Meccanica quantistica I, problemi unidimensionali
Domande tipo: calcolare le costanti di normalizzazione se la funzione d'onda è fornita dal problema o determinarla a partire da condizioni aggiuntive (per esempio il problema dice che la larghezza della buca è L, e si sa che misurando la posizione si trova L/4), i valori medi
, probabilità di misure di energia corrispondente a un determinato livello o di posizione in un determinato intervallo di x.
Avendo molta confusione in testa propongo due problemi sperando di ricevere oltre alla loro risoluzione anche dei consigli generali (in quanto voglio comprendere bene l'argomento di mio interesse anziché imparare a memoria a risolvere i problemi).
Problema 1:
Una particella in un pozzo di potenziale infinito [0,a] si trova in uno stato caratterizzato dalla funzione d'onda:
Ψ(x) = A per 0 < x < a/2
Ψ(x) = 0 per a/2 < x < a
- Si tratta di uno stato stazionario?
- Determinare A in modo che la funzione d'onda sia normalizzata
- Si misura l'energia, qual'è la probabilità di trovare i primi 4 valori possibili E1 E2 E3 E4?
- Si misura l'energia e si trova E1, qual è la probabilità di trovare la particella, misurando la sua posizione, tra 0 e a/2?
Problema 2:
Sia una particella in una buca di potenziale infinita in modo che il potenziale sia 0 nell'intervallo [0,L]. Si prepara la particella in modo che si trovi inizialmente in [0,L/2] con stessa densità di probabilità in ogni punto dell'intervallo.
- Trovare la funzione d'onda della particella
- Trovare la probabilità che una misura di energia dia E1, E2, E3, E4
- Si trova il valore d'energia con probabilità minore (diversa da 0). Qual è la probabilità che una misura di posizione trovi la particella localizzata in [0,L/4]?
Come dubbio finale: se anziché un intervallo ci fosse stato un valore della posizione come mi sarei dovuto comportare? Esempio: Sia una particella in una buca infinita di larghezza L. Una misura di posizione ci da il risultato x0 = L/4. Trovare la funzione d'onda.
Inoltre non mi è ben chiaro il fatto degli autostati. Uno stato dovrebbe essere descritto da un vettore, come bisogna comportarsi quando si conosce come stato iniziale la funzione d'onda che non è un vettore?
Non linciatemi per la mia ignoranza 
Grazie mille in anticipo! 
Ti faccio un'infarinatura approssimativa della teoria, che puoi anche saltare o assimilare parzialmente, perché mi pare che alcune cose non ti siano chiare.
Lo stato del sistema è sempre descritto da un vettore. L'insieme dei possibili stati è uno spazio vettoriale complesso, completo e dotato di un prodotto scalare:
$\langle \Psi | \Phi \rangle \in \mathbb{C}$
dove $|\Psi \rangle$ e $|\Phi \rangle$ sono dei vettori, ovvero degli stati del sistema.
Usando il prodotto scalare definiamo una norma:
$sqrt(\langle \Psi | \Psi \rangle)$
E decidiamo di lavorare solo con i vettori normalizzati, ovvero quelli con norma 1. (Un altro modo di vederla: consideriamo equivalenti tutti i vettori proporzionali, per cui gli stati del sistema vengono descritti dai "raggi" uscenti dall'origine)
Ora, possiamo rappresentare questi vettori come funzioni della posizione (funzioni d'onda). Non ti do la definizione esplicita di come si passa dal vettore d'onda alla corrispondente funzione, ma ti faccio notare che, ad esempio, l'insieme delle funzioni complesse della posizione formano uno spazio vettoriale (puoi verificarlo facilmente.) L'insieme di funzioni con cui lavoreremo è in realtà molto più ridotto di quello delle funzioni in generale, ma esso rimane uno spazio vettoriale e comprende tutte le funzioni "ragionevoli".
Per cui abbiamo la corrispondenza - o meglio, "rappresentazione":
\[ | \Psi \rangle \rightarrow \Psi(x) \]
In termini delle funzioni, il prodotto scalare si scrive esplicitamente:
$ \int_{\mathbb{R}^2} \psi(x)\mbox{*} \phi(x) dx $
Se $\phi_n$ (vettori o funzioni, non cambia) sono una base numerabile dello spazio, ogni vettore $\psi$ si può scrivere come:
$ \psi = \sum_0^{\infty} a_n \phi_n$, con opportuni e unici $a_n$
e se $\phi_y$ è una base non numerabile indicizzata da $y \in Y$,
$\psi = \int_Y a(y) \phi_y dy$, con opportuna e unica $a(y)$
queste astruse espressioni sono semplicemente le decomposizioni del vettore $\psi$ nella base data dagli $\phi$. Le funzioni $a$ sono le componenti della $\psi$ in questa base.
Ora: gli osservabili sono operatori (cioè automorfismi) hermitiani di questo spazio vettoriale. Si possono immaginare come agenti sui vettori, o sulle funzioni. In ogni caso, mandano lo spazio degli stati in se stesso. Il teorema spettrale ti dice che esisterà una base ortonormale di autovettori (A è un osservabile):
$ \phi_n t.c. A\phi_n = \lambda_n \phi_n$ e gli $\phi_n$ sono una base ortonormale.
Se provi a misurare A quando il sistema è nello stato $\phi_n$, troverai il valore $\lambda_n$. La misura non modifica lo stato del sistema. Se invece lo misuri in uno stato che non appartiene a $\phi_n$, bisogna scomporre $\psi$ nella base $\phi_n$, e $|\langle \Phi | \Psi \rangle|^2 = |a_n|^{2}$ è la probabilità di misurare il valore $\lambda_n$. Puoi verificare che assumendo che lo stato sia normalizzato hai che le probabilità sommano ad 1. Una volta misurato il valore $\lambda_n$, lo stato del sistema viene proiettato su $\phi_n$. Per cui successivamente ad una misura di A, il sistema si troverà sicuramente in un autovettore di A.
Ora passiamo ai problemi.
Problema 1:
Lo stato non è stazionario (= autovettore dell'hamiltoniana.) Gli stati stazionari del sistema in questione sono sinusodi, come ben sai.
Per normalizzare, calcola la norma e ponila uguale ad uno: $\int_0^A \Psi \Psi \mbox{*} dx$.
Innanzitutto trova gli autovettori e gli autovalori dell'energia (cioè gli stati stazionari normalizzati e i livelli energetici.) Poi puoi calcolare le probabilità con:
$P(E = E_i) = (\int_0^A \Psi(x) \phi_i(x) dx)^2$ (dal momento che sia $\Psi$ che $\phi$ le immaginiamo reali)
Questi integrali come vedrai sono molto semplici, potrai fare molte semplificazioni.
Dopo la misura dell'energia, il sistema passa dallo stato descritto da $\Psi$ a quello descritto da $\phi_1$. Questo stato è simmetrico nella x rispetto ad a/2, per cui la risposta è ovviamente $\frac{1}{2}$. Però se vuoi farlo esplicitamente, calcolerai l'integrale del modulo quadro di $\phi_1$ nell'intervallo che ci interessa.
Problema 2
mi sembra tutto identico a prima, tranne l'ultima domanda.
Non so se nell'ultima domanda si intende: l'energia con probabilità minore fra $E_i$ con $i = 1,2,3,4$, oppure $i \in \mathbb{N}$ (credo la prima.) In ogni caso, ti calcolerai la probabilità generica in funzione di $i$ e ti troverai la più piccola. Dopo la misura, lo stato sarà $\phi_{\tilde{n}}$, per calcolare la probabilità che si trovi nell'intervallo, fai l'integrale che ti ho descritto prima. Ricorda che $|\Psi(x)|^2$ è la densità di probabilità per la posizione.
Riguardo alla tua domanda: dopo una misura di posizione, lo stato è in un autovettore della posizione. Gli autovettori/autofunzioni dell'operatore posizione non sono delle funzioni in senso stretto, ma delle distribuzioni. La risposta alla tua domanda è:
$\delta(x - \frac{L}{4})$ dove \delta è una "roba" detta funzione di dirac, che devi immaginare come un picco infinitamente stretto ed alto il cui integrale sia uno. Ma se ti comporti come se fosse una funzione vera, andrà tutto benissimo. Pensalo come un pacchetto d'onda infinitamente localizzato.
Grazie comunque per l'aiuto preziosissimo che mi hai già dato, mi hai salvato per l'esame di domani!
In quello che proponi c'è comunque un errore: l'equazione di S indipendente dal tempo ti permette di trovare solo gli stati stazionari. Lo stato iniziale del problema 2 (che è praticamente lo stesso del problema 1) non è stazionario (= autostato dell'hamiltoniana, ricordo)
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