Meccanica quantistica e particella libera
Salve a tutti allora sto affrontando il capitolo sui problemi unidimensionali del testo di fondamenti di fisica teorica.
In particolare ho a che fare ora con il problema della particella libera cioè di un massa non legata da nessun potenziale $V=0$
Di conseguenza l'equazione di schrodinger diventa:
$(d^2 phi(x)) / dx^2 = -k^2 phi(x)$
la cui soluzione generale è : $phi(x) = Ae^(ikx) +B e^(-ikx)$
cioè di tipo oscillante.E sin qui ok.
E' anche evidente che queste soluzioni non si possono normalizzare.E qui veniamo alle (mie)note dolenti.
Il testo infatti dice che il problema si può aggirare limitando la particella in una scatola (unidimensionale in questo caso) di lunghezza $L$ alle pareti della quale la funzione deve obbedire a delle condizione al contorno(quali?).
In particolare devono essere di tipo periodico cioè: $phi_k(x+L) = phi(x)$.
A seguito di ciò $k$ assumerà solo determinati valori ..
Mi potreste spiegare meglio? in che modo cosi si può fare la normalizzazione?
In particolare ho a che fare ora con il problema della particella libera cioè di un massa non legata da nessun potenziale $V=0$
Di conseguenza l'equazione di schrodinger diventa:
$(d^2 phi(x)) / dx^2 = -k^2 phi(x)$
la cui soluzione generale è : $phi(x) = Ae^(ikx) +B e^(-ikx)$
cioè di tipo oscillante.E sin qui ok.
E' anche evidente che queste soluzioni non si possono normalizzare.E qui veniamo alle (mie)note dolenti.
Il testo infatti dice che il problema si può aggirare limitando la particella in una scatola (unidimensionale in questo caso) di lunghezza $L$ alle pareti della quale la funzione deve obbedire a delle condizione al contorno(quali?).
In particolare devono essere di tipo periodico cioè: $phi_k(x+L) = phi(x)$.
A seguito di ciò $k$ assumerà solo determinati valori ..
Mi potreste spiegare meglio? in che modo cosi si può fare la normalizzazione?
Risposte
Hai $\phi_{k}(L)=\phi_{k}(L)=0$ perche la probabilità di trovare la particella a l'esterno della scatola è 0 e la funzione deve essere continua.
Solutione è
$\phi_{k}(x)=Asin(k_nx)$ 0
con $k_n=\frac{n\pi}{L}$
Normalizzazione
$int_0^L |A|^2sin(k_nx)^2dx=1$
$|A|=sqrt{\frac{2}{L}}$
Solutione è
$\phi_{k}(x)=Asin(k_nx)$ 0
con $k_n=\frac{n\pi}{L}$
Normalizzazione
$int_0^L |A|^2sin(k_nx)^2dx=1$
$|A|=sqrt{\frac{2}{L}}$
Anzitutto grazie per la risposta.
Quindi se ho capito bene si confina la particella al moto solo lungo un certo tratto(supponiamo di essere sempre nel caso unidimensionale) cioè $[0,L]$ all'interno del quale quindi la particella si muove e la probabilità di trovarla in un certo punto è diversa da zero.Oltre quei confini la probabilità è nulla per cui in pratica all'esterno della scatola la funzione d'onda è nulla mentre all'interno l'andamento è oscillatorio.
All'inizio del tuo intevento volevi scrivere $phi(0) = phi(L)$ giusto? cioè hai imposto che che agli estremi il valore della funzione sia nullo...se si,perchè? forse per garantire la continuità della funzione proprio in quei due punti ?
Quindi se ho capito bene si confina la particella al moto solo lungo un certo tratto(supponiamo di essere sempre nel caso unidimensionale) cioè $[0,L]$ all'interno del quale quindi la particella si muove e la probabilità di trovarla in un certo punto è diversa da zero.Oltre quei confini la probabilità è nulla per cui in pratica all'esterno della scatola la funzione d'onda è nulla mentre all'interno l'andamento è oscillatorio.
All'inizio del tuo intevento volevi scrivere $phi(0) = phi(L)$ giusto? cioè hai imposto che che agli estremi il valore della funzione sia nullo...se si,perchè? forse per garantire la continuità della funzione proprio in quei due punti ?
"qadesh":
All'inizio del tuo intevento volevi scrivere $phi(0) = phi(L)$ giusto? cioè hai imposto che che agli estremi il valore della funzione sia nullo...se si,perchè? forse per garantire la continuità della funzione proprio in quei due punti ?
$phi(0) = phi(L)=0$
per garantire la continuità della funzione in quei due punti (come sai, la funzione deve essere 0 per x>L e x<0).
"wnvl":
[quote="qadesh"]
All'inizio del tuo intevento volevi scrivere $phi(0) = phi(L)$ giusto? cioè hai imposto che che agli estremi il valore della funzione sia nullo...se si,perchè? forse per garantire la continuità della funzione proprio in quei due punti ?
$phi(0) = phi(L)=0$
per garantire la continuità della funzione in quei due punti (come sai, la funzione deve essere 0 per x>L e x<0).[/quote]
Pero' qadesh parlava di condizioni al contorno periodiche, che e' una condizione piu' debole delle condizioni di Dirichlet della tipica "particella nella scatola". Il resto del discorso e' piu' o meno uguale, comunque.
"yoshiharu":
[quote="wnvl"][quote="qadesh"]
All'inizio del tuo intevento volevi scrivere $phi(0) = phi(L)$ giusto? cioè hai imposto che che agli estremi il valore della funzione sia nullo...se si,perchè? forse per garantire la continuità della funzione proprio in quei due punti ?
$phi(0) = phi(L)=0$
per garantire la continuità della funzione in quei due punti (come sai, la funzione deve essere 0 per x>L e x<0).[/quote]
Pero' qadesh parlava di condizioni al contorno periodiche, che e' una condizione piu' debole delle condizioni di Dirichlet della tipica "particella nella scatola". Il resto del discorso e' piu' o meno uguale, comunque.[/quote]
Ma nella sua domanda iniziale parlava di una scatola (unidimensionale in questo caso) di lunghezza L...
Il testo infatti dice che il problema si può aggirare limitando la particella in una scatola (unidimensionale in questo caso) di lunghezza L alle pareti della quale la funzione deve obbedire a delle condizione al contorno(quali?).
"wnvl":
Ma nella sua domanda iniziale parlava di una scatola (unidimensionale in questo caso) di lunghezza L...
Il testo infatti dice che il problema si può aggirare limitando la particella in una scatola (unidimensionale in questo caso) di lunghezza L alle pareti della quale la funzione deve obbedire a delle condizione al contorno(quali?).
Si', ma poi ha aggiunto:
In particolare devono essere di tipo periodico cioè: ϕk(x+L)=ϕ(x).
Tu puoi sempre mettere la particella in una scatola e imporre condizioni al contorno periodiche invece che Dirichlet.
Alla fine cambia solo qualche dettaglio della soluzione.
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