Massa fra due molle
Le molle hanno lunghezza a riposo trascurabile e sono tese sino ad avere lunghezze L1, L2 con una massa in equilibrio in mezzo ad esse. La massa viene spostata a destra di una quantità Ao. Trovare l'equazione del moto della massa rispetto alla sua posizione di equilibrio.
All'inizio acc=0 quindi $ k_1l_1=k_2l_2 $ e x=0.
L'equazione delle forze è
$ ma=k_2(l_2-x)-k_1(l_1+x) $ da cui
$ x=A_ocos(sqrt((k_1+k_2)/m)*t) $ .
Se la mia risoluzione è corretta, questo era il classico problema delle molle in serie (anche se la massa non sta alla fine della serie), siete d'accordo?
Risposte
Ciao, spero di poterti aiutare e non dire cavolate 
Allora, il testo ci da come prima informazione che
$K_1L_1 = K_2L_2 \rarr K_1 = (L_2)/(L_1)K_2$
Ora, sfruttando come dicevi tu il secondo principio della dinamica
$ma = K_1(L_1+x) -K_2(L_2-x)$
Dalla relazione precedente si ha
$[(dx)/(dt)]^2=-K_2/m(1+L_2/L_1)x$
Ma allora
$(dx)/(dt) = (iomegasqrt(1+phi))x$
Dove $K_2/m = omega^2$
$L_2/L_1 = phi$
Allora risolvendo si ha $ln(x) = iomegasqrt(1+phi)+c$
$x(t) = lambdae^(iomegasqrt(1+phi))$
Con l'identità di Eulero e considerando che il moto è reale si ha
$x(t) = lambdacos(omegasqrt(1+phi)t)$
Imponendo la condizione iniziale si ha che $lambda = A_0$
Allora $x(t) = A_0cos(omegasqrt(1+phi)t)$
Edit: avevo scritto $omega$ dove intendevo $omega^2$
Allora, il testo ci da come prima informazione che
$K_1L_1 = K_2L_2 \rarr K_1 = (L_2)/(L_1)K_2$
Ora, sfruttando come dicevi tu il secondo principio della dinamica
$ma = K_1(L_1+x) -K_2(L_2-x)$
Dalla relazione precedente si ha
$[(dx)/(dt)]^2=-K_2/m(1+L_2/L_1)x$
Ma allora
$(dx)/(dt) = (iomegasqrt(1+phi))x$
Dove $K_2/m = omega^2$
$L_2/L_1 = phi$
Allora risolvendo si ha $ln(x) = iomegasqrt(1+phi)+c$
$x(t) = lambdae^(iomegasqrt(1+phi))$
Con l'identità di Eulero e considerando che il moto è reale si ha
$x(t) = lambdacos(omegasqrt(1+phi)t)$
Imponendo la condizione iniziale si ha che $lambda = A_0$
Allora $x(t) = A_0cos(omegasqrt(1+phi)t)$
Edit: avevo scritto $omega$ dove intendevo $omega^2$
"caffeinaplus":
Ciao, spero di poterti aiutare e non dire cavolate
Allora, il testo ci da come prima informazione che
$K_1L_1 = K_2L_2 \rarr K_1 = (L_2)/(L_1)K_2$
Ora, sfruttando come dicevi tu il secondo principio della dinamica
$ma = K_1(L_1+x) -K_2(L_2-x)
$
Penso tu abbia invertito i segni perchè il richiamo della molla 1 è discorde con l'accelerazione fissata positiva verso destra.
Ora: $ K_1L_1-K_2L_2=0 $ quindi la tua equazione, coincidente con la mia (a parte i segni) va semplificata. I tuoi strani calcoli successivi mi sembrano dunque frutto di una svista.
Ciao,
allora mi sono portato un errore di segno ma il succo non penso cambi.
Sappiamo che $K_1=-K_2L_2/L_1$
Dato che in condizione di equilibrio agiscono in versi opposti.
Allora, spostato il sistema di $A_0$ verso destra si ha che l'accelerazione del sistema è verso sinistra, visto che la molla 1 è stata ulteriormente dilatata e vorrebbe tornare a sinistra, la molla 2 è stata contratta e quindi spinge verso sinistra per ritornare all'equilibrio.
Ecco che allora
$ma = k_2(L_2-x) + k_1(L_1+x)$
ma allora
$ma=k_2(L_2-x) -k_2L_2/L_1(L_1+x)$
$ma=k_2L_2 -k_2x -k_2L_2 -k_2L_2/L_1x=-k_2x(1+L_2/L_1)$
Quindi a questo punto bisogna risolvere la stessa equazione differenziale che avevo già postato nel messaggio precedente
Comunque facendo la sostituzione si arriva poi che
$x(t) = A_0cos(sqrt((k_2-k_1)/m)*t)$
Che non mi sembra neanche tanto irragionevole, dato che $L_2 != L_1$ si avrà che superata la posizione di equilibrio le molle inizieranno a remarsi contro.
In ogni caso, è un caso che non ho mai affrontato prima, quindi accetto volentieri la smentita se mostri per intero il tuo ragionamento
allora mi sono portato un errore di segno ma il succo non penso cambi.
Sappiamo che $K_1=-K_2L_2/L_1$
Dato che in condizione di equilibrio agiscono in versi opposti.
Allora, spostato il sistema di $A_0$ verso destra si ha che l'accelerazione del sistema è verso sinistra, visto che la molla 1 è stata ulteriormente dilatata e vorrebbe tornare a sinistra, la molla 2 è stata contratta e quindi spinge verso sinistra per ritornare all'equilibrio.
Ecco che allora
$ma = k_2(L_2-x) + k_1(L_1+x)$
ma allora
$ma=k_2(L_2-x) -k_2L_2/L_1(L_1+x)$
$ma=k_2L_2 -k_2x -k_2L_2 -k_2L_2/L_1x=-k_2x(1+L_2/L_1)$
Quindi a questo punto bisogna risolvere la stessa equazione differenziale che avevo già postato nel messaggio precedente
Comunque facendo la sostituzione si arriva poi che
$x(t) = A_0cos(sqrt((k_2-k_1)/m)*t)$
Che non mi sembra neanche tanto irragionevole, dato che $L_2 != L_1$ si avrà che superata la posizione di equilibrio le molle inizieranno a remarsi contro.
In ogni caso, è un caso che non ho mai affrontato prima, quindi accetto volentieri la smentita se mostri per intero il tuo ragionamento
La molla 2 secondo me non spinge verso sinistra. É stirata e quindi vuole andare verso la parere destra (solo che tale forza di richiamo é meno intensa rispetto all'equilibrio iniziale). Dovrebbe intervenire qualcuno più esperto e dire la sua. Speriamo. Sostanzialmente i nostri risultati differiscono nel fatto che io sommo e tu sottrai le costanti elastiche. COMUNQUE sul mio libro é presente il caso in cui K1=K2 (per il resto tutto é uguale, tranne il fatto che le lunghezze a riposo non sono nulle, ma la cosa non é importante) e il risultato é $ x=A_ocos(sqrt((2k)/m)*t) $ il che suggerisce, a mio avviso, che le costanti elastiche vadano in addizione.
Avevo trascurato che le lunghezze a riposo sono ... trascurabili
Allora si, il risultato anche per me è giusto.
Riporto tutti i risultati se qualcuno dovesse averne bisogno in futuro:
La relazione di partenza è sempre $k_1 = -k_2L_2/L_1$
Ora, se diciamo $x$ la modifica TOTALE della molla e considerando che la lunghezza a riposo delle molle $\rarr0$ (se cosi non fosse stato avremmo avuto la situazione su cui mi ero fissato
) e che quindi agiscono in direzione opposta avremo che ( senza supporre una particolare direzione di $a$ )
$ma = k_2(L_2-x) -k_1(x-L_1) \Rightarrow k_2(L_2-x)+k_2L_2/L_1(x-L_1)$
$\Rightarrow ma= k_2L_2 -k_2x +k_2xL_2/L_1 -k_2L_2 \Rightarrow a = -k_2/mx(1-L_2/L_1)$
A questo punto detti $k_2/m = w^2$ e $(1-L_2/L_1)=phi^2$ si ha
$[(dx)/(dt)]^2 = -w^2phi^2x \Rightarrow (dx)/(dt) = iwphix \Rightarrow lnx = iwphit +c $
$\Rightarrow x(t) = lambdae^(iwphit)$
Dato che il moto che ci interessa si svolge nel piano reale e con l'identità di Eulero
$x(t) = lambdacos(wphit)$
Sappiamo che $x(0) = A_0 \Rightarrow lambda=A_0$
Quindi
$x(t) = A_0cos(sqrt(k_2/m)*sqrt(1-L_2/L_1))t) \Rightarrow x(t)=A_0cos(sqrt((k_1+k_2)/m)t)$
Quindi si, le molle si comportano come fossero in parallelo.
Beh, comunque nell'altro mio post a chi dovesse servire può trovare il caso in cui le due molle sono in partenza a riposo
Allora si, il risultato anche per me è giusto.
Riporto tutti i risultati se qualcuno dovesse averne bisogno in futuro:
La relazione di partenza è sempre $k_1 = -k_2L_2/L_1$
Ora, se diciamo $x$ la modifica TOTALE della molla e considerando che la lunghezza a riposo delle molle $\rarr0$ (se cosi non fosse stato avremmo avuto la situazione su cui mi ero fissato
) e che quindi agiscono in direzione opposta avremo che ( senza supporre una particolare direzione di $a$ )$ma = k_2(L_2-x) -k_1(x-L_1) \Rightarrow k_2(L_2-x)+k_2L_2/L_1(x-L_1)$
$\Rightarrow ma= k_2L_2 -k_2x +k_2xL_2/L_1 -k_2L_2 \Rightarrow a = -k_2/mx(1-L_2/L_1)$
A questo punto detti $k_2/m = w^2$ e $(1-L_2/L_1)=phi^2$ si ha
$[(dx)/(dt)]^2 = -w^2phi^2x \Rightarrow (dx)/(dt) = iwphix \Rightarrow lnx = iwphit +c $
$\Rightarrow x(t) = lambdae^(iwphit)$
Dato che il moto che ci interessa si svolge nel piano reale e con l'identità di Eulero
$x(t) = lambdacos(wphit)$
Sappiamo che $x(0) = A_0 \Rightarrow lambda=A_0$
Quindi
$x(t) = A_0cos(sqrt(k_2/m)*sqrt(1-L_2/L_1))t) \Rightarrow x(t)=A_0cos(sqrt((k_1+k_2)/m)t)$
Quindi si, le molle si comportano come fossero in parallelo.
Beh, comunque nell'altro mio post a chi dovesse servire può trovare il caso in cui le due molle sono in partenza a riposo
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