[Meccanica Razionale] Energia cinetica di un'asta
Buonasera. Stavo svolgendo il seguente esercizio. In generale, l'ho capito, e sono riuscito a svolgerlo. Tuttavia ho un dubbio sul calcolo dell'energia cinetica.
Usando le coordinate sferiche, parametrizzo la posizione di ogni punto dell'asta. Dunque $theta$ e $varphi$ sono le coordinate lagrangiane: $theta$ indica l'angolo tra l'asta e l'asse $x_3$; $varphi$ indica l'angolo tra l'asta e l'asse $x_1$.
$vecX=(ssinthetacosvarphi, ssinthetasinvarphi, scostheta), -L<=s<=L$.
Poiché i vincoli sono fissi, $vecv=(partialvecx)/(partialtheta)dottheta+(partialvecx)/(partialvarphi)dotvarphi=s(dotthetacosthetacosvarphi-dotvarphisinthetasinvarphi, dotthetacosthetasinvarphi+dotvarphisinthetacosvarphi, -dotthetasintheta)$.
Non riuscendo ad applicare il th. Koenig, ho deciso di sfruttare la definizione stessa di energia cinetica:
$K=int_(-L)^L1/2m/(lunghezza)v^2ds$, con $v^2=s^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$.
Poiché la lunghezza è $2L$, ottengo:
$K=1/6mL^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$.
Tuttavia per fare uscire il risultato indicato [equazioni di Lagrange] l'energia cinetica sarebbe dovuta essere il doppio di quanto viene a me, cioè ponendo la lunghezza pari a $L$. Ho ricontrollato i calcoli più volte: l'errore è concettuale, credo.
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare, e colgo l'occasione per augurare a tutti un Buon Natale.
Usando le coordinate sferiche, parametrizzo la posizione di ogni punto dell'asta. Dunque $theta$ e $varphi$ sono le coordinate lagrangiane: $theta$ indica l'angolo tra l'asta e l'asse $x_3$; $varphi$ indica l'angolo tra l'asta e l'asse $x_1$.
$vecX=(ssinthetacosvarphi, ssinthetasinvarphi, scostheta), -L<=s<=L$.
Poiché i vincoli sono fissi, $vecv=(partialvecx)/(partialtheta)dottheta+(partialvecx)/(partialvarphi)dotvarphi=s(dotthetacosthetacosvarphi-dotvarphisinthetasinvarphi, dotthetacosthetasinvarphi+dotvarphisinthetacosvarphi, -dotthetasintheta)$.
Non riuscendo ad applicare il th. Koenig, ho deciso di sfruttare la definizione stessa di energia cinetica:
$K=int_(-L)^L1/2m/(lunghezza)v^2ds$, con $v^2=s^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$.
Poiché la lunghezza è $2L$, ottengo:
$K=1/6mL^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$.
Tuttavia per fare uscire il risultato indicato [equazioni di Lagrange] l'energia cinetica sarebbe dovuta essere il doppio di quanto viene a me, cioè ponendo la lunghezza pari a $L$. Ho ricontrollato i calcoli più volte: l'errore è concettuale, credo.
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare, e colgo l'occasione per augurare a tutti un Buon Natale.
Risposte
Che brutto libro di testo ti hanno dato!
Hai ragione tu, mi sa.
Io ho calcolato l'energia cinetica come $1/2I\omega^2$ con I momento di intorno all'asse centrale della sbarra di lunghezza $2L$ : \( I=\frac{M\dot (2L)^2}{12}=\frac{ML^2}{3} \)
Risulta:
\( K = \frac{1}2\frac{ML^2}{3}(\dot{\theta}^2+\dot {\varphi}^2\cdot sin^2\theta) \)
Il resto dell'esercizio diventa banale.
Hai ragione tu, mi sa.
Io ho calcolato l'energia cinetica come $1/2I\omega^2$ con I momento di intorno all'asse centrale della sbarra di lunghezza $2L$ : \( I=\frac{M\dot (2L)^2}{12}=\frac{ML^2}{3} \)
Risulta:
\( K = \frac{1}2\frac{ML^2}{3}(\dot{\theta}^2+\dot {\varphi}^2\cdot sin^2\theta) \)
Il resto dell'esercizio diventa banale.
Grazie, PK.
A titolo di verifica per l'esercizio di cui sopra, vorrei mostrartene uno analogo, in cui sempre $K=1/6mL^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$. In questo caso, l'asta non era lunga $2L$ e non ruotava rispetto al centro di massa (vincolato nell'origine), bensì era lunga $L$ e ruotava rispetto ad un estremo (vincolato nell'origine). Se diciamo giusto, allora l'energia cinetica di un'asta rotante rispetto ad un estremo uguaglia l'energia cinetica di un'asta lunga il doppio rotante rispetto al centro di massa. E' verosimile un risultato del genere?
Grazie, PK.
A titolo di verifica per l'esercizio di cui sopra, vorrei mostrartene uno analogo, in cui sempre $K=1/6mL^2(dottheta^2+dotvarphi^2sin^2theta)$. In questo caso, l'asta non era lunga $2L$ e non ruotava rispetto al centro di massa (vincolato nell'origine), bensì era lunga $L$ e ruotava rispetto ad un estremo (vincolato nell'origine). Se diciamo giusto, allora l'energia cinetica di un'asta rotante rispetto ad un estremo uguaglia l'energia cinetica di un'asta lunga il doppio rotante rispetto al centro di massa. E' verosimile un risultato del genere?
Grazie, PK.
E' cosi.
Metti da parte l'esercizio specifico per un momento, e considera la sbarra incernierata in un piano libera di rotare.
Caso (1): sbarra incernierata nel punto di mezzo (CdM) e lunga 2L
Momento di inerzia: \( I=\frac{M\cdot4L^2}{12}=\frac{ML^2}{3} \)
Caso (2): sbarra lunga L incernierata all'estremo. Per Huygens Steiner: \( I=\frac{M\cdot L^2}{12}+M \frac{L^2}{4}=\frac{ML^2}{3} \)
Quindi \( K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{ML^2}{6}\omega^2 \)
La velocita $\omega$ e' la somma della velocita della proiezione della sbarra sul piano x-y (componente: \( sin\theta\cdot\dot{\varphi} \) ) e della componente intorno a un asse qualsiasi appartenente al piano x-y ( \(\dot{\theta} \) ). La somma delle due componenti, quadrata, ti da $\omega^2$ da inserire nell'energia cinetica.
Metti da parte l'esercizio specifico per un momento, e considera la sbarra incernierata in un piano libera di rotare.
Caso (1): sbarra incernierata nel punto di mezzo (CdM) e lunga 2L
Momento di inerzia: \( I=\frac{M\cdot4L^2}{12}=\frac{ML^2}{3} \)
Caso (2): sbarra lunga L incernierata all'estremo. Per Huygens Steiner: \( I=\frac{M\cdot L^2}{12}+M \frac{L^2}{4}=\frac{ML^2}{3} \)
Quindi \( K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{ML^2}{6}\omega^2 \)
La velocita $\omega$ e' la somma della velocita della proiezione della sbarra sul piano x-y (componente: \( sin\theta\cdot\dot{\varphi} \) ) e della componente intorno a un asse qualsiasi appartenente al piano x-y ( \(\dot{\theta} \) ). La somma delle due componenti, quadrata, ti da $\omega^2$ da inserire nell'energia cinetica.
Perfetto, capito. Evidentemente è sbagliata la soluzione sulle Dispense del Prof. Gli manderò una mail per un chiarimento e confermerò qui (magari qualche altro ragazzo ha seguito la discussione senza intervenire e non è convinto).
Grazie, PK.
Grazie, PK.
Il Prof. ha risposto alla mia mail confermando le nostre conclusioni... Grazie dell'aiuto, PK: ho pure fatto bella figura! 
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