Meccanica razionale
Salve ragazzi .... non capisco la differenza tra moto rototraslatorio e elicoidale ... l'elicoidale è un caso particolare del rototraslatorio ??
Risposte
Dalla relazione fondamentale dei moti rigidi:
$v(P)=v(O)+omegaxx(P-O)$ si ricava che:
In ogni moto rigido, esiste in ogni istante una retta parallela a $omega$ i cui punti hanno velocità $v=(v(O)*omega)omega/(omega^2$ parallela a $omega$, tale asse è detto "asse di moto" o "asse di Mozzi" o "asse elicoidale", rispetto a un punto O di questo asse, la formula fondamentale diventa:
$v(P)=v+omegaxx(P-O)$, ossia i punti del corpo rigido traslano rigidamente di velocità v e ruotano rispetto a tale asse con velocità angolare $omega$, questo moto è proprio quello di una "vite" che avanza, per questo si parla di moto elicoidale, o più propriamente "atto di moto elicoidale". Questo è il cosiddetto Teorema di Mozzi: "OGNI ATTO DI MOTO RIGIDO E' ELICOIDALE".
Quando $v(O)*omega=0$ e $omega!=0$, allora i punti di tale asse sono istantaneamente fermi, tale asse è chiamato in questo caso "asse di istantanea rotazione", in questo caso, in ogni istante, il corpo compie un atto di rotazione pura attorno a questo asse.
Quando $omega=0$ si parla di atto di moto di traslazione.
$v(P)=v(O)+omegaxx(P-O)$ si ricava che:
In ogni moto rigido, esiste in ogni istante una retta parallela a $omega$ i cui punti hanno velocità $v=(v(O)*omega)omega/(omega^2$ parallela a $omega$, tale asse è detto "asse di moto" o "asse di Mozzi" o "asse elicoidale", rispetto a un punto O di questo asse, la formula fondamentale diventa:
$v(P)=v+omegaxx(P-O)$, ossia i punti del corpo rigido traslano rigidamente di velocità v e ruotano rispetto a tale asse con velocità angolare $omega$, questo moto è proprio quello di una "vite" che avanza, per questo si parla di moto elicoidale, o più propriamente "atto di moto elicoidale". Questo è il cosiddetto Teorema di Mozzi: "OGNI ATTO DI MOTO RIGIDO E' ELICOIDALE".
Quando $v(O)*omega=0$ e $omega!=0$, allora i punti di tale asse sono istantaneamente fermi, tale asse è chiamato in questo caso "asse di istantanea rotazione", in questo caso, in ogni istante, il corpo compie un atto di rotazione pura attorno a questo asse.
Quando $omega=0$ si parla di atto di moto di traslazione.
grazie mille ... tutto chiaro
Quando v(O)⋅ω=0 e ω≠0, allora i punti di tale asse sono istantaneamente fermi, tale asse è chiamato in questo caso "asse di istantanea rotazione", in questo caso, in ogni istante, il corpo compie un atto di rotazione pura attorno a questo asse.
Ritorno su questa discussione per sollevare un dubbio che mi è venuto ragionandoci un po' di più...
Ma se $v(O)$ fosse ortogonale a $ω$ con pure $v(O)$ diverso da $0$ non sarebbe un moto roto-traslatorio non degenere ??
Cosa intendi per moto rototraslatorio non degenere
Pensa al moto di un cilindro che trasla e ruota contemporaneamente parallelamente ad un piano. E' un moto composto da una rotazione e da una traslazione e non da una sola rotazione pura ( 'moto rototraslatorio degenere'). I punti dell'asse non sono istantaneamente fermi in questo caso.
E' praticamente il moto di uno pneumatico in frenata che continua a ruotare.
E' praticamente il moto di uno pneumatico in frenata che continua a ruotare.
Io non ho parlato di moto, ma di "atto di moto" rigido, ossia disposizione istantanea delle velocità di un moto rigido, nel caso del cilindro che "rototrasla", esiste sempre un asse i cui punti sono fermi, ma non è detto che questo asse appartenga "fisicamente" al cilindro, perché il moto rigido prescinde dal "corpo rigido fisico", ma è prerogativa di uno spazio che ha moto rigido rispetto a un altro...ossia il tuo cilindro, nello studio dei moti rigidi, non esiste, esiste solo uno spazio solidale al cilindro che compie un moto rigido rispetto allo spazio fisso...dovrebbe esserti noto questo concetto, è una delle astrazione della meccanica razionale.
Per esempio, in questa immagine si ha una trottola che ruota attorno a se stessa con velocità angolare $omega$ e trasla nella direzione indicata con velocità $v$, il punto P indicato nell'immagine, anche se non appartiene fisicamente alla trottola, nello spazio solidale alla trottola ha velocità nulla, perché dalla formula dei moti rigidi la sua velocità si ottiene (in questo caso) come $v_P=v-omegad$, dove d è la distanza di P dall'asse proprio della trottola attorno a cui essa ruota, ad un certo $d$ dato da $d=v/(omega)$, la velocità di P è nulla, così come la velocità di tutti i punti appartenenti alla retta r passante per P e parallela a $omega$, quindi, in ogni istante, l'atto di moto (ossia la disposizione delle velocità) della trottola, è quella di una rotazione pura attorno all'asse r, che in ogni istante è fermo. Il concetto fondamentale è quello di "atto di moto", perché il "moto vero" di un corpo rigido può essere complicato quanti ci pare (mica può essere solo rototraslazione...prova a lanciare un oggetto a caso in aria e vedi se riesci a vederci qualche rototraslazione...), ma latto di moto, in ogni istante, è elicoidale (o in casi particolari, come questo, è una rotazione pura attorno a un asse).
Non so cosa studi ma in ing. meccanica questo è un concetto fondamentale nella meccanica applicata alle macchine, quindi è bene capirlo.
Per esempio, in questa immagine si ha una trottola che ruota attorno a se stessa con velocità angolare $omega$ e trasla nella direzione indicata con velocità $v$, il punto P indicato nell'immagine, anche se non appartiene fisicamente alla trottola, nello spazio solidale alla trottola ha velocità nulla, perché dalla formula dei moti rigidi la sua velocità si ottiene (in questo caso) come $v_P=v-omegad$, dove d è la distanza di P dall'asse proprio della trottola attorno a cui essa ruota, ad un certo $d$ dato da $d=v/(omega)$, la velocità di P è nulla, così come la velocità di tutti i punti appartenenti alla retta r passante per P e parallela a $omega$, quindi, in ogni istante, l'atto di moto (ossia la disposizione delle velocità) della trottola, è quella di una rotazione pura attorno all'asse r, che in ogni istante è fermo. Il concetto fondamentale è quello di "atto di moto", perché il "moto vero" di un corpo rigido può essere complicato quanti ci pare (mica può essere solo rototraslazione...prova a lanciare un oggetto a caso in aria e vedi se riesci a vederci qualche rototraslazione...), ma latto di moto, in ogni istante, è elicoidale (o in casi particolari, come questo, è una rotazione pura attorno a un asse).
Non so cosa studi ma in ing. meccanica questo è un concetto fondamentale nella meccanica applicata alle macchine, quindi è bene capirlo.
Inoltre, se hai fatto un po' di teoria dei vettori, riconoscerai nell'asse di Mozzi l'asse centrale di un sistema di vettori, che nel nostro caso sono le velocità dei punti del corpo rigido.
Grazie Vulplasir per la tua pazienza Mi hai tolto un grosso dubbio !!
Mi hai tolto un grosso dubbio !!
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