore, mentre la componente perpendicolare mi è oscura.

Vorrei chiedervi se potete aiutarmi a capire, magari con qualche disegno e dimostrazione, sono ad un punto cieco

[Falco5x]

In effetti queste formule sembrano scritte dell'UCAS (ufficio complicazione affari semplici).

Sia U il vettore da scomporre. Possiamo pensarlo come somma di due vettori che rispettino la definizione di essere rispettivamente parallelo e ortogonale a un secondo vettore V dato:

$$u = {u_{pv}} + {u_{nv}}$$

La componente parallela si può scrivere:

$${u_{pv}} = \left( {\left| u \right|\cos \alpha } \right){w_{pv}}$$

dove $w_{pv}$ è un versore (vettore unitario) parallelo a V e l'angolo alfa è quello tra U e V.
Si può anche scrivere:

$${w_{pv}} = \frac{v}
{{\left| v \right|}}$$

Allora si può anche scrivere:

$${u_{pv}} = \frac{{\left( {u \cdot v} \right)v}}
{{{{\left| v \right|}^2}}} = \frac{{\left( {\left| u \right|\left| v \right|\cos \alpha } \right)v}}
{{{{\left| v \right|}^2}}} = \left( {\left| u \right|\cos \alpha } \right)\frac{v}
{{\left| v \right|}}$$

che è una scrittura del tutto equivalente alla precedente.

Analogamente, ma con un po' più di fatica, si definisce il versore ortogonale a V e complanare a U:

$${w_{nv}} = \frac{{v \times \left( {u \times v} \right)}}
{{\left| u \right|{{\left| v \right|}^2}\sin \alpha }}$$

Puoi verificare che è davvero ortogonale a V e complanare a U, e che ha modulo unitario.

La componente di U ortogonale a V è dunque:

$${u_{nv}} = \left( {\left| u \right|\sin \alpha } \right){w_{nv}}$$

da cui si verifica che una scrittura esattamente equivalente è la seguente:

$${u_{nv}} = \frac{{v \times \left( {u \times v} \right)}}
{{{{\left| v \right|}^2}}} = \frac{1}
{{{{\left| v \right|}^2}}}\left( {\left| u \right|{{\left| v \right|}^2}\sin \alpha } \right)\frac{{v \times \left( {u \times v} \right)}}
{{\left| u \right|{{\left| v \right|}^2}\sin \alpha }} = \left| u \right|\sin \alpha \frac{{v \times \left( {u \times v} \right)}}
{{\left| u \right|{{\left| v \right|}^2}\sin \alpha }}$$

[davideama]

Guarda sei stato davvero gentile, la spiegazione è chiarissima, grazie e mille davvero