[Meccanica razionale] Problema di meccanica Lagrangiana

[Sk_Anonymous]

Si supponga che un sistema Lagrangiano abbia energia cinetica della forma:

$T=\sum_{i}f_i(q_i)*\dot{q_i}^2$ (notare il puntino sopra il secondo fattore del prodotto)

ed energia potenziale della forma:

$V=\sum_iV_i(q_i)$

Si dimostri che le equazioni di Lagrange si separano, cioè ciascuna equazione può esprimersi solo in termini di una delle $q_i$ e delle sue derivate. Mostrare inoltre che le equazioni così ottenute si possono sempre risolvere mediante la soluzione di integrali.

Qualche suggerimento? Io non so da dove partire.

[Cmax1]

La lagrangiana è già diagonale, in quanto somma di termini ciascuno dei quali dipende solo da una coordinata, e le equazioni di Lagrange sono quindi (tralasciando gli indici per leggerezza di notazione) $2f(q)\ddot{q}+f'(q)\dot{q}^2+V'(q)=0$. Per lo stesso motivo, a ciascun grado di libertà è associata un'energia che si conserva, cioè $f(q)\dot{q}^2+V(q)=E$, da cui la soluzione si ottiene analogamente al caso monodimensionale $t=\intdq\sqrt\frac{f(q)}{E-V(q)}$.