Matrice cinetica della lagrangiana
Ho un dubbio vi espongo il problema:
Un'asta omogenea OP di massa m e lunghezza l ha estremo O vincolato ad un punto fisso (sarà il centro del nostro sistema). Sul secondo estremo P agiscono 2 molle k e h sono le 2 costanti elastiche e connettono P ai punti A(l,0,0) e B(0,l,0). Le cordinate sono riferite ad una terna fissa cartesiana ed ortogonale. Le 2 var lagrangiane sono $theta,phi$ che sono gli angoli della sbarra rispetto a z asse verticale e x ($phi$ indica la longitudine dell'asta rispetto all'asse x)
questo è il probl. ora il dubbio sulla matrice cinetica:
chiaramente la sbarra vincolata NON ha contributo traslazionale perciò i 2 contributi cinetici sono le rotazioni intorno a z-verticale e e x .
Se non erro i 2 momenti li posso scrivere cosi'
$I_z=ml^2/3sin(theta)^2,Ix=ml^2/3sin(phi)^2$ dove i seni quadri stanno a indicare che l'asse di rotazione non è necessariamente ortogonale al piano di rotazione (spero sia così); bhe l'espressione del contributo cinetico sarà:
$T=1/2(ml^2/3(sin(theta)^2(dotphi)^2+sin(phi)^2(dottheta)^2))$ non vi pare anche a voi?
altrimenti potreste dirmi dove sbaglio?
grazie
Un'asta omogenea OP di massa m e lunghezza l ha estremo O vincolato ad un punto fisso (sarà il centro del nostro sistema). Sul secondo estremo P agiscono 2 molle k e h sono le 2 costanti elastiche e connettono P ai punti A(l,0,0) e B(0,l,0). Le cordinate sono riferite ad una terna fissa cartesiana ed ortogonale. Le 2 var lagrangiane sono $theta,phi$ che sono gli angoli della sbarra rispetto a z asse verticale e x ($phi$ indica la longitudine dell'asta rispetto all'asse x)
questo è il probl. ora il dubbio sulla matrice cinetica:
chiaramente la sbarra vincolata NON ha contributo traslazionale perciò i 2 contributi cinetici sono le rotazioni intorno a z-verticale e e x .
Se non erro i 2 momenti li posso scrivere cosi'
$I_z=ml^2/3sin(theta)^2,Ix=ml^2/3sin(phi)^2$ dove i seni quadri stanno a indicare che l'asse di rotazione non è necessariamente ortogonale al piano di rotazione (spero sia così); bhe l'espressione del contributo cinetico sarà:
$T=1/2(ml^2/3(sin(theta)^2(dotphi)^2+sin(phi)^2(dottheta)^2))$ non vi pare anche a voi?
altrimenti potreste dirmi dove sbaglio?
grazie
Risposte
Good night to you!
spero si veda meglio......oggi non ho avuto tempo di postare i passaggi e del resto mi sono picchiato con gimp per capire come importare correttamente.
Domani matt se ce la faccio posto i passaggi
$(P-A)^2=2l^2-2l^2sinthetacosphi$
$(P-B)^2=2l^2-2l^2sinthetasinphi$
$U_(OP)=-(mgl)/2costheta$
$V=(mgl)/2costheta +1/2K(2l^2-2l^2sinthetacosphi)+1/2h(2l^2-2l^2sinthetasinphi)=(mgl)/2costheta-l^2sintheta(Kcosphi+hsinphi)+$costante
poi il fattore costante non viene riportato perchè ovviamente sparisce......
$(P-B)^2=2l^2-2l^2sinthetasinphi$
$U_(OP)=-(mgl)/2costheta$
$V=(mgl)/2costheta +1/2K(2l^2-2l^2sinthetacosphi)+1/2h(2l^2-2l^2sinthetasinphi)=(mgl)/2costheta-l^2sintheta(Kcosphi+hsinphi)+$costante
poi il fattore costante non viene riportato perchè ovviamente sparisce......
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