Massa vincolata a due molle
Un corpo di massa M è vincolato alle estremità di due molle di eguale costante elastica K, fissata a due pareti contrapposte. Supponendo di spostare il corpo dalla posizione di equilibrio di una lunghezza X, determinare
1) L'espressione della risultante delle forze applicate al corpo dalle molle
2) Il periodo delle oscillazioni che il corpo ha attorno alla posizione di equilibrio
1) La forza di richiamo Fr = -kx. In questo caso avrò due forze di richiamo, una con x positiva e una con x negativa.
FrA = -kx, FrB = -k(-x) = kx.
Prendendo come al solito l'asse delle x in direzione verso destra:
ΣF = -FrA + Frb = -(-kx) + kx = 2kx
2) ΣF = 2kx = Ma
\(\displaystyle a = \frac{2kx}{M} \)
\(\displaystyle x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^2 \)
\(\displaystyle x + \frac{1}{2}\frac{2kx}{M}t^2 = 0 \)
\(\displaystyle t^2 = -x\frac{M}{kx} \)
\(\displaystyle t^2 = -\frac{M}{k} \)
\(\displaystyle t = \sqrt{\frac{M}{k}} \)
Ho poi fatto la considerazione che se impiega t a percorrere l'ampiezza x, impiegherà 2t ad andare da un estremità all'altra, quindi la mia risposta era:
\(\displaystyle t = 2\sqrt{\frac{M}{k}} \)
Ma so essere: \(\displaystyle t = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} \). Pensate possa arrivarmi almeno un punto dei quattro che mi dava la parte 2?
1) L'espressione della risultante delle forze applicate al corpo dalle molle
2) Il periodo delle oscillazioni che il corpo ha attorno alla posizione di equilibrio
1) La forza di richiamo Fr = -kx. In questo caso avrò due forze di richiamo, una con x positiva e una con x negativa.
FrA = -kx, FrB = -k(-x) = kx.
Prendendo come al solito l'asse delle x in direzione verso destra:
ΣF = -FrA + Frb = -(-kx) + kx = 2kx
2) ΣF = 2kx = Ma
\(\displaystyle a = \frac{2kx}{M} \)
\(\displaystyle x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^2 \)
\(\displaystyle x + \frac{1}{2}\frac{2kx}{M}t^2 = 0 \)
\(\displaystyle t^2 = -x\frac{M}{kx} \)
\(\displaystyle t^2 = -\frac{M}{k} \)
\(\displaystyle t = \sqrt{\frac{M}{k}} \)
Ho poi fatto la considerazione che se impiega t a percorrere l'ampiezza x, impiegherà 2t ad andare da un estremità all'altra, quindi la mia risposta era:
\(\displaystyle t = 2\sqrt{\frac{M}{k}} \)
Ma so essere: \(\displaystyle t = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} \). Pensate possa arrivarmi almeno un punto dei quattro che mi dava la parte 2?
Risposte
Il corpo sta in mezzo alle due molle. Quando è allontanato di $X$ dalla posizione di equilibrio, è da una parte tirato dalla molla che va in trazione e esercita la forza $-kX$ ; ed è dall'altra parte spinto dalla molla che va in compressione e esercita la stessa forza $-kX$ .
Nota che le due forze sono dirette nello stesso senso . Perciò la risultante delle due forze è :
$F = -2kX$
Per trovare l'equazione del moto , basta applicare la 2° legge della dinamica :
$Mddotx = F = -2kx$
da cui : $ddotx + (2k)/Mx = 0 $
LA soluzione è del tipo : $x(t) = A sen(\omegat + \phi) $
dove ci sono due costanti di integrazione che dipendono dalle condizioni iniziali. La pulsazione vale :
$\omega = sqrt ((2k)/M)$ , e quindi il periodo vale : $ T = (2\pi)/\omega$
Non devi pensare alle formule del moto uniformemente accelerato, qui si tratta di un moto armonico, l'accelerazione come vedi è proporzionale allo spostamento .
Nota che le due forze sono dirette nello stesso senso . Perciò la risultante delle due forze è :
$F = -2kX$
Per trovare l'equazione del moto , basta applicare la 2° legge della dinamica :
$Mddotx = F = -2kx$
da cui : $ddotx + (2k)/Mx = 0 $
LA soluzione è del tipo : $x(t) = A sen(\omegat + \phi) $
dove ci sono due costanti di integrazione che dipendono dalle condizioni iniziali. La pulsazione vale :
$\omega = sqrt ((2k)/M)$ , e quindi il periodo vale : $ T = (2\pi)/\omega$
Non devi pensare alle formule del moto uniformemente accelerato, qui si tratta di un moto armonico, l'accelerazione come vedi è proporzionale allo spostamento .
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