[Meccanica razionale] Momento di inerzia
Ciao, stavo svolgendo quest'esercizio...
Non capisco come calcolare il momento di inerzia. Volevo vederlo come $I=1/12mL^2$, ma non coincide con quanto indicato.
L'energia cinetica di traslazione $1/2mdotz^2$ è giusta, ma non è altrettanto giusta l'energia cinetica rotazionale...
Non capisco come calcolare il momento di inerzia. Volevo vederlo come $I=1/12mL^2$, ma non coincide con quanto indicato.
L'energia cinetica di traslazione $1/2mdotz^2$ è giusta, ma non è altrettanto giusta l'energia cinetica rotazionale...
Risposte
Quello che hai scritto è il momento di inerzia proprio dell'asta, ed è giusto.
L'energia cinetica è somma di due termini, quella di traslazione (= massa immaginata concentrata nel CM, il cui moto è rotatorio rispetto all'asse 3 ) e quella di rotazione dell'asta attorno al CM. Le due velocità sono collegate tra loro.
L'energia cinetica è somma di due termini, quella di traslazione (= massa immaginata concentrata nel CM, il cui moto è rotatorio rispetto all'asse 3 ) e quella di rotazione dell'asta attorno al CM. Le due velocità sono collegate tra loro.
OK. Io dunque ho un moto rototraslatorio la cui energia cinetica è data dalla somma della componente di traslazione rispetto al piano $(x_1, x_2)$ e della componente rotazionale rispetto all'asse $x_3$: in entrambi i casi, per il teorema di Koenig, prendo il CM a riferimento, ottenendo:
$K=1/2mdotz^2+1/2Idotvarphi^2$.
Ora però $I$ dovrebbe uguagliare, andando a guardare la soluzione, $m(R^2+RL+1/3L^2)$, ma come?
$K=1/2mdotz^2+1/2Idotvarphi^2$.
Ora però $I$ dovrebbe uguagliare, andando a guardare la soluzione, $m(R^2+RL+1/3L^2)$, ma come?
Innanzitutto io non ho capito dal testo come si muove quest'asta. Adesso mi dici che si muove pure in senso verticale? Ma non c'è un testo ? Avevo pensato che si muovesse mantenendo costante la distanza dal piano orizzontale.
Tieni presente che il moto attorno all'asse verticale è come quello della Luna rispetto alla Terra : presenta sempre la stessa faccia rispetto all'asse, quindi il periodo di rotazione è uguale al periodo di rivoluzione. Ci sono due energie cinetiche, solo qui.
Tieni presente che il moto attorno all'asse verticale è come quello della Luna rispetto alla Terra : presenta sempre la stessa faccia rispetto all'asse, quindi il periodo di rotazione è uguale al periodo di rivoluzione. Ci sono due energie cinetiche, solo qui.
Sì, scusa. Il testo è quello che avevo aggiunto al 1° post, ma non dice altro: c'è un'asta $bar(AB)$ di lunghezza $L>0$ e massa $m>0$ che soddisfa i vincoli di cui sopra, con $R>0$, e bisogna calcolarne l'energia cinetica. Dal 1° vincolo, ho dedotto che l'asta giace su una circonferenza, che in realtà è una superficie cilindrica stando in $R^3$; dal 2°, che è perpendicolare all'asse del cilindro; e dal 3°, dopo alcuni ragionamenti, che ha direzione radiale. Visto che non specifica se la distanza tra asta e piano orizzontale sia costante o meno (non ci sono vincoli in tal senso), ho ipotizzato che possa variare, e ho posto $z$ come coordinata lagrangiana. L'altra coordinata lagrangiana è $varphi$, cioè l'angolo tra $vece_2$ e, chiamiamolo così, $vecu_2$ (nel sistema di riferimento mobile solidale all'asta). A quanto ho potuto notare da altri esercizi, i modi per risolvere problemi di questo tipo sono più di 1: il Prof. stesso, a volte, ce ne propone qualcuno come "In alternativa, [...]". Ad esempio, in questo caso, il Prof. utilizza la definizione stessa di energia cinetica (immagine in fondo). E' un procedimento che ho capito, però visto che, come negli altri casi, si può utilizzare anche il teorema di Koenig, vorrei riuscire a risolverlo pure così. Anche perché, in un esercizio del tutto analogo (il Prof. associa gli esercizi a coppie, un po' come le "file" di un compito in classe, per cui l'esercizio 21.A sarà quasi uguale al 21.B, e così via), l'ho utilizzato ed è andata bene.
Allora : l'energia dovuta al moto di traslazione verticale è $1/2mdotz^2$ , e qui non si scappa.
Poi hai un moto di rivoluzione e un moto di rotazione dell'asta, che danno altri due contributi all'energia cinetica totale. I due moti suddetti hanno lo stesso periodo.
Poi hai un moto di rivoluzione e un moto di rotazione dell'asta, che danno altri due contributi all'energia cinetica totale. I due moti suddetti hanno lo stesso periodo.
Ah, forse ho capito. Quindi non c'è solo la rivoluzione dell'asta (come pensavo io), bensì anche il moto dell'asta rispetto al suo centro di massa, cosicché la direzione sia radiale, come impone il 3° vincolo (nel caso della Luna, cosicché dia sempre la stessa faccia alla Terra). Per cui avrò 2 energie cinetiche in tal senso: l'una relativa alla rivoluzione del centro di massa dell'asta rispetto all'asse $x_3$; l'altra relativa alla rotazione dell'asta rispetto al suo centro di massa. I 2 moti avranno lo stesso periodo, e così, in entrambi i casi, $omega=dotvarphi$.
MOTO 1
$I=1/3m(R+L/2)^2, K=1/2Idotvarphi^2=1/6m(R^2+L^2/4+RL)dotvarphi^2$
MOTO 2
$I=1/12mL^2, K=1/2Idotvarphi^2=1/24mL^2dotvarphi^2$
MOTO 1 + MOTO 2
$K=1/6mdotvarphi^2(R^2+L^2/2+RL)$, che però non va ancora bene. Anche se è un passo avanti. Ho sbagliato sulle $I$?
MOTO 1
$I=1/3m(R+L/2)^2, K=1/2Idotvarphi^2=1/6m(R^2+L^2/4+RL)dotvarphi^2$
MOTO 2
$I=1/12mL^2, K=1/2Idotvarphi^2=1/24mL^2dotvarphi^2$
MOTO 1 + MOTO 2
$K=1/6mdotvarphi^2(R^2+L^2/2+RL)$, che però non va ancora bene. Anche se è un passo avanti. Ho sbagliato sulle $I$?
Ma questo R chi è ? La distanza del primo estremo dall'asse ? Allora, chiama $D$ la distanza del CM dall'asse. Sarà:
$D = R + L/2$ .
Il m.i. rispetto all'asse è somma del m.i. proprio $1/(12)mL^2$ e del temine di trasporto : $ mD^2$ . Questo è il m.i. che va nella eq dell'energia cinetica del primo moto, la rivoluzione.
Quella del secondo moto, la rotazione, è scritta bene.
Prova a fare i conti. Io non li ho fatti.
$D = R + L/2$ .
Il m.i. rispetto all'asse è somma del m.i. proprio $1/(12)mL^2$ e del temine di trasporto : $ mD^2$ . Questo è il m.i. che va nella eq dell'energia cinetica del primo moto, la rivoluzione.
Quella del secondo moto, la rotazione, è scritta bene.
Prova a fare i conti. Io non li ho fatti.
TRASLAZIONE: $K=1/2mdotz^2$
RIVOLUZIONE: $I=1/12mL^2+m(R+L/2)^2, K=1/6mdotvarphi^2(L^2+3R^2+3RL)$
TRASLAZIONE + RIVOLUZIONE = Risultato indicato dal Prof.
Non viene considerata la rotazione...
RIVOLUZIONE: $I=1/12mL^2+m(R+L/2)^2, K=1/6mdotvarphi^2(L^2+3R^2+3RL)$
TRASLAZIONE + RIVOLUZIONE = Risultato indicato dal Prof.
Non viene considerata la rotazione...
Fermi tutti! E' uscito! Allora...
Ricordando che $C=((R+L/2)cosvarphi, (R+L/2)sinvarphi, z)=vec(OC)$, i moti sono 3.
1) Traslazione del centro di massa dell'asta rispetto a $x_3$: $v_C^(||)=dotz, K=1/2mdotz^2$.
2) Traslazione del centro di massa dell'asta rispetto al piano $(x_1, x_2)$: $vecv_C^bot=(-dotvarphi(R+L/2)sinvarphi, dotvarphi(R+L/2)cosvarphi, 0), K=1/2mdotvarphi^2(R+L/2)^2$.
3) Rotazione dell'asta rispetto al suo centro di massa: $K=1/2Idotvarphi^2$, con $I=1/12mL^2$.
Poi sommando il sommabile ed esplicitando $I$, ottengo il risultato indicato... Grazie per il grosso aiuto, navigatore!
1) Traslazione del centro di massa dell'asta rispetto a $x_3$: $v_C^(||)=dotz, K=1/2mdotz^2$.
2) Traslazione del centro di massa dell'asta rispetto al piano $(x_1, x_2)$: $vecv_C^bot=(-dotvarphi(R+L/2)sinvarphi, dotvarphi(R+L/2)cosvarphi, 0), K=1/2mdotvarphi^2(R+L/2)^2$.
3) Rotazione dell'asta rispetto al suo centro di massa: $K=1/2Idotvarphi^2$, con $I=1/12mL^2$.
Poi sommando il sommabile ed esplicitando $I$, ottengo il risultato indicato... Grazie per il grosso aiuto, navigatore!
È uscito? E dove è andato, a farsi una birra o due ? 
Ciao Bubbino.
Ciao Bubbino.
"Bubbino1993":
TRASLAZIONE: $K=1/2mdotz^2$
RIVOLUZIONE: $I=1/12mL^2+m(R+L/2)^2, K=1/6mdotvarphi^2(L^2+3R^2+3RL)$
TRASLAZIONE + RIVOLUZIONE = Risultato indicato dal Prof.
Non viene considerata la rotazione...
Adesso che e' risolto (non volevo intromettermi prima per correttezza), fammi aggiungere 2 cose che ti sono sfuggite dalla spiegazione che ti ha dato il Nav:
E' ovvio che la rotazione non e' considerata: rispetto all'asse z, l'asse ha solo un moto di rivoluzione, ma non di rotazione. l'asse z e' infatti centro di istantanea rotazione dell'asta.
La rotazione + la rivoluzione la vedi solo se ti metti nel centro di massa della barra. In quel sistema di riferimento il cdm trasla con moto circolare uniforme intorno a z e IN PIU' la barra ruota attorno all'origine (con lo stesso periodo, come ti ha detto navigatore). se fai i conti mettendoti nel cdm vedrai che torna.
Un altro modo di trovare $E_k$ (se mi funzionasse l'editor che fa le bizze) e' quello di considerare una particella di massa dm della barretta a distanza x da z.
L'energia cinetica di quella massettina che si muove di moto rotatorio attorno a z, sarebbe $1/2dmx\dot\varphi\^2$.
Dato che $dm=\rho\dx$, sostituendo e integrando tra $R$ e $R+L$ e ricordando che $\rho=M/L$, trovi esattamente lo stesso risultato (provare per credere
).
OK, capito, grazie anche a te per la spiegazione, PK. Comunque lunedì pomeriggio faccio anche il calcolo di verifica, con $dK=1/2dmx^2dotvarphi^2$ (prima non riesco, che lunedì mattina ho un esonero, di un'altra materia). Ciao. 
Ho verificato, è OK! 
"Bubbino1993":
Ho verificato, è OK!
Strano, eh?
Lo so che tornava, non aggiungevo nulla al thread: volevo solo che risolvessi l'integrale, ah, ah, ah!!!
Ahahah, sì, lo sapevo!
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