[Meccanica dei Fluidi] Contenitore in rotazione
Salve,
sto avendo difficoltà nel risolvere questo esercizio:
Il contenitore cilindrico in figura, di raggio $R=0.2501 m$ e altezza $H=0.5002 m$ ruota attorno al proprio asse con velocità angolare $\Omega=5.01 (rad)/(s)$.
Sapendo che in tale situazione la superficie libera dell'acqua assume il livello minimo $h_{min}=0.3005 m$, valutare il volume di acqua nel contenitore $V$. Calcolare, inoltre, il valore della velocità angolare $\Omega_{min}$ a cui il fluido inizia a uscire dal contenitore.
Lungo il versore $\hat{\theta}$ non c'è nessuna accelerazione (immaginando un SDR solidale al contenitore).
Ho pensato di applicare l'equazione fondamentale dell'idrostatica:
$-\vec{\nabla}p+\rho\vec{f}=\rho\vec{a}$, con $\vec{f}=-g\hat{z}$ e $\vec{a}=-\omega^2 r\hat{r}$.
Ma non so come procedere.
Suggerimenti?
sto avendo difficoltà nel risolvere questo esercizio:
Il contenitore cilindrico in figura, di raggio $R=0.2501 m$ e altezza $H=0.5002 m$ ruota attorno al proprio asse con velocità angolare $\Omega=5.01 (rad)/(s)$.
Sapendo che in tale situazione la superficie libera dell'acqua assume il livello minimo $h_{min}=0.3005 m$, valutare il volume di acqua nel contenitore $V$. Calcolare, inoltre, il valore della velocità angolare $\Omega_{min}$ a cui il fluido inizia a uscire dal contenitore.
Lungo il versore $\hat{\theta}$ non c'è nessuna accelerazione (immaginando un SDR solidale al contenitore).
Ho pensato di applicare l'equazione fondamentale dell'idrostatica:
$-\vec{\nabla}p+\rho\vec{f}=\rho\vec{a}$, con $\vec{f}=-g\hat{z}$ e $\vec{a}=-\omega^2 r\hat{r}$.
Ma non so come procedere.
Suggerimenti?
Risposte
se riuscissi ad ottenere in qualche modo la funzione che descrive la parabola che si forma il gioco è fatto.. potresti calcolarti il volume del cilindro inferiore e il volume che genera la parabola..con un semplice integrale di rotazione
ma non so se hai sufficienti dati per fare questo il tuo problema si trasformerebbe in un problema di analisi
ma non so se hai sufficienti dati per fare questo il tuo problema si trasformerebbe in un problema di analisi
Ci ho pensato un bel po'! Scrivendo per componenti l'equazione otterrei:
$\{(-(\partialP)/(\partialr)=-\rho\omega^2r),(-(\partialP)/(\partialz)=\rhog):}$
Applicando il Teorema del Differenziale Totale:
$dP=(\partialP)/(\partialr)dr + (\partialP)/(\partialz)dz$, da cui
$\rho\omega^2r-\rhogdz=0$ $\Rightarrow$ $dz=\(omega^2r)/(g) dr$
Integrando, otterrei:
$z(r)=(\omega^2 r^2)/(2g) +C$ che è il fascio di isobare.
Per trovare la superficie libera ho imposto che:
$z(0)=h_{min}$, per cui $C=h_{min}$.
$\{(-(\partialP)/(\partialr)=-\rho\omega^2r),(-(\partialP)/(\partialz)=\rhog):}$
Applicando il Teorema del Differenziale Totale:
$dP=(\partialP)/(\partialr)dr + (\partialP)/(\partialz)dz$, da cui
$\rho\omega^2r-\rhogdz=0$ $\Rightarrow$ $dz=\(omega^2r)/(g) dr$
Integrando, otterrei:
$z(r)=(\omega^2 r^2)/(2g) +C$ che è il fascio di isobare.
Per trovare la superficie libera ho imposto che:
$z(0)=h_{min}$, per cui $C=h_{min}$.
l"equazione e' valida in forma generale.
Io direi che ogni particella di liquido e' soggetta quando e' fermo a forze di volume.
la forza centrifuga, in un punto generico x,y,z e'
\( \vec{F_c}=(dm \cdot \ \omega ^2x, dm \cdot \ \omega ^2y,0) \)
mentre le forze di volume sono
\( \vec{F_v}=(0,0,-mg) \)
In definitva, il liquido e' sottoposto a um campo \( \vec{A} \) di coordinate \( ( \omega ^2x, \cdot \ \omega ^2y,-g) \) .
Siccome \( \vec{A} \) ammette un potenziale (sono forze conservative, basta verificare che \( \vec{\nabla \wedge \vec{A=0} } \) ), la funzione che regola il potenziale e'
\( U = -\frac{1}{2}\omega ^2x^2+ \frac{1}{2}\omega ^2y^2+gz+C \)
Che altro non e' che la forma esplicita dell'equazione che hai scritto tu.
La costante la ricavi imponendo U=0 nel punto di minimo (z=0.3005m). E tenendo conto che il pelo libero e' superficie equipotenziale trovi \( z=f(x,y) \)
Sul piano (per esempio) y=0 basta integrare la funzione z =f(x) tra x=0 e x=R e trovi l'area l'area della curva che mpltiplicata per 2 \( \pi \) ti da il volume.
Credo.....
Io direi che ogni particella di liquido e' soggetta quando e' fermo a forze di volume.
la forza centrifuga, in un punto generico x,y,z e'
\( \vec{F_c}=(dm \cdot \ \omega ^2x, dm \cdot \ \omega ^2y,0) \)
mentre le forze di volume sono
\( \vec{F_v}=(0,0,-mg) \)
In definitva, il liquido e' sottoposto a um campo \( \vec{A} \) di coordinate \( ( \omega ^2x, \cdot \ \omega ^2y,-g) \) .
Siccome \( \vec{A} \) ammette un potenziale (sono forze conservative, basta verificare che \( \vec{\nabla \wedge \vec{A=0} } \) ), la funzione che regola il potenziale e'
\( U = -\frac{1}{2}\omega ^2x^2+ \frac{1}{2}\omega ^2y^2+gz+C \)
Che altro non e' che la forma esplicita dell'equazione che hai scritto tu.
La costante la ricavi imponendo U=0 nel punto di minimo (z=0.3005m). E tenendo conto che il pelo libero e' superficie equipotenziale trovi \( z=f(x,y) \)
Sul piano (per esempio) y=0 basta integrare la funzione z =f(x) tra x=0 e x=R e trovi l'area l'area della curva che mpltiplicata per 2 \( \pi \) ti da il volume.
Credo.....
Correzione, moltiplichi per 2 \( \pi l \) , con l distanza dall asse del baricentro dell'area!
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