[Meccanica Razionale] Dinamica per sistemi vincolati
Buongiorno, stavo svolgendo l'esercizio in allegato e, in generale, l'ho capito: è compiuto lavoro solo da forze conservative (f. peso), visto che la reazione vincolare è perpendicolare allo spostamento, per cui possiamo applicare la legge di conservazione dell'energia meccanica, etc. Non ho capito però un passaggio: si parla di "ovvie considerazioni geometriche", ma non ho capito quali esse siano. Qualcuno saprebbe darmi una delucidazione in merito, per caso? Grazie! 
Risposte
E' difficile spiegare senza un disegnino.
Questo cerchio e praticamente un cerchio con centro nell'origine, il diametro che "ruota" intorno ad x, fino a bloccarsi a 45 gradi tra y e z. Se guardi il disegno con l'asse x uscente dal foglio, y verso destra e z verso l'alto quello che vedi e' di fatto una retta (proiezione del cerchio sul piano y-z)
Il punto parte dall'asse delle x (a distanza R fuori dal foglio, verso di te).
Quando raggiunge il minimo del cerchio, il vettore tangente, te ne rendi conto, e' orientato parallelo a x, entrante nel foglio, cioe' opposto a x, e quindi al versore $e_1$, cioe, $T=-e_1$.
Il versore centripeto N, e' diretto verso l'origine, con componenti parallele a y e z. Cioe' $N = e_1 + e_2. La radice di 2 serve per versorizzare N, cioe' per fargli avere modulo unitario.
B e' il prodotto vettoriale tra T ed N, se non vuoi sforzare l'immaginazione, oppure, sforzando l, immeaginazione, con la regola della mano destra, ti rendi conto che ha una componente orizzontale parallela a y, e una verticale opposta a z. Cioe $e_2$ e $-e_3$. Nuovamente, ti serve la radice di 2 per far diventare B di modulo unitario.
Spero che sia chiaro, e' difficile da spiegare a parole, ci vuole un disegnino.
ciao
PK
Questo cerchio e praticamente un cerchio con centro nell'origine, il diametro che "ruota" intorno ad x, fino a bloccarsi a 45 gradi tra y e z. Se guardi il disegno con l'asse x uscente dal foglio, y verso destra e z verso l'alto quello che vedi e' di fatto una retta (proiezione del cerchio sul piano y-z)
Il punto parte dall'asse delle x (a distanza R fuori dal foglio, verso di te).
Quando raggiunge il minimo del cerchio, il vettore tangente, te ne rendi conto, e' orientato parallelo a x, entrante nel foglio, cioe' opposto a x, e quindi al versore $e_1$, cioe, $T=-e_1$.
Il versore centripeto N, e' diretto verso l'origine, con componenti parallele a y e z. Cioe' $N = e_1 + e_2. La radice di 2 serve per versorizzare N, cioe' per fargli avere modulo unitario.
B e' il prodotto vettoriale tra T ed N, se non vuoi sforzare l'immaginazione, oppure, sforzando l, immeaginazione, con la regola della mano destra, ti rendi conto che ha una componente orizzontale parallela a y, e una verticale opposta a z. Cioe $e_2$ e $-e_3$. Nuovamente, ti serve la radice di 2 per far diventare B di modulo unitario.
Spero che sia chiaro, e' difficile da spiegare a parole, ci vuole un disegnino.
ciao
PK
Grazie, PK. ... Il concetto l'ho capito, però ho questo timore: se lì per lì non notassi queste cose, potrei parametrizzare la curva, in modo da ricavare $\vec T, \vec N, \vec B$, come al solito? Cioè se, ad esempio, ponessi $x_1=R*cos(s/R), x_2=sqrt(2)/2*R*sin(s/R), x_3=sqrt(2)/2*R*sin(s/R)$... Uscirebbe appunto che $(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2=R^2, x_2=x_3$, ma poi $\vec T, \vec N, \vec B$ mi verrebbero diversi da quelli indicati... 
... Il concetto l'ho capito, però ho questo timore: se lì per lì non notassi queste cose, potrei parametrizzare la curva, in modo da ricavare $\vec T, \vec N, \vec B$, come al solito? Cioè se, ad esempio, ponessi $x_1=R*cos(s/R), x_2=sqrt(2)/2*R*sin(s/R), x_3=sqrt(2)/2*R*sin(s/R)$... Uscirebbe appunto che $(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2=R^2, x_2=x_3$, ma poi $\vec T, \vec N, \vec B$ mi verrebbero diversi da quelli indicati...
E' semplice concettualmente, ma complicato dal punto di vista dei calcoli.
Puo' essere (forse) conveniente fare una rotazione del sistema di riferimento in modo che uno degli assi coincida con l'asse del cerchio oppure ti fai una paccata di derivate e prodotti vettoriali.
Si puo' fare, ma e' una sfacchinata e io rifuggo per forma mentis dai calcoli (tendo a distrarmi parecchio e a sbagliare). Meglio sempre provare a ragionamento, e alla mala parata ricorrere ai calcoli.
Fammi vedere come raggiungi T per esempio.
Puo' essere (forse) conveniente fare una rotazione del sistema di riferimento in modo che uno degli assi coincida con l'asse del cerchio oppure ti fai una paccata di derivate e prodotti vettoriali.
Si puo' fare, ma e' una sfacchinata e io rifuggo per forma mentis dai calcoli (tendo a distrarmi parecchio e a sbagliare). Meglio sempre provare a ragionamento, e alla mala parata ricorrere ai calcoli.
Fammi vedere come raggiungi T per esempio.
$\vec T=(-sin(s/R), sqrt(2)/2*cos(s/R), sqrt(2)/2*cos(s/R))$
L'ho ottenuto derivando rispetto a s le componenti $x_1, x_2, x_3$ venute fuori dalla parametrizzazione della circonferenza...
Devi derivare anche l'argomento delle funzioni cos e sen.
Comunque ti suggerisco di metterti nella sistema ruotato di 45 gradi attorno a x, in modo che z coincida con l'asse della circonferenza - se chiami \( x',y',z' \) i 3 nuovi assi, ora sei in una circonferenza che giace sul piano x'y'.
A questo punto calcolare vettori tangente e normale e binormale diventa facile. Poi li riporti al sistema xyz in maniera abbastanza facile.
prova, se non ce la fai ti faccio vedere come fare
Comunque ti suggerisco di metterti nella sistema ruotato di 45 gradi attorno a x, in modo che z coincida con l'asse della circonferenza - se chiami \( x',y',z' \) i 3 nuovi assi, ora sei in una circonferenza che giace sul piano x'y'.
A questo punto calcolare vettori tangente e normale e binormale diventa facile. Poi li riporti al sistema xyz in maniera abbastanza facile.
prova, se non ce la fai ti faccio vedere come fare
Sì, dunque avevo derivato anche l'argomento delle funzioni sin, cos. Per cui $\vec T=(R*(-sin(s/R))*1/R, sqrt(2)/2*R*cos(s/R)*1/R, sqrt(2)/2*R*cos(s/R)*1/R)=(-sin(s/R), sqrt(2)/2*cos(s/R), sqrt(2)/2*cos(s/R))$. Comunque OK, domattina provo a ruotare, etc.
Ti rendi conto gia' da questa vagonata di formule che un po' di ragionamento (quello che l'esercizio definisce "ovvie considerazioni geometriche), ti evita 15 minuti di calcolo e la possibilita' di errori (per esempio ti eri dimenticato di derivare l'argomento delle funzioni sin and cos)...
Sisi, ho capito, sono d'accordo, ma in realtà non avevo dimenticato di derivare l'argomento delle funzioni sin, cos: nel msg. 7, ho solo riportato i calcoli che mi avevano dato il risultato del msg. 4 (spiegato al msg. 5), dove già allora avevo derivato tutto il derivabile. Comunque ora provo a ruotare, etc.
In realta' tutto parte dal fatto che vuoi trovare T ed N dalle formule, per avere un conforto nel caso non fosse ovvio.
Non c'e' nemmeno bisono di ruotare:
la circonferenza si schiaccia su y-z, guardando x uscente dal foglio, ed e' una retta a 45.
Il vettore tangenziale e' parallelo ad x (lui lo prende negativo, evidentemente il punto per lui gira sulla circonferenza in senso orario guardando con z uscente dal foglio. Io personalmente preferisco assumere che il corpo viaggi in sensoantiorario, in modo da tenere z sulla sinistra. In questo modo il vettore \( \vec{\omega} =\dot{\vartheta}\vec{k} \) e' concorde con zeta.
Il vettore normale alla circonferenza nel punto \( -R\sqrt{2},-R\sqrt{2} \) e' quindi un vettore parallelo alla retta traccia della circonferenza nel piano.
Quindi e' la diagonale di un quadrato formato dalla somma dei due vettori \( \hat{j}+\hat{k} \), somma che deve essere poi divisa per il modulo (Cioe' per \( \sqrt{2} \)) per cambiare il vettore in un versore.
Dati T ed N, B viene come prodotto vettoriale semplice, oppure con cosiderazioni molto simili a sopra
Non c'e' nemmeno bisono di ruotare:
la circonferenza si schiaccia su y-z, guardando x uscente dal foglio, ed e' una retta a 45.
Il vettore tangenziale e' parallelo ad x (lui lo prende negativo, evidentemente il punto per lui gira sulla circonferenza in senso orario guardando con z uscente dal foglio. Io personalmente preferisco assumere che il corpo viaggi in sensoantiorario, in modo da tenere z sulla sinistra. In questo modo il vettore \( \vec{\omega} =\dot{\vartheta}\vec{k} \) e' concorde con zeta.
Il vettore normale alla circonferenza nel punto \( -R\sqrt{2},-R\sqrt{2} \) e' quindi un vettore parallelo alla retta traccia della circonferenza nel piano.
Quindi e' la diagonale di un quadrato formato dalla somma dei due vettori \( \hat{j}+\hat{k} \), somma che deve essere poi divisa per il modulo (Cioe' per \( \sqrt{2} \)) per cambiare il vettore in un versore.
Dati T ed N, B viene come prodotto vettoriale semplice, oppure con cosiderazioni molto simili a sopra
E' vero che sto cercando di trovarli dalle formule, ma è perché il ragionamento che era da fare non era, per me, immediato, per cui volevo provare a verificare si potesse fare in entrambi i modi ( un "conforto", sì! 
). Ora riproverò ovviamente. Ti ringrazio molto dell'attenzione e dei consigli, naturalmente... -- PS: In generale comunque sono d'accordo con te che è meglio ragionare che andare avanti a calcoli. Stavo provando a fare un esercizio sulla dinamica relativa, per esempio. Il Prof. attacca con le formule senza spiegarle (è fissato con il formalismo e basta); io invece ho fatto disegno, eccetera, cercando di arrivarci per via grafica, di ragionamento, eccetera. Per il momento, sbaglio di un "segno", però vabbè...
). Ora riproverò ovviamente. Ti ringrazio molto dell'attenzione e dei consigli, naturalmente... -- PS: In generale comunque sono d'accordo con te che è meglio ragionare che andare avanti a calcoli. Stavo provando a fare un esercizio sulla dinamica relativa, per esempio. Il Prof. attacca con le formule senza spiegarle (è fissato con il formalismo e basta); io invece ho fatto disegno, eccetera, cercando di arrivarci per via grafica, di ragionamento, eccetera. Per il momento, sbaglio di un "segno", però vabbè...
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