Matrice d'inerzia rispetto ad asse rotazione
Sto cercando di capire un esercizio, nel quale un'asta di lunghezza l viene vincolata a scorrere su gli assi x ed y(che però è rivolto verso il basso). L'estremo A scorre su y e l'estremo B su x. L'asta forma un angolo $\theta$ con l'asse Y. Per prima cosa trovo il momento d'inerzia rispetto al baricentro dell'asta ripetto ad un sistema di coordinate ausiliario avente l'asse $x'$ coincidente con l'asse dell'asta.
$I_G = ((0,0,0),(0,ml^2/12,0),(0,0,ml^2/12))$
Riporto questa matrice sull'estremo A vincolato a scorrere lungo y
$I_A ^ 22 = I_A ^33 = ml^2/12 + m l^2/4$
$I_A = ((0,0,0),(0,ml^2/3,0),(0,0,ml^2/3))$
Fin qui ci sono. Adesso però perdo il filo. Il sistema ruota intorno all'asse y uniformemente... Quindi devo portare la matrice d'inerzia in A rispetto all'asse y. Questi sono i passaggi che fa che non capisco:
$I_\omega = ((-cos \theta),(sen \theta), (0)) * I_A *((-cos \theta),(sen \theta), (0)) $
Io non l'ho capito... Mi aiutate a capirlo?
$I_G = ((0,0,0),(0,ml^2/12,0),(0,0,ml^2/12))$
Riporto questa matrice sull'estremo A vincolato a scorrere lungo y
$I_A ^ 22 = I_A ^33 = ml^2/12 + m l^2/4$
$I_A = ((0,0,0),(0,ml^2/3,0),(0,0,ml^2/3))$
Fin qui ci sono. Adesso però perdo il filo. Il sistema ruota intorno all'asse y uniformemente... Quindi devo portare la matrice d'inerzia in A rispetto all'asse y. Questi sono i passaggi che fa che non capisco:
$I_\omega = ((-cos \theta),(sen \theta), (0)) * I_A *((-cos \theta),(sen \theta), (0)) $
Io non l'ho capito... Mi aiutate a capirlo?
Risposte
La formula finale è la formula per calcolare il momento di inerzia rispetto ad un qualsiasi asse, nota la matrice di inerzia rispetto ad un sistema di riferimento e il vettore dei coseni direttori dell'asse di rotazione rispetto al medesimo sistema di riferimento.
Nella formula che hai scritto tu però c'è un errore il primo vettore deve essere un vettore riga (anche perché il prodotto finale deve dare uno scalare).
Nella formula che hai scritto tu però c'è un errore il primo vettore deve essere un vettore riga (anche perché il prodotto finale deve dare uno scalare).
Io non capisco perchè mettere due colonne identiche... Perchè moltiplico due volte??? E quello che non capisco è il meno davanti al primo coseno... Io avrei fatto così:
$((sen \theta),(cos \theta),(0))
$((sen \theta),(cos \theta),(0))
\(I_y'=n'^T \Gamma^T \cdot I_a \cdot \Gamma n'\)
dove $\Gamma$ è la matrice di rotazione e $n'=(0,1,0)$ vettore colonna.
Ti convince?
il $-\cos\theta$ deriva dal fatto che ruoti di $\pi/2+\theta$ per portare l'asse $y'$ (verso l'alto) ortogonale alla sbarra sull'asse $y$
(diretto verso il basso).
il vettore $n'$ deriva dal fatto che ne sistema di riferimento di arrivo ti interessa il momento di inerzia rispetto all'asse di versore
$(0,1,0)$
dove $\Gamma$ è la matrice di rotazione e $n'=(0,1,0)$ vettore colonna.
Ti convince?
il $-\cos\theta$ deriva dal fatto che ruoti di $\pi/2+\theta$ per portare l'asse $y'$ (verso l'alto) ortogonale alla sbarra sull'asse $y$
(diretto verso il basso).
il vettore $n'$ deriva dal fatto che ne sistema di riferimento di arrivo ti interessa il momento di inerzia rispetto all'asse di versore
$(0,1,0)$
"Mito125":
Io non capisco perchè mettere due colonne identiche... Perchè moltiplico due volte??? E quello che non capisco è il meno davanti al primo coseno... Io avrei fatto così:
$((sen \theta),(cos \theta),(0))$
Devi considerare il sistema di riferimento rispetto a cui hai scritto la matrice di inerzia e vedere come è disposto rispetto a tale riferimento l'asse attorno a cui ruota la barra e rispetto a cui vuoi calcolare il momento di inerzia.
Per il discorso della doppia moltiplicazione, innanzitutto non sono due colonne identiche, come già ti ho detto, il primo vettore è un vettore riga; in secondo luogo ti consiglio di rivederti il significato di matrice (o meglio tensore) di inerzia, quello è il modo rispetto a cui si scrive il momento di inerzia rispetto ad un qualunque asse, una volta nota la matrice di inerzia.
Se vuoi puoi anche partire dal fatto che il vettore momento angolare, è dato da
$ vec omega$
con $$ matrice di inerzia e $vec omega$ vettore velocità angolare.
Scalarmente invece il momento angolare rispetto ad un asse è dato da $I_a | vec omega|$ con $I_a$ momento di inerzia attorno all'asse di rotazione e $|vec omega|$ modulo della velocità angolare.
Quindi
$ vec omega * vec omega / |vec (omega)| = I_a |vec omega| $
(il punto sta per prodotto scalare)
da cui
$I_a = (vec omega / | vec omega|)^T vec omega/(|vec omega|)$
(la $T$ sta per l'operazione di trasposizione del vettore colonna), che è praticamente la formula di cui si parla.
Grazie Faussone, l'ultima spiegazione mi ha chiarito un po' meglio le cose... A volte dipende pure dalle parole che si usano per spiegare le cose... Sul libro che uso(elementi di meccanica classica di mauro fabrizio) a mio avviso non sempre tutto è spiegato molto chiaramente(lo consiglierei più ad una università matematica, che ad un indirizzo ingegneristico)... Provo a rifarlo seguendo questa spiegazione...
Grazie ancora a tutti...
Grazie ancora a tutti...
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