Meccanica Analitica - Urti Relativistici
Buongiorno, sono uno studente di Fisica alla statale di Milano e questa in questa sessione invernale mi trovo ad affrontare gli esami di meccanica analitica ed analisi 3. Due giorni fa mi sono presentato allo scritto di meccanica analitica e con mia sorpresa mi sono ritrovato davanti tre esercizi, due (prevedibili) sulla meccanica Lagrangiana ed Hamiltoniana e uno che proprio non mi aspettavo di trovarmi davanti su un urto relativistico di cui riporto di seguito il testo.
"Un corpo di massa m incide con velocità v su di un corpo con egual massa, inizialmente in quiete. Si determino le velocità di entrambi i corpi in seguito all'urto elastico rettilineo tra loro. Si confronti il caso dell'urto relativistico con quello classico, discutendo il limite del primo con per v << c."
Per la parte d'urto elastico classico, avendo masse eguali i due corpi e il secondo velocità nulla, ho supposto che in seguito all'urto il secondo corpo si muova con una velocità eguale in direzione, modulo e verso, alla velocità che aveva il primo corpo prima dell'urto. Quest'ultimo invece si troverà fermo nella posizione occupata dal secondo prima dell'urto.
Quali sono le condizioni che avrei dovuto imporre per considerare questo urto in modo relativistico?
Grazie mille dell'occasione che questo forum dà a ogni studente di risolvere i suoi dubbi
P.S.
Ho ovviamente consultato il regolamento del forum prima di postare in questa sezione, prego i moderatori di segnalarmi qualsiasi inadeguatezza di forma o contenuto.
"Un corpo di massa m incide con velocità v su di un corpo con egual massa, inizialmente in quiete. Si determino le velocità di entrambi i corpi in seguito all'urto elastico rettilineo tra loro. Si confronti il caso dell'urto relativistico con quello classico, discutendo il limite del primo con per v << c."
Per la parte d'urto elastico classico, avendo masse eguali i due corpi e il secondo velocità nulla, ho supposto che in seguito all'urto il secondo corpo si muova con una velocità eguale in direzione, modulo e verso, alla velocità che aveva il primo corpo prima dell'urto. Quest'ultimo invece si troverà fermo nella posizione occupata dal secondo prima dell'urto.
Quali sono le condizioni che avrei dovuto imporre per considerare questo urto in modo relativistico?
Grazie mille dell'occasione che questo forum dà a ogni studente di risolvere i suoi dubbi
P.S.
Ho ovviamente consultato il regolamento del forum prima di postare in questa sezione, prego i moderatori di segnalarmi qualsiasi inadeguatezza di forma o contenuto.
Risposte
Ciao, e benvenuto nel forum.
Faccio solo una piccola osservazione, circa l'urto elastico di due particelle, supponiamo sferiche, di ugual massa, nel caso newtoniano . In generale, se l''urto non è centrale, succede che dopo l'urto le due particelle , nel sistema del laboratorio, assumano velocità vettoriali che formano tra loro un angolo retto. Questo si dimostra. Se l'urto è centrale, il problema è unidimensionale , e le particelle si scambiano la velocità , come hai detto: quella in moto si ferma e quella in quiete parte.
Detto ciò, per quanto riguarda l'urto elastico relativistico, ti chiedo: conosci un po' di dinamica relativistica? E il formalismo dei 4-vettori ? Senza questa roba, è difficile.
In sostanza, succede la stessa cosa che si verifica in meccanica classica, ma con qualche differenza quando si devono applicare le leggi di conservazione.
Ho trovato tra vecchi appunti questo foglio, che scannerizzo e pubblico.
Aggiungo qualche spiegazione, perchè non è roba facile neanche per me.
Hai due particelle $1$ e $2$ , di ugual massa $m$ . La $2$ è ferma nel laboratorio , la $1$ le va incontro con velocità $v$.Supponiamo l'urto centrale. .
L'energia della particella 2 è solo energia di riposo, la chiamo $E_0 = mc^2$ .
L'energia della particella 1 è somma di energia di riposo ed energia cinetica, la chiamo $E = \gammamc^2 =mc^2 +K $ (ci sarebbero anche altri termini, ma $K$ è il piu importante).
Il 4-impulso della particella 1, prima dell'urto, è :
$P = (E/c,p) = (\gammamc,\gamma mv)$
il 4-impulso della particella 2, per la quale $v=0$ e quindi $\gamma =1$ prima dell'urto, è :
$P_0 = (mc,0) $
Anche in questo caso, nell'urto elastico si conserva l'energia totale e la q.d.m., quindi si conserva il 4-impulso. Dopo l'urto, le due particelle hanno i 4-impulsi :
$P_1 = ( E_1/c,p_1)$ , e : $P_2 = ( E_2/c,p_2)$
dalla conservazione dell'energia :
$ E/c + mc = (E_1+E_2)/c \Rightarrow....\Rightarrow K = K_1 +K_2 \Rightarrow....\Rightarrow 1+\gamma = \gamma_1 + \gamma_2$
Cioè , la conservazione dell'energia totale conduce, in questo caso , alla conservazione dell'energia cinetica , che però nel caso relativistico non è semplicemente uguale a $1/2mv^2 $ . Nel caso relativistico :
$K = (\gamma-1) mc^2$ , che vale sia per la particella 1 prima dell'urto sia per entrambe dopo l'urto. Perciò , si arriva alla relazione ultima scritta per i fattori $\gamma$ .
Dalla conservazione della q.d.m. si arriva invece, per urto frontale, all'equazione :
$\gammav = \gamma_1v_1 + \gamma_2v_2$
Queste due equazioni nelle due incognite $\gamma_1$ e $\gamma_2$ dovrebbero consentire di calcolare le velocità delle due particelle dopo l'urto relativistico. Francamente non so se succede come in meccanica classica, che le velocità si scambiano; non ho provato a risolverle, sono alquanto difficili , come dice anche Wikipedia :
https://it.wikipedia.org/wiki/Urto_elas ... ativistico
con questa frase :
In generale risolvere direttamente le equazioni sovrastanti è molto difficile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Come per il caso classico, un aiuto può venire da un cambio di sistema di riferimento, avendo cura di comporre le velocità non con la composizione galileiana ma con il loro equivalente nella relatività ristretta. Un buon sistema di riferimento può essere, ad esempio, quello del centro di massa
Passando al riferimento del centro di massa, dovrebbe essere più semplice.
Quando le velocità in gioco sono molto minori di $c$ , si può scrivere : $\gamma \approx 1 + 1/2 (v/c)^2 +...$ , e quindi l'energia cinetica ritorna ad essere : $ K \approx (\gamma-1)mc^2 = 1/2mv^2$ , e cosí per le energie cinetiche dopo l'urto.
Un fatto nuovo succede in relatività : l'angolo di scattering non è più $90º$ ma è minore. Questo posso fartelo vedere. Riprendiamo i calcoli dall'inizio, mettendo ora i vettori q.d.m. spaziali $vecp = \gamma m vecv$ .
I quadri-impulso originali li ho già scritti ; quelli dopo l'urto sono :
$P_1 = ( E_1/c,vecp_1)$ , e : $P_2 = ( E_2/c,vecp_2)$
Per la conservazione del 4-impulso si deve avere :
$P + P_0 = P_1 + P_2$
Calcoliamo il modulo quadro di entrambi i membri :
$ (P + P_0)^2 =(P_1 + P_2)^2$
da cui, sviluppando come un normale quadrato, e ricordando come si fa il quadrato di un 4-impulso (sai questo? altrimenti vedi (*) ) , si ottiene :
$2m^2c^2 +2(E/c,vecp)*(mc,0) = 2m^2c^2 +2P_1*P_2$
cioè : $ mE =P_1*P_2 = (E_1E_2)/c^2 - vecp_1vecp_2$
da cui : $E =(E_1E_2)/(mc^2) - (vecp_1vecp_2)/m $
Abbiamo detto che si conserva l'energia totale , quindi :
$E/c+ mc = E_1/c + E_2/c \Rightarrow (mc^2+K)/c +mc = (mc^2+K_1)/c + (mc^2+K_2)/c \Rightarrow K = K_1 + K_2 $
c'era da aspettarselo, anche in questo caso. Calcoliamo ora :
$E_1E_2 = (mc^2 + K_1)(mc^2+K_2) = K_1K_2 + mc^2( K_1 +K_2 +mc^2) = K_1K_2 + mc^2( K +mc^2) = K_1K_2 +mc^2*E $
pertanto si può dire che : $ E = (K_1K_2)/(mc^2) + E - (vecp_1vecp_2)/m$ , da cui in definitiva :
$(vecp_1*vecp_2)/m =(K_1K_2)/(mc^2) $ , e moltiplicando per m : $(vecp_1*vecp_2) =(K_1K_2)/c^2 $
perciò , il prodotto scalare tra i vettori tridimensionali $vecp_1$ e $vecp_2$ è sempre $>=0$ . L'uguaglianza a zero sussiste solo se una delle due energie finali è zero, cioè la particella si arresta. In caso contrario, l'angolo tra i vettori velocità finali è minore di $90º$ , contrariamente al caso classico, perchè il coseno dell'angolo compreso non è zero.
(*) dato un qualsiasi 4-vettore , il suo modulo quadro è invariante . Il 4-impulso è dato da : $P = (E/c, vecp) = (\gammamc,\gammamvecv$ in un riferimento in cui la particella è in moto con velocità $vecv$ . Il modulo quadro è dato da : $P^2 = (E/c)^2 - p^2 $ . Nel riferimento di quiete della particella, il 4-impulso è dato da $(mc,0)$ . LE componenti sono diverse , ma la norma è la stessa, e vale : $(mc)^2 $.
PErciò è anche vero che : $(E/c)^2 - p^2 = (mc)^2 \Rightarrow E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $ , che è valida anche per particelle aventi massa nulla.
Faccio solo una piccola osservazione, circa l'urto elastico di due particelle, supponiamo sferiche, di ugual massa, nel caso newtoniano . In generale, se l''urto non è centrale, succede che dopo l'urto le due particelle , nel sistema del laboratorio, assumano velocità vettoriali che formano tra loro un angolo retto. Questo si dimostra. Se l'urto è centrale, il problema è unidimensionale , e le particelle si scambiano la velocità , come hai detto: quella in moto si ferma e quella in quiete parte.
Detto ciò, per quanto riguarda l'urto elastico relativistico, ti chiedo: conosci un po' di dinamica relativistica? E il formalismo dei 4-vettori ? Senza questa roba, è difficile.
In sostanza, succede la stessa cosa che si verifica in meccanica classica, ma con qualche differenza quando si devono applicare le leggi di conservazione.
Ho trovato tra vecchi appunti questo foglio, che scannerizzo e pubblico.
Aggiungo qualche spiegazione, perchè non è roba facile neanche per me.
Hai due particelle $1$ e $2$ , di ugual massa $m$ . La $2$ è ferma nel laboratorio , la $1$ le va incontro con velocità $v$.Supponiamo l'urto centrale. .
L'energia della particella 2 è solo energia di riposo, la chiamo $E_0 = mc^2$ .
L'energia della particella 1 è somma di energia di riposo ed energia cinetica, la chiamo $E = \gammamc^2 =mc^2 +K $ (ci sarebbero anche altri termini, ma $K$ è il piu importante).
Il 4-impulso della particella 1, prima dell'urto, è :
$P = (E/c,p) = (\gammamc,\gamma mv)$
il 4-impulso della particella 2, per la quale $v=0$ e quindi $\gamma =1$ prima dell'urto, è :
$P_0 = (mc,0) $
Anche in questo caso, nell'urto elastico si conserva l'energia totale e la q.d.m., quindi si conserva il 4-impulso. Dopo l'urto, le due particelle hanno i 4-impulsi :
$P_1 = ( E_1/c,p_1)$ , e : $P_2 = ( E_2/c,p_2)$
dalla conservazione dell'energia :
$ E/c + mc = (E_1+E_2)/c \Rightarrow....\Rightarrow K = K_1 +K_2 \Rightarrow....\Rightarrow 1+\gamma = \gamma_1 + \gamma_2$
Cioè , la conservazione dell'energia totale conduce, in questo caso , alla conservazione dell'energia cinetica , che però nel caso relativistico non è semplicemente uguale a $1/2mv^2 $ . Nel caso relativistico :
$K = (\gamma-1) mc^2$ , che vale sia per la particella 1 prima dell'urto sia per entrambe dopo l'urto. Perciò , si arriva alla relazione ultima scritta per i fattori $\gamma$ .
Dalla conservazione della q.d.m. si arriva invece, per urto frontale, all'equazione :
$\gammav = \gamma_1v_1 + \gamma_2v_2$
Queste due equazioni nelle due incognite $\gamma_1$ e $\gamma_2$ dovrebbero consentire di calcolare le velocità delle due particelle dopo l'urto relativistico. Francamente non so se succede come in meccanica classica, che le velocità si scambiano; non ho provato a risolverle, sono alquanto difficili , come dice anche Wikipedia :
https://it.wikipedia.org/wiki/Urto_elas ... ativistico
con questa frase :
In generale risolvere direttamente le equazioni sovrastanti è molto difficile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Come per il caso classico, un aiuto può venire da un cambio di sistema di riferimento, avendo cura di comporre le velocità non con la composizione galileiana ma con il loro equivalente nella relatività ristretta. Un buon sistema di riferimento può essere, ad esempio, quello del centro di massa
Passando al riferimento del centro di massa, dovrebbe essere più semplice.
Quando le velocità in gioco sono molto minori di $c$ , si può scrivere : $\gamma \approx 1 + 1/2 (v/c)^2 +...$ , e quindi l'energia cinetica ritorna ad essere : $ K \approx (\gamma-1)mc^2 = 1/2mv^2$ , e cosí per le energie cinetiche dopo l'urto.
Un fatto nuovo succede in relatività : l'angolo di scattering non è più $90º$ ma è minore. Questo posso fartelo vedere. Riprendiamo i calcoli dall'inizio, mettendo ora i vettori q.d.m. spaziali $vecp = \gamma m vecv$ .
I quadri-impulso originali li ho già scritti ; quelli dopo l'urto sono :
$P_1 = ( E_1/c,vecp_1)$ , e : $P_2 = ( E_2/c,vecp_2)$
Per la conservazione del 4-impulso si deve avere :
$P + P_0 = P_1 + P_2$
Calcoliamo il modulo quadro di entrambi i membri :
$ (P + P_0)^2 =(P_1 + P_2)^2$
da cui, sviluppando come un normale quadrato, e ricordando come si fa il quadrato di un 4-impulso (sai questo? altrimenti vedi (*) ) , si ottiene :
$2m^2c^2 +2(E/c,vecp)*(mc,0) = 2m^2c^2 +2P_1*P_2$
cioè : $ mE =P_1*P_2 = (E_1E_2)/c^2 - vecp_1vecp_2$
da cui : $E =(E_1E_2)/(mc^2) - (vecp_1vecp_2)/m $
Abbiamo detto che si conserva l'energia totale , quindi :
$E/c+ mc = E_1/c + E_2/c \Rightarrow (mc^2+K)/c +mc = (mc^2+K_1)/c + (mc^2+K_2)/c \Rightarrow K = K_1 + K_2 $
c'era da aspettarselo, anche in questo caso. Calcoliamo ora :
$E_1E_2 = (mc^2 + K_1)(mc^2+K_2) = K_1K_2 + mc^2( K_1 +K_2 +mc^2) = K_1K_2 + mc^2( K +mc^2) = K_1K_2 +mc^2*E $
pertanto si può dire che : $ E = (K_1K_2)/(mc^2) + E - (vecp_1vecp_2)/m$ , da cui in definitiva :
$(vecp_1*vecp_2)/m =(K_1K_2)/(mc^2) $ , e moltiplicando per m : $(vecp_1*vecp_2) =(K_1K_2)/c^2 $
perciò , il prodotto scalare tra i vettori tridimensionali $vecp_1$ e $vecp_2$ è sempre $>=0$ . L'uguaglianza a zero sussiste solo se una delle due energie finali è zero, cioè la particella si arresta. In caso contrario, l'angolo tra i vettori velocità finali è minore di $90º$ , contrariamente al caso classico, perchè il coseno dell'angolo compreso non è zero.
(*) dato un qualsiasi 4-vettore , il suo modulo quadro è invariante . Il 4-impulso è dato da : $P = (E/c, vecp) = (\gammamc,\gammamvecv$ in un riferimento in cui la particella è in moto con velocità $vecv$ . Il modulo quadro è dato da : $P^2 = (E/c)^2 - p^2 $ . Nel riferimento di quiete della particella, il 4-impulso è dato da $(mc,0)$ . LE componenti sono diverse , ma la norma è la stessa, e vale : $(mc)^2 $.
PErciò è anche vero che : $(E/c)^2 - p^2 = (mc)^2 \Rightarrow E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $ , che è valida anche per particelle aventi massa nulla.
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