Meccanica Lagrangiana, potenziale efficace e traiettorie sul vincolo
Ciao a tutti, come da titolo ho problemi con il potenziale efficace.
Scrivo come esempio scrivo il testo che sto considerando ora:
Nello spazio, si consideri un sistema di assi cartesiani con asse z rivolto verso l’alto. Una particella pesante P di massa m è vincolata a muoversi sulla superficie di equazione $ z=-( x^2 + y^2 )^2 $ . Una molla di costante k > 0 collega la particella all'asse z. La molla resta sempre orizzontale.
Si chiede di:
2.1 Scrivere la Lagrangiana.
2.2 Trovare gli eventuali integrali primi e darne l’interpretazione fisica.
2.3 Passare al sistema ridotto, farne il ritratto di fase e fornire una descrizione accurata delle possibili traiettorie sul vincolo.
scrivo i primi due punti così potete spiegarmi direttamente il terzo che mi lascia interdetto.
Notazioni: $dot r$= derivata rispetto al tempo della variabile r; T=energia cinetica, V=energia potenziale
mediante questa trasformazione di coordinate,
$x=r cos(\theta)$
$y=r sin(\theta)$
$z=-r^4 $
trovo la lagrangiana $L=1/2 m (dot r^2 + r^2 dot\theta^2 + 16 dotr^2 r^6) - 1/2 k r^2 + mgr^4$
le costanti del moto sono E=T+V ed il momento cinetico $p_\theta = m r^2 dot \theta$
Ora, per il terzo punto, so che devo trovare il potenziale efficace (di cui non riesco a trovare una definizione decente) e tracciarne il ritratto di fase.
Da quanto ho capito del potenziale efficace, si tratta di una grandezza fittizia, utile per approssimare il moto del punto in senso radiale e nulla più: pensavo quindi che, come ad esempio in questo esercizio, se l'energia meccanica è
$E= 1/2 m (dot r^2 + r^2 dot\theta^2 + 16 dotr^2 r^6) + 1/2 k r^2 - mgr^4$, il potenziale efficace sia
$\hat V = 1/2 m r^2 dot\theta^2 + 8 m dot r^2 r^6 + 1/2 k r^2 - mgr^4$, ovvero tutto meno il termine $1/2 m dot r^2$, che definirebbe una specie di "energia cinetica" radiale, per così dire. è giusto?
se poi qualcuno mi spiegasse anche come trovare le possibili traiettorie,lo apprezzerei molto visto che di questo non so assolutamente nulla
Scrivo come esempio scrivo il testo che sto considerando ora:
Nello spazio, si consideri un sistema di assi cartesiani con asse z rivolto verso l’alto. Una particella pesante P di massa m è vincolata a muoversi sulla superficie di equazione $ z=-( x^2 + y^2 )^2 $ . Una molla di costante k > 0 collega la particella all'asse z. La molla resta sempre orizzontale.
Si chiede di:
2.1 Scrivere la Lagrangiana.
2.2 Trovare gli eventuali integrali primi e darne l’interpretazione fisica.
2.3 Passare al sistema ridotto, farne il ritratto di fase e fornire una descrizione accurata delle possibili traiettorie sul vincolo.
scrivo i primi due punti così potete spiegarmi direttamente il terzo che mi lascia interdetto.
Notazioni: $dot r$= derivata rispetto al tempo della variabile r; T=energia cinetica, V=energia potenziale
mediante questa trasformazione di coordinate,
$x=r cos(\theta)$
$y=r sin(\theta)$
$z=-r^4 $
trovo la lagrangiana $L=1/2 m (dot r^2 + r^2 dot\theta^2 + 16 dotr^2 r^6) - 1/2 k r^2 + mgr^4$
le costanti del moto sono E=T+V ed il momento cinetico $p_\theta = m r^2 dot \theta$
Ora, per il terzo punto, so che devo trovare il potenziale efficace (di cui non riesco a trovare una definizione decente) e tracciarne il ritratto di fase.
Da quanto ho capito del potenziale efficace, si tratta di una grandezza fittizia, utile per approssimare il moto del punto in senso radiale e nulla più: pensavo quindi che, come ad esempio in questo esercizio, se l'energia meccanica è
$E= 1/2 m (dot r^2 + r^2 dot\theta^2 + 16 dotr^2 r^6) + 1/2 k r^2 - mgr^4$, il potenziale efficace sia
$\hat V = 1/2 m r^2 dot\theta^2 + 8 m dot r^2 r^6 + 1/2 k r^2 - mgr^4$, ovvero tutto meno il termine $1/2 m dot r^2$, che definirebbe una specie di "energia cinetica" radiale, per così dire. è giusto?
se poi qualcuno mi spiegasse anche come trovare le possibili traiettorie,lo apprezzerei molto visto che di questo non so assolutamente nulla
Risposte
Scusa, perché poni $z = -r^4$ ?
Per energia potenziale efficace, per quel che ne so io, si intende:
ricava $dot \theta$ dalla costante del moto, sostituisci nella lagrangiana, separa i termini in $r$ e $dot r$. I termini in $r$ costituiscono l'energia potenziale efficace.
Per energia potenziale efficace, per quel che ne so io, si intende:
ricava $dot \theta$ dalla costante del moto, sostituisci nella lagrangiana, separa i termini in $r$ e $dot r$. I termini in $r$ costituiscono l'energia potenziale efficace.
...studiando l'energia potenziale efficace si ottengono importanti informazioni sulle traiettorie per quanto riguarda $r$ ...
"anonymous_af8479":
Scusa, perché poni z=−r4 ?
perchè, essendo l'equazione del vincolo $ z=-( x^2 + y^2 )^2 $, ponendo
$ x=r cos(\theta) $
$ y=r sin(\theta) $
$ z=-( x^2 + y^2 )^2 $
e sostituendo le prime due equazioni nell'ultima ottengo $ z = -r^4 $
"anonymous_af8479":perfetto, quindi il potenziale efficace sarebbe $ \hat V = 1/2 m r^2 dot\theta^2 + 1/2 k r^2 - mgr^4 $, è corretto? Ovviamente sostituendo $\dot \theta^2$ con quando ricavato dalla costante del moto di prima...
ricava θ. dalla costante del moto, sostituisci nella lagrangiana, separa i termini in r e r.. I termini in r costituiscono l'energia potenziale efficace.
"anonymous_af8479":
studiando l'energia potenziale efficace si ottengono importanti informazioni sulle traiettorie per quanto riguarda r
non lo metto in dubbio, quello che vorrei sapere è proprio COME si faccia ad ottenere tali informazioni
Non avevo visto l'esponente ... (l'hai aggiunto successivamente o io sono più cieco di quello che pensavo ? 
) . Ho fatto tutti i calcoli senza quel quadrato per cui non sto a rifarli. Prendiamo la tua energia potenziale come buona.
Ora, studiala come funzione di $r$ e lasciati suggerire dalla forma della curva che ottieni i tipi di moto (sugg. ricorda sempre che in meccanica classica vale sempre $E >= U$ ...
Ps. attento al segno di $U$.
) . Ho fatto tutti i calcoli senza quel quadrato per cui non sto a rifarli. Prendiamo la tua energia potenziale come buona.Ora, studiala come funzione di $r$ e lasciati suggerire dalla forma della curva che ottieni i tipi di moto (sugg. ricorda sempre che in meccanica classica vale sempre $E >= U$ ...
Ps. attento al segno di $U$.
Opps il segno è ok.
eh, avevo già pensato di studiare $ \hat V = p_\theta ^2/(2mr^2) + 1/2 k r^2 - mgr^4 $ (che è il potenziale efficace di prima a cui ho applicato la sostituzione di $\dot \theta ^2$). Viene una funzione simile a questa (ho eliminato tutte le costanti, tanto influiscono solo come traslazioni e mi importa poco).
Il punto è, cosa deduco da qui? Insomma, non ho informazioni sulla traiettoria, al più vedo qualche info sull'energia cinetica...
Il punto è, cosa deduco da qui? Insomma, non ho informazioni sulla traiettoria, al più vedo qualche info sull'energia cinetica...
Nei grafici non hai messo il caso (importante) se ci sono due estremanti relativi ...
La considerazione che dovresti fare è questa.
Siccome puoi scrivere $E = T + U_{\e\f\f}$ e $T >= 0$, allora i moti fisicamente possibili sono quelli per cui $E >= U_{\e\f\f}$. Ti disegni i vari tipi di grafici e fai scorrere la retta orizzontale $E = \c\o\s\t\a\n\t\e$ ... ricaverai allora un sacco di informazioni
La considerazione che dovresti fare è questa.
Siccome puoi scrivere $E = T + U_{\e\f\f}$ e $T >= 0$, allora i moti fisicamente possibili sono quelli per cui $E >= U_{\e\f\f}$. Ti disegni i vari tipi di grafici e fai scorrere la retta orizzontale $E = \c\o\s\t\a\n\t\e$ ... ricaverai allora un sacco di informazioni
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