Matrice d'inerzia di una sfera omogenea
Salve,
sto studiando le matrici di inerzia e mi piacerebbe affrontare questo caso particolare che mi è sempre risultato rognoso anche quando cercavo direttamente il momento di inerzia rispetto ad un asse.
So che sarebbe più pratico dire che, vista la forte simmetria del sistema, è possibile subito concludere che
$I_(ii) = 2/5mR^2 AA i=1,2,3 \Rightarrow sigma_O =2/5$ \(mR^2\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
ma vorrei ricavare l'intera matrice partendo dalla definizione che ho almeno per ricavare il primo termine, poi gli altri voglio anche accettare di ricavarli grazie alla simmetria.
Allora
$sigma_(\x\x) = int_{C}mu(y^2+z^2)dC$ dove $mu$ è la distribuzione di massa $(3m)/(4piR^3) = mu\Rightarrowdm=4pimur^2dr$
che nell'integrale ci dà
$int_{0}^{R}dxint_{0}^{R}dyint_{0}^{R}dz*(y^2+z^2)*4pimu(x^2+y^2+z^2)$
che è scorretto e penso che concettualmente sono lontano dalla strada giusta.
Grazie mille in anticipo!
Edit: in verità ora sto provando a trasformarlo e risolverlo in coordinate sferiche
sto studiando le matrici di inerzia e mi piacerebbe affrontare questo caso particolare che mi è sempre risultato rognoso anche quando cercavo direttamente il momento di inerzia rispetto ad un asse.
So che sarebbe più pratico dire che, vista la forte simmetria del sistema, è possibile subito concludere che
$I_(ii) = 2/5mR^2 AA i=1,2,3 \Rightarrow sigma_O =2/5$ \(mR^2\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
ma vorrei ricavare l'intera matrice partendo dalla definizione che ho almeno per ricavare il primo termine, poi gli altri voglio anche accettare di ricavarli grazie alla simmetria.
Allora
$sigma_(\x\x) = int_{C}mu(y^2+z^2)dC$ dove $mu$ è la distribuzione di massa $(3m)/(4piR^3) = mu\Rightarrowdm=4pimur^2dr$
che nell'integrale ci dà
$int_{0}^{R}dxint_{0}^{R}dyint_{0}^{R}dz*(y^2+z^2)*4pimu(x^2+y^2+z^2)$
che è scorretto e penso che concettualmente sono lontano dalla strada giusta.
Grazie mille in anticipo!
Edit: in verità ora sto provando a trasformarlo e risolverlo in coordinate sferiche
Risposte
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Per ricavare il momento di inerzia di una sfera omogenea , di raggio $R$ e massa $m$ , rispetto ad un asse baricentrico qualsiasi , che chiamiamo asse $z$ , si può procedere cosí . "Affettiamo" la sfera con piani paralleli, distanti $dz$ , perpendicolari all'asse $z$ , e consideriamo il disco elementare di volume $dV = pix^2dz $ , dove $x$ è il raggio del disco posto a quota $z$ dal piano passante per il centro; guarda la figura allegata , per maggior comprensione.
Il disco elementare ha momento d'inerzia : $dI_z = 1/2*dm*x^2 = 1/2\rho\pix^2*dz*x^2 = 1/2\rho\pi*x^4dz$ , dove : $rho = (3m)/(4\piR^3) $ è la densità . Suppongo noto il m.i. del disco , da qualcosa bisogna pur patire ! In ogni caso , ricavare il m.i. del disco rispetto all'asse baricentrico perpendicolare è una faccenda molto semplice ...
Si tratta di integrare ora $dI_z$ da $-R$ a $+R$ . Ho scritto i passaggi a mano sul foglio allegato:
Gli altri elementi della matrice di inerzia sono semplici da determinare : quelli sulla diagonale principale sono uguali a quello calcolato. I momenti centrifughi sono tutti nulli per simmetria .
Il disco elementare ha momento d'inerzia : $dI_z = 1/2*dm*x^2 = 1/2\rho\pix^2*dz*x^2 = 1/2\rho\pi*x^4dz$ , dove : $rho = (3m)/(4\piR^3) $ è la densità . Suppongo noto il m.i. del disco , da qualcosa bisogna pur patire ! In ogni caso , ricavare il m.i. del disco rispetto all'asse baricentrico perpendicolare è una faccenda molto semplice
...Si tratta di integrare ora $dI_z$ da $-R$ a $+R$ . Ho scritto i passaggi a mano sul foglio allegato:
Gli altri elementi della matrice di inerzia sono semplici da determinare : quelli sulla diagonale principale sono uguali a quello calcolato. I momenti centrifughi sono tutti nulli per simmetria .
Ciao e grazie 
Il metodo di "affettare" i solidi con degli oggetti piani elementari lo avevo già visto e devo dire che è molto comodo.
Immagino che delle volte è meglio seguire questi ragionamento piuttosto che perdere tempo a provare a seguire la definizione, d'altronde un integrale mica lo calcolo con la definizione, non vedo perché fissarmici qui
Grazie ancora
Il metodo di "affettare" i solidi con degli oggetti piani elementari lo avevo già visto e devo dire che è molto comodo.
Immagino che delle volte è meglio seguire questi ragionamento piuttosto che perdere tempo a provare a seguire la definizione, d'altronde un integrale mica lo calcolo con la definizione, non vedo perché fissarmici qui
Grazie ancora
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