Matrice cinetica della lagrangiana
Ho un dubbio vi espongo il problema:
Un'asta omogenea OP di massa m e lunghezza l ha estremo O vincolato ad un punto fisso (sarà il centro del nostro sistema). Sul secondo estremo P agiscono 2 molle k e h sono le 2 costanti elastiche e connettono P ai punti A(l,0,0) e B(0,l,0). Le cordinate sono riferite ad una terna fissa cartesiana ed ortogonale. Le 2 var lagrangiane sono $theta,phi$ che sono gli angoli della sbarra rispetto a z asse verticale e x ($phi$ indica la longitudine dell'asta rispetto all'asse x)
questo è il probl. ora il dubbio sulla matrice cinetica:
chiaramente la sbarra vincolata NON ha contributo traslazionale perciò i 2 contributi cinetici sono le rotazioni intorno a z-verticale e e x .
Se non erro i 2 momenti li posso scrivere cosi'
$I_z=ml^2/3sin(theta)^2,Ix=ml^2/3sin(phi)^2$ dove i seni quadri stanno a indicare che l'asse di rotazione non è necessariamente ortogonale al piano di rotazione (spero sia così); bhe l'espressione del contributo cinetico sarà:
$T=1/2(ml^2/3(sin(theta)^2(dotphi)^2+sin(phi)^2(dottheta)^2))$ non vi pare anche a voi?
altrimenti potreste dirmi dove sbaglio?
grazie
Un'asta omogenea OP di massa m e lunghezza l ha estremo O vincolato ad un punto fisso (sarà il centro del nostro sistema). Sul secondo estremo P agiscono 2 molle k e h sono le 2 costanti elastiche e connettono P ai punti A(l,0,0) e B(0,l,0). Le cordinate sono riferite ad una terna fissa cartesiana ed ortogonale. Le 2 var lagrangiane sono $theta,phi$ che sono gli angoli della sbarra rispetto a z asse verticale e x ($phi$ indica la longitudine dell'asta rispetto all'asse x)
questo è il probl. ora il dubbio sulla matrice cinetica:
chiaramente la sbarra vincolata NON ha contributo traslazionale perciò i 2 contributi cinetici sono le rotazioni intorno a z-verticale e e x .
Se non erro i 2 momenti li posso scrivere cosi'
$I_z=ml^2/3sin(theta)^2,Ix=ml^2/3sin(phi)^2$ dove i seni quadri stanno a indicare che l'asse di rotazione non è necessariamente ortogonale al piano di rotazione (spero sia così); bhe l'espressione del contributo cinetico sarà:
$T=1/2(ml^2/3(sin(theta)^2(dotphi)^2+sin(phi)^2(dottheta)^2))$ non vi pare anche a voi?
altrimenti potreste dirmi dove sbaglio?
grazie
Risposte
Non sembra, prima di tutto la terna non è nè principale nè centrale... quindi ci saranno anche i momenti centrifughi, che non vedo...
Per momenti centrifughi intendi quelle derivanti da forze non conservative? in effetti ho dimenticato qualcosa 
Purtroppo la parte di fisica di meccanica è divisa, dove studio io , in 2 moduli ed il secondo lo darò l'anno prossimo (dove c'è la parte dei momenti meccanici dei corpi).....non è che potresti scrivermi la formula generale? o un link dove pescarla? almeno parto per la soluzione da una base sicura...
grazie
Purtroppo la parte di fisica di meccanica è divisa, dove studio io , in 2 moduli ed il secondo lo darò l'anno prossimo (dove c'è la parte dei momenti meccanici dei corpi).....non è che potresti scrivermi la formula generale? o un link dove pescarla? almeno parto per la soluzione da una base sicura...
grazie
Io intendevo quelli non principali, hai presente l'ellisoide d'inerzia? Se vuoi usare solo i momenti principali, ossia attorno agli assi principali, bisogna che tu prenda un sistema principale.
Comunque prova a cercare in rete, purtroppo non ho moltissimo tempo...
Comunque prova a cercare in rete, purtroppo non ho moltissimo tempo...
Provo.....
in base agli angoli di eulero che regolano la trasformazione per passare da un sistema fisso ad un'altro riferito ad una terna principale (angoli$\psi,theta,phi$) e presa una base solidale associata (e1,e2,e3) dove e1 indica l'asse passante per l'asta del problema e parallelo all'asta stessa => e3 costantemente complanare al piano xy (spero di essermi spiegato) la vel angolare $vecomega$ e':
$vecomega=(dotpsisinthetasinphi+dotthetacosphi)vece_1+(dotpsisinthetacosphi-dotthetasinphi)vece_2+(dotpsicostheta+dotphi)vece_3$
come detto l'energia cinetica in assenza di traslazioni del centro di massa della sbarra che è vincolata in O ed in P è connessa alle 2 molle sarà:
$T=1/2vecomega*vecI_ovecomega$
dove I_o indica la matrice di inerzia rispetto alla terna e1..e3.
Tale matrice sarà : $vecI_o=ml^2/3(0,1,1)$ rispetto ad O ed alla terna e1..e3.(per inciso ho assunto che i 2 sistemi avessero lo stesso centro O)
ora nel nostro problema le variabili assumevano un altro significato occorre perciò specificare la correlazione tra gli angoli di eulero e quelli imposti dal problema:
Formula eulero ------------> Problema
$psi$--------------------------->$phi$
$phi$--------------------------->$pi/2-theta$
$theta$-------------------------->$pi/2$ costante a causa dei vincoli
Se riscrivo omega in base alle coordinate lagrangiane del problema ottengo:
$vecomega=dotphicosthetavece_1+dotphisinthetavece_2+dotthetavece_3$
Si evince che la matrice cinetica della lagrangiana $T=ml^2/6(dotphi^2(sintheta)^2+dottheta^2)$
dimmi che ne pensi ho pescato la formula di omega e gli angoli di eulero da un libro spero sia corretto......
in base agli angoli di eulero che regolano la trasformazione per passare da un sistema fisso ad un'altro riferito ad una terna principale (angoli$\psi,theta,phi$) e presa una base solidale associata (e1,e2,e3) dove e1 indica l'asse passante per l'asta del problema e parallelo all'asta stessa => e3 costantemente complanare al piano xy (spero di essermi spiegato) la vel angolare $vecomega$ e':
$vecomega=(dotpsisinthetasinphi+dotthetacosphi)vece_1+(dotpsisinthetacosphi-dotthetasinphi)vece_2+(dotpsicostheta+dotphi)vece_3$
come detto l'energia cinetica in assenza di traslazioni del centro di massa della sbarra che è vincolata in O ed in P è connessa alle 2 molle sarà:
$T=1/2vecomega*vecI_ovecomega$
dove I_o indica la matrice di inerzia rispetto alla terna e1..e3.
Tale matrice sarà : $vecI_o=ml^2/3(0,1,1)$ rispetto ad O ed alla terna e1..e3.(per inciso ho assunto che i 2 sistemi avessero lo stesso centro O)
ora nel nostro problema le variabili assumevano un altro significato occorre perciò specificare la correlazione tra gli angoli di eulero e quelli imposti dal problema:
Formula eulero ------------> Problema
$psi$--------------------------->$phi$
$phi$--------------------------->$pi/2-theta$
$theta$-------------------------->$pi/2$ costante a causa dei vincoli
Se riscrivo omega in base alle coordinate lagrangiane del problema ottengo:
$vecomega=dotphicosthetavece_1+dotphisinthetavece_2+dotthetavece_3$
Si evince che la matrice cinetica della lagrangiana $T=ml^2/6(dotphi^2(sintheta)^2+dottheta^2)$
dimmi che ne pensi ho pescato la formula di omega e gli angoli di eulero da un libro spero sia corretto......
Adesso mi torna 
ALEEEEEEEEEEEEE!!!!!!!!!!!!!!
Una cosa... perchè il tuo post titola "matrice cinetica della lagrangiana" se poi vuoi trovare l'energia cinetica che è uno scalare?
"cavallipurosangue":
:) Una cosa... perchè il tuo post titola "matrice cinetica della lagrangiana" se poi vuoi trovare l'energia cinetica che è uno scalare?
perchè il seguito dell'esercizio richiede lo studio delle piccole oscilazioni attorno ad un punto di equilibrio stabile, quindi l'energia cinetica può essere interpretata come una matrice nelle variabili ($dottheta^2,dotphi^2,dotthetadotphi$) ed a quel punto assieme alla matrice Hessiana del potenziale trove le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad un punto di eqilibrio stabile che è la parte finale dell'esercizio
Quando hai risolto puoi postare l'intero svolgimento che son curioso?
"cavallipurosangue":
Quando hai risolto puoi postare l'intero svolgimento che son curioso?
Ok cavallo sto un po' andando a singhiozzo ma appena termino ti posto il tutto.
Partiamo dalla Lagrangiana del sistema richiesto nel problema:
$L=T-V=(ml^2)/6(dotphi^2sintheta^2+dottheta^2)-(mgl)/2costheta+l^2costheta(kcosphi+hsinphi)$ dove $k=(mg)/(4l)$ e $ h=sqrt(3)/4(mg)/l$
Lo studio della matrice Hessiana per i punti di stazionarietà e di stabilità conducono alla configuazione di equilibrio stabile $\Gamma:=(3/4\pi,pi/3)$
(su questo punto non entro nello specifico penso ti sia conosciuto)
La soluzione delle frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad un punto di equilibrio stabile richiede la risoluzione della equazione secolare
DET$C-lambdaA=0$ dove C è la matrice Hessiana calcolata nel punto di equilibrio della configurazione $\Gamma$ mentre la matrice A è la matrice cinetica anch'essa calcolata su $\Gamma$
ora $C(\Gamma)=(mgl)/sqrt(2)((1,0),(0,1/2))$ mentre possiamo riscrivere T come $T=1/2(dottheta,dotphi)A(dottheta,dotphi)$ dove A è la matrice cinetica e che da il valore scalare già visto in precedenza $A:=(ml^2)/3((1,0),(0,sintheta^2)) =>A(\Gamma)=(ml^2)/3((1,0),(0,1/2))$.
Lo sviluppo del determinante porta alla soluzione delle frequenze delle piccole oscillazioni attorno al punto di equilibrio stabile $lambda_1=lambda_2=(3g)/(sqrt(2)l)$
Ora non sono sicurissimo delle soluzioni poichè non le ho ancora passate al computer mentre il procedimento è questo; penso tuttavia che se tu volessi avere un quadro + ampio dell'argomento dovrei entrare nella teoria delle perturbazioni ai sistemi (ma forse qualcosa hai già visto) e spiegarti PERCHE' l'equazione secolare ti porge quelle frequenze e soprattutto la ricerca degli autovalori apre ad un argomento piu' profondo che le semplici frequenze di oscillazione, cioè i modi normali ovvero la possibilità di un completo disaccoppiamento delle equazioni differenziali che regolano il moto del sistema con la possibilità di trovarne facilmente la soluzione spesso per via analitica quasi sempre per via numerica
Ora torno ai miei problemini ma se ti serve un po' di roba per capirci qualcosa di + sai come trovarmi.........ma mi sa che sarò io ad avere + bisogno di te
$L=T-V=(ml^2)/6(dotphi^2sintheta^2+dottheta^2)-(mgl)/2costheta+l^2costheta(kcosphi+hsinphi)$ dove $k=(mg)/(4l)$ e $ h=sqrt(3)/4(mg)/l$
Lo studio della matrice Hessiana per i punti di stazionarietà e di stabilità conducono alla configuazione di equilibrio stabile $\Gamma:=(3/4\pi,pi/3)$
(su questo punto non entro nello specifico penso ti sia conosciuto)
La soluzione delle frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad un punto di equilibrio stabile richiede la risoluzione della equazione secolare
DET$C-lambdaA=0$ dove C è la matrice Hessiana calcolata nel punto di equilibrio della configurazione $\Gamma$ mentre la matrice A è la matrice cinetica anch'essa calcolata su $\Gamma$
ora $C(\Gamma)=(mgl)/sqrt(2)((1,0),(0,1/2))$ mentre possiamo riscrivere T come $T=1/2(dottheta,dotphi)A(dottheta,dotphi)$ dove A è la matrice cinetica e che da il valore scalare già visto in precedenza $A:=(ml^2)/3((1,0),(0,sintheta^2)) =>A(\Gamma)=(ml^2)/3((1,0),(0,1/2))$.
Lo sviluppo del determinante porta alla soluzione delle frequenze delle piccole oscillazioni attorno al punto di equilibrio stabile $lambda_1=lambda_2=(3g)/(sqrt(2)l)$
Ora non sono sicurissimo delle soluzioni poichè non le ho ancora passate al computer mentre il procedimento è questo; penso tuttavia che se tu volessi avere un quadro + ampio dell'argomento dovrei entrare nella teoria delle perturbazioni ai sistemi (ma forse qualcosa hai già visto) e spiegarti PERCHE' l'equazione secolare ti porge quelle frequenze e soprattutto la ricerca degli autovalori apre ad un argomento piu' profondo che le semplici frequenze di oscillazione, cioè i modi normali ovvero la possibilità di un completo disaccoppiamento delle equazioni differenziali che regolano il moto del sistema con la possibilità di trovarne facilmente la soluzione spesso per via analitica quasi sempre per via numerica
Ora torno ai miei problemini ma se ti serve un po' di roba per capirci qualcosa di + sai come trovarmi.........ma mi sa che sarò io ad avere + bisogno di te
Fammi capire... tutto questo solo per calcolare le frequanze proprie?
"cavallipurosangue":
Fammi capire... tutto questo solo per calcolare le frequanze proprie?
anche i modi normali cioè le equazioni pure di movimento attorno alla stabilità....
Scusa, ma non basta scrivere le equazioni, trovare i punti di equilibrio, trovare quelli stabili e poi linearizzare le equazioni nell'intorno di questa posizione?
No perchè io ho sempre fatto così, sia con le equazioni di lagrange che direttamente con le cardinali...
Ci sta però che tutto questo seva perchè tu vuoi non linearizzare?
No perchè io ho sempre fatto così, sia con le equazioni di lagrange che direttamente con le cardinali...
Ci sta però che tutto questo seva perchè tu vuoi non linearizzare?
Qual'è la lunghezza a riposo delle molle? No perchè a me l'energia potenziale viene alquanto diversa...
$U=1/2k(l-l_0)^2=1/2k(|AP|-l_0)^2$
$AP=AO+OP$
$AP=l[(sin\theta\cos\phi-1),(sin\theta\sin\phi),(cos\theta)]$
$|AP|=\sqrt(2)l\sqrt(1-sintheta\cos\phi)$
Quindi...almeno per la prima molla...
$U_1=1/2k(\sqrt(2)l\sqrt(1-sintheta\cos\phi)-l_0)^2$
no?
$U=1/2k(l-l_0)^2=1/2k(|AP|-l_0)^2$
$AP=AO+OP$
$AP=l[(sin\theta\cos\phi-1),(sin\theta\sin\phi),(cos\theta)]$
$|AP|=\sqrt(2)l\sqrt(1-sintheta\cos\phi)$
Quindi...almeno per la prima molla...
$U_1=1/2k(\sqrt(2)l\sqrt(1-sintheta\cos\phi)-l_0)^2$
no?
"cavallipurosangue":
Qual'è la lunghezza a riposo delle molle? No perchè a me l'energia potenziale viene alquanto diversa...
$U=1/2k(l-l_0)^2=1/2k(|AP|-l_0)^2$
$AP=AO+OP$
$AP=l[(sin\theta\sin\phi-1),(sin\theta\sin\phi),(cos\phi)]$
$|AP|=\sqrt(2)l\sqrt(1-sintheta\cos\phi)$
Quindi...almeno per la prima molla...
$U_1=1/2k(\sqrt(2)l\sqrt(1-sintheta\cos\phi)-l_0)^2$
no?
Ho fatto una copia del testo dell'es 22 perchè c'è il disegno ed i dati del problema.....purtroppo l'immagine nn riesco ad ingrandirla sto imparando ad usare gimp ma per ora ho dei limiti
cmq se peschi l'immagine poi la puoi ingrandire....penso fino a che non riesci a leggerlo...
$P-A=l(sinthetacosphi-1)vece_1+lsinthetasinphivece_2+lcosthetavece_3$
$P-B=lsinthetacosphivece_1+l(sinthetasinphi-1)vece_2+lcosthetavece_3$
+ potenziale baricentro asta =>$V=-U=(mgl)/2costheta-l^2sintheta(hsinphi+kcosphi)$
per quanto riguarda le equazioni si è vero che puoi linearizzarle ma non sempre è possibile o sufficiente. Certo linearizzare le eq. è sempre conveniente quando cio è facile poi c'e' il problema che il sistema di eq. potrebbe avere derivate miste(.....almeno su alcuni esercizi mi è capitato così). Io non conosco altri modi per disaccoppiare le eq diff preservandone la struttura e rendere + facile trovare le soluzioni. Puo' essere che non avendo ancora frequentato il corso di metodi matematici non mi sia ancora tutto chiaro sulle tecniche per risolvere i sistemi di dinamica.
Grazie ma dall'immagine non vedo molto
Ho appena constatato che ho fatto degli errori di fretta nel vettore AP che ho corretto
Quelli ci vengono uguali, ma dato questo non capisco come fa a venirti quella energia potenziale...
Per il disaccoppiamento, di solito io, dopo aver linearizzato uso la teoria modale appunto...
Ho appena constatato che ho fatto degli errori di fretta nel vettore AP che ho corretto
Quelli ci vengono uguali, ma dato questo non capisco come fa a venirti quella energia potenziale...
Per il disaccoppiamento, di solito io, dopo aver linearizzato uso la teoria modale appunto...
"cavallipurosangue":
Grazie ma dall'immagine non vedo molto
Ho appena constatato che ho fatto degli errori di fretta nel vettore AP che ho corretto
Quelli ci vengono uguali, ma dato questo non capisco come fa a venirti quella energia potenziale...
Per il disaccoppiamento, di solito io, dopo aver linearizzato uso la teoria modale appunto...
Domani se riesco provo ad ingrandire l'immagine.....anche se per ora i miei tentativi sono andati a vuoto
e lo riposto Dimmi se ci sei con questa relazione :
$V= mvecg*vecz_G + 1/2k(P-A)^2 + 1/2k(P-B)^2$ dove $vecz_g$ è il vettore (0,0,zg) che indica l'altezza del baricentro dell'asta
se non viene esplicitato dal problema io considero le lunghezze di riposo delle 2 molle nulle......
Se siamo d'accordo su questo il potenziale diverso è il frutto di un errore di calcolo umanissimo per altro...
Si certo qui siamo perfettamente d'accordo.
OK! domani riporto tutti i passaggi per raggiungere il risultato del pot così scoviamo l'errore.
good night!
good night!
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