Manovellismo. Errore in una formula.

[Antonio_80]

Nella seconda pagina del seguente esempio svolto:

ho il presentimento che ci sia un errore di stampa nella formula che il testo scrive come:

$delta = bar(OB)_0 - bar(OB) = r(1-cos theta) +l(sqrt(1-lambda^2 sen^2theta) - 1)$

Io penso che la formula corretta sia data dai seguenti passaggi:

Se
$bar(OB)_0 = r+l$
e se
$bar(OB)= r cos theta + l sqrt(1- lambda^2 sen^2 theta)$

la differenza di cui parla il testo, deve essere la seguente:

$delta = bar(OB)_0 - bar(OB) = (r+l) - (r cos theta + l sqrt(1- lambda^2 sen^2 theta))$

$delta = r+l - r cos theta - l sqrt(1- lambda^2 sen^2 theta))$

$delta = r(1- cos theta) + l(1- sqrt(1- lambda^2 sen^2 theta))$ Per me è quella giusta!

Adesso però mi chiedo, perchè il testo dice che la formula vale quanto segue

$delta =r(1-cos theta) +l(sqrt(1-lambda^2 sen^2theta) - 1)$

Chi ha ragione, io o il testo

Secondo voi, è un errore di stampa


Altra formula che non riesco a giustificare e che chiedo a voi un aiuto per capirla, è l'ultima, cioè:

comprendo il fatto che deve essere
$cos varphi = sqrt(1-lambda^2 sin^2 theta) $

ma poi quando dice che $lambda$ è nella stragrande maggioranza inferiore a $1$, porta ad approssimare la stessa formula ad
$cos varphi = sqrt(1-lambda^2 sin^2 theta) ~= 1 -(lambda^2)/(2) sin^2 theta$

ma come fa a diventare $~= 1 -(lambda^2)/(2) sin^2 theta$


Help!

P.S. Per completezza, allego anche l'ultima parte dello svolgimento:

[Shackle]

Per quanto riguarda la formula di $delta$ , hai ragione tu, ho fatto tutti i passaggi. D’altronde, è evidente che la quantità nella parentesi tonda che moltiplica $l$ deve essere positiva.
Per quanto riguarda il secondo quesito, ricorda che, quando $x$ è piccolo, si può approssimare lo sviluppo in serie:

$sqrt(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2) = \approx 1-1/2x^2$

[Antonio_80]

Ti ringrazio!

[Antonio_80]

Ho solo un ultimo dubbio sulle due formule della $V_B$ e della $a_B$, mi spiego:

Se io ho il vettore

$bar(OB) = r(cos theta + 1/(lambda) - (lambda)/(2) sen^2 theta)$

Per definizione so che se calcolo la derivata prima, ottengo la $V_B$ e se calcolo la derivata seconda ottengo la $a_B$, e non ci sono problemi ....!

Comprendo che se faccio la derivata prima del vettore, in variabili

$r(cos theta + 1/(lambda) - (lambda)/(2) sen^2 theta)$

otterrò :

$d(bar(OB))/(dt)= -r(sin theta + (lambda)/(2) sen 2 theta)$

Adesso, per quale motivo nella derivata che il testo scrive con $V_B$ compare anche la $omega$ e cioè

$d(bar(OB))/(dt)= -r omega (sin theta + (lambda)/(2) sen 2 theta)$

Se faccio fede alla definizione di velocità, so perfettamente che $V_B = omega r$, ma in termini di calcolo, se faccio la derivata del vettore così come esposto, $d(bar(OB))/(dt) = ...$, non si ha la variabile $omega$, cioè, se devo fare un calcolo puramente matematico, nella derivata di questo
$r(cos theta + 1/(lambda) - (lambda)/(2) sen^2 theta)$
non compare $omega$

Come si può giustificare la comparsa di $omega$ nella derivata prima del vettore $bar(OB)$


Per quanto riguarda l'accelerazione, so che la formula generale è:

$a_B = a_A + (d(omega))/(dt) ^^ (vec(AB)) - omega^2(vec(AB))$

e se faccio la derivata seconda del vettore $d(bar(OB))/(dt)= -r(sin theta + (lambda)/(2) sen 2 theta)$

otterrò

$(d (d(bar(OB))))/(dt)= -r(cos theta + lambda cos 2 theta)$

e allora lo stesso dubbio della velocità $V_B$ ...., come si può giustificare la seguente formula

$a_B = -r (d omega)/(dt) (sin theta + (lambda)/(2) sen 2 theta) - r omega^2 (cos theta + lambda cos 2 theta) $


E ancora un dubbio in più su questa $a_B$, perchè non compare la derivata seconda del vettore in tutte e due gli addendi della $a_B$

Cioè, perchè la formula non diventa così :

$a_B = -r (d omega)/(dt) (cos theta + lambda cos 2 theta) - r omega^2 (cos theta + lambda cos 2 theta) $

Help!

[Shackle]

Siccome $theta = theta(t) $ , quando derivi rispetto al tempo la funzione $costheta(t) $ , bisogna fare la derivata di una funzione composta :

$ d/(dt) costheta(t) = -sentheta (d\theta)/(dt) = -sentheta*omega$

e analogamente , quando calcoli la derivata seconda per trovare l'accelerazione, risulta un fattore $omega^2$ nel primo termine, e un fattore $(d\omega)/(dt)$ nel secondo termine ( vedi libro) , perchè anche $omega $ è funzione del tempo : $omega=omega(t)$ .
Quindi devi derivare il prodotto di due funzioni del tempo :

$v_B = -romega(t)* (sentheta(t) +\lambda/2sen2theta(t)) $

è tutta questione di regole di derivazione.

Hai pasticciato con le formule, i calcoli del libro sono chiari.

[Antonio_80]

E si, infatti:

$v_B = -romega(t)* (sentheta(t) +\lambda/2sen2theta(t)) $

$(d(v_B))/(dt) = -r (d(omega))/(dt)* (sentheta(t) +\lambda/2sen2theta(t)) - r omega*(cos theta (d (theta))/(dt) + lambda cos 2theta * (d (theta))/(dt))$

da cui:

$(d(v_B))/(dt) = -r (d(omega))/(dt)* (sen theta(t) +\lambda/2 sen 2theta(t)) - r omega^2*(cos theta + lambda cos 2 theta )$

Ti ringrazio!