Matrice di densità ridotta
Ciao a tutti, ho un dubbio circa un esercizio di calcolo di prodotti tensori tra vettori.
Riporto qui il testo
Sono riuscita a svolgere quasi tutto il problema, tuttavia ho un dubbio sulla domanda finale.
Io ho trovato l'espressione dello stato fondamentale come
$ |\phi_0> = 1/\sqrt(2)(|01> -|10>) $ che è corretto perché coincide con la soluzione che mi viene data.
Successivamente non capisco bene cosa voglia dire '' $\rho_2= Tr_1(|\phi_0><\phi_0|) $ '' e '' $ \rho_1= Tr_2(|\phi_0><\phi_0|) $ '',ho supposto che in realtà i pedici della traccia siano invertiti... sbaglio?
Dunque, ho provato a svolgere così i conti.
$ \rho_1=Tr_1[1/2(|0> -|1>)(<0|- <1|)] $ cioè ho considerato solo la particella 1 dello stato fondamentale e quindi per la seconda matrice di densità ottengo
$ \rho_2=Tr_2[1/2(|1> -|0>)(<1|- <0|)] $
e poi ho svolto i conti così (esempio per la 1):
$ 1/2(|0><0|-|0><1|-|1><0|+|1><1|) $ $ |0><0|=( (1), (0) ) ( 1 \ \ 0 ) =( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ e via dicendo per tutti gli altri prodotti.
Alla fine , svolgendo il conto ottengo
$ ( ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ) 1/2 $
Solo che vado in confusione con quanto mi chiede il problema...
$ \rho_1 $ dovrebbe essere un numero? Se calcolo la traccia della matrice mi viene 1, cosa che dovrebbe essere sbagliata, in quanto nella soluzione mi ritrovo un secco
$ \rho1=I_1/2 $ .
Inizialmente ho supposto di sbagliare a fare i conti (tuttavia non ci è mai stato fornito un esempio esplicito in classe di come calcolare praticamente questi prodotti e ho paura di aver capito male)... quindi vorrei sapere se sono giusti questi esempi di prodotti tensori tra vettori o meno
$ |0> = ( 1 \ \ 0 ) $
$ |1> = ( 0 \ \ 1 ) $
$ |01> =|0> ox |1> = ( 0 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 ) $
e se ha senso questa cosa
$ |0><0|=( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire meglio la domanda?
Grazie mille
Riporto qui il testo
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Sono riuscita a svolgere quasi tutto il problema, tuttavia ho un dubbio sulla domanda finale.
Io ho trovato l'espressione dello stato fondamentale come
$ |\phi_0> = 1/\sqrt(2)(|01> -|10>) $ che è corretto perché coincide con la soluzione che mi viene data.
Successivamente non capisco bene cosa voglia dire '' $\rho_2= Tr_1(|\phi_0><\phi_0|) $ '' e '' $ \rho_1= Tr_2(|\phi_0><\phi_0|) $ '',ho supposto che in realtà i pedici della traccia siano invertiti... sbaglio?
Dunque, ho provato a svolgere così i conti.
$ \rho_1=Tr_1[1/2(|0> -|1>)(<0|- <1|)] $ cioè ho considerato solo la particella 1 dello stato fondamentale e quindi per la seconda matrice di densità ottengo
$ \rho_2=Tr_2[1/2(|1> -|0>)(<1|- <0|)] $
e poi ho svolto i conti così (esempio per la 1):
$ 1/2(|0><0|-|0><1|-|1><0|+|1><1|) $ $ |0><0|=( (1), (0) ) ( 1 \ \ 0 ) =( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ e via dicendo per tutti gli altri prodotti.
Alla fine , svolgendo il conto ottengo
$ ( ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ) 1/2 $
Solo che vado in confusione con quanto mi chiede il problema...
$ \rho_1 $ dovrebbe essere un numero? Se calcolo la traccia della matrice mi viene 1, cosa che dovrebbe essere sbagliata, in quanto nella soluzione mi ritrovo un secco
$ \rho1=I_1/2 $ .
Inizialmente ho supposto di sbagliare a fare i conti (tuttavia non ci è mai stato fornito un esempio esplicito in classe di come calcolare praticamente questi prodotti e ho paura di aver capito male)... quindi vorrei sapere se sono giusti questi esempi di prodotti tensori tra vettori o meno
$ |0> = ( 1 \ \ 0 ) $
$ |1> = ( 0 \ \ 1 ) $
$ |01> =|0> ox |1> = ( 0 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 ) $
e se ha senso questa cosa
$ |0><0|=( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire meglio la domanda?
Grazie mille
Risposte
Ciao Nattramn, guarda, le matrici di densità onestamente non me le ricordo molto. Magari se nei prossimi giorni trovo un po’ di tempo mi riguardo la questione e provo a risponderti, ma al momento sto studiando tutt’altro, perciò non posso darti garanzie.
Ovviamente, con un po’ di fortuna, nel frattempo potrebbe intervenire qualcun altro ad aiutarti, ma dato che in genere su questi esercizi ti rispondo io, ho ritenuto opportuno avvisarti.
Ovviamente, con un po’ di fortuna, nel frattempo potrebbe intervenire qualcun altro ad aiutarti, ma dato che in genere su questi esercizi ti rispondo io, ho ritenuto opportuno avvisarti.
Quando vuoi la matrice di densità completa fai la traccia su tutti gli stati del tuo spazio prodotto. Qui ti sta chiedendo la matrice densità ridotta che sarà un operatore su uno dei due spazi di singola particella.
Quindi se il tuo operatore è $L$ (nel tuo caso $=|\phi_0><\phi_0|$) appartenente all'insieme degli operatori lineari sullo spazio prodotto a due particelle, allora $L_1=Tr_2(L)$ apparterrà agli operatori lineari sullo spazio della particella 1 e analogo per 2. Quindi il testo è corretto.
Riprova a fare il conto e dimmi cosa ti viene.
Quindi se il tuo operatore è $L$ (nel tuo caso $=|\phi_0><\phi_0|$) appartenente all'insieme degli operatori lineari sullo spazio prodotto a due particelle, allora $L_1=Tr_2(L)$ apparterrà agli operatori lineari sullo spazio della particella 1 e analogo per 2. Quindi il testo è corretto.
Riprova a fare il conto e dimmi cosa ti viene.
Visto? Mai disperare 
Ciao v3ct0r e Omar, comincio a ringraziare tutti e due per aver risposto. Ora guardo con calma la risposta e mi metto dietro a rifare l'esercizio.
Grazie ancora
Grazie ancora
Allora, ho riletto attentamente la tua risposta, ma temo di non aver ancora ben capito... Forse mi perdo in un bicchiere d'acqua davvero.
Il modo in cui svolgo i conti è giusto? Non riesco a capire come dovrei ottenere una matrice... La traccia non è la somma degli elementi della diagonale scusa?
Il modo in cui svolgo i conti è giusto? Non riesco a capire come dovrei ottenere una matrice... La traccia non è la somma degli elementi della diagonale scusa?
Perdonatemi, ci ho riflettuto un po' meglio.. ora ho capito e il problema torna.
Grazie mille ancora, gentilissimi.
Grazie mille ancora, gentilissimi.
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