Macchina di atwood
Salve a tutti,
Ho bisogno di un chiarimento sulla tensione ai capi del filo di una macchina di atwood.
Quando la tensione è la stessa ai due capi e quando no?
Dipende forse dal fatto che si considera carrucola di massa trascurabile o non trascurabile?
Purtroppo nel mio testo questo argomento non è chiarissimo: nei primi capitoli introduttivi sulla dinamica ,negli esercizi sulla macchina di atwood,ma non solo, anche in quelli dove c'è una carucola soltanto, le tensioni ai capi del filo sono poste uguali e cosi ho risolto in questo modo tutti gli esercizi.
Nei capitoli successivi ,quelli in cui si affrontano problemi di rotolamento e si introducono i concetti di momento di una forza ecc.., allora le tensioni sono considerate diverse da un capo all'altro del filo.Qual è il motivo preciso?
Ho bisogno di un chiarimento sulla tensione ai capi del filo di una macchina di atwood.
Quando la tensione è la stessa ai due capi e quando no?
Dipende forse dal fatto che si considera carrucola di massa trascurabile o non trascurabile?
Purtroppo nel mio testo questo argomento non è chiarissimo: nei primi capitoli introduttivi sulla dinamica ,negli esercizi sulla macchina di atwood,ma non solo, anche in quelli dove c'è una carucola soltanto, le tensioni ai capi del filo sono poste uguali e cosi ho risolto in questo modo tutti gli esercizi.
Nei capitoli successivi ,quelli in cui si affrontano problemi di rotolamento e si introducono i concetti di momento di una forza ecc.., allora le tensioni sono considerate diverse da un capo all'altro del filo.Qual è il motivo preciso?
Risposte
No, No. Al contrario di altri, non ho problemi ad ammettere, che se approcciato con la Fisica I e' come dite voi (e ho chiesto diverse volte di vedere il testo, dal momento che non apro un libro di Fisica da 30anni). Era un silenzio-assenso, visto i quintali di posts, non volevo aggiungere.
Dove parlo di a infinita? Infinito e' un concetto da cui tendo a stare molto alla larga; possibile che mi sia sfuggito, nell'eccitazione del momento, di parlare di accelerazione infinita?
Dove parlo di a infinita? Infinito e' un concetto da cui tendo a stare molto alla larga; possibile che mi sia sfuggito, nell'eccitazione del momento, di parlare di accelerazione infinita?
"professorkappa":
No, No. Al contrario di altri, non ho problemi ad ammettere, che se approcciato con la Fisica I e' come dite voi
Non vuol dire niente dire che "se approcciato con la Fisica I allora è come dite voi". Anzi così sembra che quello che hai detto tu è più generale di quello che negli ultimi messaggi abbiamo tentato di puntualizzare io e navigatore, e questo non corrisponde al vero.
Ormai forse è del tutto inutile continuare la discussione a beneficio di altri utenti che potrebbero essere stati confusi, visto che, dopo tutti questi commenti, probabilmente quasi nessuno avrà continuato a leggere. Tuttavia vorrei che fosse ribadito in maniera chiara quanto segue.
Una volta che l'attrito statico sia sufficiente a far aderire il filo alla carrucola allora se agli estremi del filo che passa sulla carrucola (di momento di inerzia $I$) sono appese due masse ($m_1$ e $m_2$) vale il sistema:
$m_1g-T_1=m_1a$
$T_2-m_2g=m_2a$
$(T_1-T_2)r=Ia/r$
in cui l'attrito non entra esplicitamente.
Questo sistema rimane valido anche al limite della massa della carrucola (cioè del suo momento di inerzia) tendente a zero, posto che il filo aderisca alla carrucola. Se la massa della carrucola tende a zero si vede che le tensioni del filo dalle due parti diventano uguali.
Tutto ciò non è per nulla in contrasto con l'osservazione che in generale, per massa della carrucola non nulla, la tensione del filo che si avvolge sulla carrucola passa dal valore $T_1$ al valore $T_2$ con una certa legge legata al coefficiente di attrito statico.
"professorkappa":
Dove parlo di a infinita? Infinito e' un concetto da cui tendo a stare molto alla larga; possibile che mi sia sfuggito, nell'eccitazione del momento, di parlare di accelerazione infinita?
Hai detto questo.
"professorkappa":
Ma se c'e' attrito e la massa e' trascurabile le tensioni sono diverse. Semplicemente, in virtu' di una I molto piccola, l'accelerazione angolare del disco e' alta
A parte che la prima affermazione è sbagliata, dire che se $I$ è piccola $a$ diventa alta equivale a dire che al tendere di $I$ a zero $a$ tende ad infinito il che non è.
E comunque non è vero neanche che se $I$ è piccola $a$ diventa grande, visto che il valore di $a$ sarebbe legato alla differenza tra le masse $m_1$ e $m_2$.
@ Faussone.
Ti ho dato ragione, sia a te che a navigatore; nell'equazione di momento alla carrucola manca il termine di attrito, che nella Fisica elementare e' ignorato e che' invece responsbile per la rotazione della carrucola.
Quindi andrebbe aggiunto un termine \( \int_{0}^{\vartheta } f_aR d\vartheta \) che tiene conto del momento delle forze d'attrito sulla carrucola. A memoria (ma non prenderlo come oro colato, perche' non ho i libri sottomano per controllare, e non mi va di sviluppare i conti che ricordo erano complicati, con integrazioni che ora mi farebbero diventare piu' matto di 30 anni fa e tra l'atro ora sono in fila in ospedale e scrivo dal lap in attesa di Dottor Aggius Tamilanka, quindi non potrei cmq).
\( f_a(\vartheta )=\frac{\mu T_1e^{2\mu}}{D}[Asin\vartheta+Bcos\vartheta ]+C \) o qualcosa del genere, non mi ricordo A. B e C e potrebbe esserci qualcos'altro in mezzo.
Sarebbe interessante ricalcolarsela.
Ti ho dato ragione, sia a te che a navigatore; nell'equazione di momento alla carrucola manca il termine di attrito, che nella Fisica elementare e' ignorato e che' invece responsbile per la rotazione della carrucola.
Quindi andrebbe aggiunto un termine \( \int_{0}^{\vartheta } f_aR d\vartheta \) che tiene conto del momento delle forze d'attrito sulla carrucola. A memoria (ma non prenderlo come oro colato, perche' non ho i libri sottomano per controllare, e non mi va di sviluppare i conti che ricordo erano complicati, con integrazioni che ora mi farebbero diventare piu' matto di 30 anni fa e tra l'atro ora sono in fila in ospedale e scrivo dal lap in attesa di Dottor Aggius Tamilanka, quindi non potrei cmq).
\( f_a(\vartheta )=\frac{\mu T_1e^{2\mu}}{D}[Asin\vartheta+Bcos\vartheta ]+C \) o qualcosa del genere, non mi ricordo A. B e C e potrebbe esserci qualcos'altro in mezzo.
Sarebbe interessante ricalcolarsela.
Mi riprometto che questo è l'ultimo intervento mio qui, contrariamente a quello che dici vedo che ti è impossibile ammettere esplicitamente e chiaramente alcuni concetti che a questo punto dovrebbero essere assodati.
Sono molto deluso
Prima mi dai ragione e poi ribadisci l'opposto di quello che ho sottolineato io, proprio non capisco.
Non è vero che nella trattazione di "Fisica elementare" (cosa sarebbe secondo te la Fisica elementare poi non sono sicuro di averlo capito), manca il termine di attrito nell'equazione del momento: nelle ipotesi di attrito statico sufficiente a che il filo aderisce alla carrucola (e nell'ipotesi di massa del filo trascurabile, filo inestensibile, carrucola di forma perfettamente cilindrica, ecc) valgono le equazioni scritte prima, e nessun termine aggiuntivo è richiesto. Non so come altro ridirlo.
E' necessario introdurre esplicitamente il fattore di attrito e introdurre quel termine solo se si vogliono fare delle considerazioni aggiuntive di altro tipo come: trovare come varia la tensione del filo sulla carrucola con l'angolo di avvolgimento $theta$; trovare quanto debba essere il coefficiente di attrito statico minimo affinché la corda aderisca alla carrucola senza strisciare; trovare come varia la velocità angolare della carrucola nel caso in cui la corda striscia sulla carrucola con coefficiente di attrito dinamico noto ...e altri casi del genere.
Comunque il contesto iniziale non presupponeva nessuna di queste situazioni.
Sono molto deluso
"professorkappa":
@ Faussone.
Ti ho dato ragione, sia a te che a navigatore; nell'equazione di momento alla carrucola manca il termine di attrito, che nella Fisica elementare e' ignorato e che' invece responsbile per la rotazione della carrucola.
Quindi andrebbe aggiunto un termine \( \int_{0}^{\vartheta } f_aR d\vartheta \) che tiene conto del momento delle forze d'attrito sulla carrucola.
Prima mi dai ragione e poi ribadisci l'opposto di quello che ho sottolineato io, proprio non capisco.
Non è vero che nella trattazione di "Fisica elementare" (cosa sarebbe secondo te la Fisica elementare poi non sono sicuro di averlo capito), manca il termine di attrito nell'equazione del momento: nelle ipotesi di attrito statico sufficiente a che il filo aderisce alla carrucola (e nell'ipotesi di massa del filo trascurabile, filo inestensibile, carrucola di forma perfettamente cilindrica, ecc) valgono le equazioni scritte prima, e nessun termine aggiuntivo è richiesto. Non so come altro ridirlo.
E' necessario introdurre esplicitamente il fattore di attrito e introdurre quel termine solo se si vogliono fare delle considerazioni aggiuntive di altro tipo come: trovare come varia la tensione del filo sulla carrucola con l'angolo di avvolgimento $theta$; trovare quanto debba essere il coefficiente di attrito statico minimo affinché la corda aderisca alla carrucola senza strisciare; trovare come varia la velocità angolare della carrucola nel caso in cui la corda striscia sulla carrucola con coefficiente di attrito dinamico noto ...e altri casi del genere.
Comunque il contesto iniziale non presupponeva nessuna di queste situazioni.
Scusa la tarda risposta, in questi giorni non va tanto bene...
Non essere deluso, si puo' continuare ad libitum, basta continuare su questa di linea di rispetto e chiarirsi.
Su questo ti do ragione perfettamente. Nulla da aggiungere a parte un chiarimento richiesto: Fisica I (fisica elementare) si rifa a un post di navigatore
Pensavo di mutuare il termine in modo da non ingenerare confusione.
Quindi nel caso sopra di "fisica elementare", mi sembra tutto assodato e chiaro perche gia' usato.
Il punto che cercavo di proporre io
corroborato dal post successivo di navigatore scritto piu' sopra, e' che in generale, a una trattazione piu' "avanzata" e' l'attrito che fa modificare la tensione sulle corde.
Vediamo se ricapitoliamo, e correggimi se sbaglio:
Nel caso trattato nei testi di Fisica I, valgono quelle 3 famose equazioni, che per massa carrucola trascurabile, portano a $T_1$=$T_2$
Se invece elaboriamo oltre la trattazione sopra, l'equazione di momento va sostituita con
\( C = R\int_{0}^{\bar{\vartheta } } f_a(\vartheta , \mu ,T_1, T_2, R)\, Rd\vartheta=\frac{Ia}{R} \), dove $f_a$ e' l'attrito "specifico" (cioe' l'attrito agente sulla carrucola da parte di una particella di corda infinitesima), che integrato su tutto l'arco di avvolgimento, fornisce il momento delle forze di attrito agenti sulla carrucola.
Noto questo valore, che sara funzione di $T_1$ e $T_2$, e' possibile ricavare, $a$, $T_1$ e $T_2$
Fila?
"Faussone":
Mi riprometto che questo è l'ultimo intervento mio qui, contrariamente a quello che dici vedo che ti è impossibile ammettere esplicitamente e chiaramente alcuni concetti che a questo punto dovrebbero essere assodati.
Sono molto deluso
Non essere deluso, si puo' continuare ad libitum, basta continuare su questa di linea di rispetto e chiarirsi.
"Faussone":
Prima mi dai ragione e poi ribadisci l'opposto di quello che ho sottolineato io, proprio non capisco.
Non è vero che nella trattazione di "Fisica elementare" (cosa sarebbe secondo te la Fisica elementare poi non sono sicuro di averlo capito), manca il termine di attrito nell'equazione del momento: nelle ipotesi di attrito statico sufficiente a che il filo aderisce alla carrucola (e nell'ipotesi di massa del filo trascurabile, filo inestensibile, carrucola di forma perfettamente cilindrica, ecc) valgono le equazioni scritte prima, e nessun termine aggiuntivo è richiesto. Non so come altro ridirlo.
Su questo ti do ragione perfettamente. Nulla da aggiungere a parte un chiarimento richiesto: Fisica I (fisica elementare) si rifa a un post di navigatore
"navigatore":
La dicitura fisica elementare tratta la questione in maniera "elementare", la meccanica delle macchine dice qualcosa in più. L'attrito tra fune e puleggia c'è , in quanto impedisce alla fune di scivolare sulla gola della puleggia. Ma in fisica elementare non lo si prende in considerazione.
Pensavo di mutuare il termine in modo da non ingenerare confusione.
Quindi nel caso sopra di "fisica elementare", mi sembra tutto assodato e chiaro perche gia' usato.
Il punto che cercavo di proporre io
"professorkappa":,
La confusione nasce dal fatto che i testi di fisica parlano di massa trascurabile e implicitamente di attrito trascurabile, ergo T1=T2, ma quest'ultima eguaglianza nasce dal trascurare l'attrito, non la massa.
corroborato dal post successivo di navigatore scritto piu' sopra, e' che in generale, a una trattazione piu' "avanzata" e' l'attrito che fa modificare la tensione sulle corde.
Vediamo se ricapitoliamo, e correggimi se sbaglio:
Nel caso trattato nei testi di Fisica I, valgono quelle 3 famose equazioni, che per massa carrucola trascurabile, portano a $T_1$=$T_2$
Se invece elaboriamo oltre la trattazione sopra, l'equazione di momento va sostituita con
\( C = R\int_{0}^{\bar{\vartheta } } f_a(\vartheta , \mu ,T_1, T_2, R)\, Rd\vartheta=\frac{Ia}{R} \), dove $f_a$ e' l'attrito "specifico" (cioe' l'attrito agente sulla carrucola da parte di una particella di corda infinitesima), che integrato su tutto l'arco di avvolgimento, fornisce il momento delle forze di attrito agenti sulla carrucola.
Noto questo valore, che sara funzione di $T_1$ e $T_2$, e' possibile ricavare, $a$, $T_1$ e $T_2$
Fila?
Ehi, ProfK, Faussone, non mi mettete altre croci addosso, ne ho già una !
"navigatore":
Ehi, ProfK, Faussone, non mi mettete altre croci addosso, ne ho già una !
che t'hanno fatto? Guarda, non puo' andare peggio di me. Mi sono beccato un calcio da un cavallo e ho un' anca a pezzi.Le botte e risposte qui sono un divertimento!
Vorrei sapere che mestiere fai, in mezzo ai cavalli….cosa sei, un ingegnere equestre 
?
Che mi hanno fatto? Niente di importante, questioni relative …..quisquilie e pinzillacchere !
? Che mi hanno fatto? Niente di importante, questioni relative …..quisquilie e pinzillacchere !
"professorkappa":
Scusa la tarda risposta, in questi giorni non va tanto bene...
Mi spiace.
"professorkappa":
Vediamo se ricapitoliamo, e correggimi se sbaglio:
Nel caso trattato nei testi di Fisica I, valgono quelle 3 famose equazioni, che per massa carrucola trascurabile, portano a $T_1$=$T_2$
Se invece elaboriamo oltre la trattazione sopra, l'equazione di momento va sostituita con
\( C = R\int_{0}^{\bar{\vartheta } } f_a(\vartheta , \mu ,T_1, T_2, R)\, Rd\vartheta=\frac{Ia}{R} \), dove $f_a$ e' l'attrito "specifico" (cioe' l'attrito agente sulla carrucola da parte di una particella di corda infinitesima), che integrato su tutto l'arco di avvolgimento, fornisce il momento delle forze di attrito agenti sulla carrucola.
Noto questo valore, che sara funzione di $T_1$ e $T_2$, e' possibile ricavare, $a$, $T_1$ e $T_2$
Fila?
Va molto meglio visto che hai usato il verbo sostituire invece di aggiungere come in precedenza, ma ancora non va bene del tutto (sono un rompiscatole perdonami, ma sono fatto così..
).Ti faccio una domanda: supponi che svolgendo l'integrale sopra, la differenza tra $T_1$ e $T_2$ venga più grande della differenza che otterresti risolvendo il sistema di 3 equazioni che abbiamo richiamato più volte e che vale in caso di attrito statico tale che il filo non scorra rispetto alla carrucola. Cosa ne dedurresti? E se invece tale integrale fosse minore di $T_1-T_2$ cosa ne dedurresti?
Eh, ma qui uno scrive, gia' si fa fatica, a volte la precisione soffre per la fatica di scrivere.
La domanda che poni. Se hai gia' la risposta, non mi far durare fatica. Anche perche si entra davvero nella teoria delle cinghie.
Se invece ci vogliamo ragionare, allora continuiamo, tanto ora la discussione non interessa agli altri, e' solo una chiaccherata inter nos.
@navigatore. Sono Ing. Mecc.
Ma addestro cavalli da endurance. 4 settimane, uno di loro si e' spaventato e me l ha fatto capire con un calcione. Anca a pezzi, sono bloccato per altre 3 o 4 settimane almeno
Come diceva mio nonno, allevatore di cavalli, buonanima: passa sempre davanti ai cavalli, dietro ai cannoni e stai lontano dai generali..........
La domanda che poni. Se hai gia' la risposta, non mi far durare fatica. Anche perche si entra davvero nella teoria delle cinghie.
Se invece ci vogliamo ragionare, allora continuiamo, tanto ora la discussione non interessa agli altri, e' solo una chiaccherata inter nos.
@navigatore. Sono Ing. Mecc.
Ma addestro cavalli da endurance. 4 settimane, uno di loro si e' spaventato e me l ha fatto capire con un calcione. Anca a pezzi, sono bloccato per altre 3 o 4 settimane almeno
Come diceva mio nonno, allevatore di cavalli, buonanima: passa sempre davanti ai cavalli, dietro ai cannoni e stai lontano dai generali..........
Maneggiare i cavalli vapore, specie sulla carta è meno pericoloso dei cavalli è basta 
Va be' allora, se non hai tanta voglia mi rispondo da solo, l'intenzione era quella di incuriosirti e farti precisare qualche altra cosa rispetto a ciò che hai scritto.
Innanzitutto, scrivendo l'equazione di equilibrio per un elemento di corda a me risulta che debba essere $T_2/T_1=e^{mu (theta_2-theta_1)}$ con $mu$ coefficiente di attrito. Comunque non è questo quello che mi premeva sottolineare.
Quello che volevo far notare è che nel caso il $T_2-T_1$ calcolato con quell'esponenziale sia maggiore del $T_2-T_1$ calcolato con il sistema di 3 equazioni che abbiamo scritto più volte, allora si deduce che l'attrito è sufficiente a che il filo aderisca alla puleggia, ma la vera differenza tra tensioni è quella che viene dal sistema, l'attrito statico infatti non può essere maggiore di quella necessario ad avere aderenza.
In un caso del genere si può pensare che basterebbe anche che l'attrito si esercitasse su un angolo di contatto inferiore con la puleggia a far sì che ci sia aderenza.
Nel caso invece che la differenza con l'esponenziale sia inferiore a $T_2-T_1$ calcolato dal sistema, allora la puleggia rimarrebbe indietro rispetto al filo che striscia sulla puleggia. In tal caso per scrivere la variazione dell'angolo della puleggia col tempo occorrerebbe sì aggiungere l'equazione con l'esponenziale alle equazioni del sistema (non c'è più infatti il legame diretto tra accelerazione delle masse e accelerazione angolare della puleggia).
Va be' allora, se non hai tanta voglia mi rispondo da solo, l'intenzione era quella di incuriosirti e farti precisare qualche altra cosa rispetto a ciò che hai scritto.
Innanzitutto, scrivendo l'equazione di equilibrio per un elemento di corda a me risulta che debba essere $T_2/T_1=e^{mu (theta_2-theta_1)}$ con $mu$ coefficiente di attrito. Comunque non è questo quello che mi premeva sottolineare.
Quello che volevo far notare è che nel caso il $T_2-T_1$ calcolato con quell'esponenziale sia maggiore del $T_2-T_1$ calcolato con il sistema di 3 equazioni che abbiamo scritto più volte, allora si deduce che l'attrito è sufficiente a che il filo aderisca alla puleggia, ma la vera differenza tra tensioni è quella che viene dal sistema, l'attrito statico infatti non può essere maggiore di quella necessario ad avere aderenza.
In un caso del genere si può pensare che basterebbe anche che l'attrito si esercitasse su un angolo di contatto inferiore con la puleggia a far sì che ci sia aderenza.
Nel caso invece che la differenza con l'esponenziale sia inferiore a $T_2-T_1$ calcolato dal sistema, allora la puleggia rimarrebbe indietro rispetto al filo che striscia sulla puleggia. In tal caso per scrivere la variazione dell'angolo della puleggia col tempo occorrerebbe sì aggiungere l'equazione con l'esponenziale alle equazioni del sistema (non c'è più infatti il legame diretto tra accelerazione delle masse e accelerazione angolare della puleggia).
"Faussone":.
Maneggiare i cavalli vapore, specie sulla carta è meno pericoloso dei cavalli è basta
Indeed, my friend. My hips dont lie.
"Faussone":
Innanzitutto, scrivendo l'equazione di equilibrio per un elemento di corda a me risulta che debba essere $T_2/T_1=e^{mu (theta_2-theta_1)}$ con $mu$ coefficiente di attrito. Comunque non è questo quello che mi premeva sottolineare.
E' uguale, dipende da quale estremita guardi della fune. Se parti dalla estremita' "motrice", la tensione scende $T_2/T_1=e^{-mu (theta_2-theta_1)}$. Sale invece $T_2/T_1=e^{mu (theta_2-theta_1)}$ se $T_1$ e' l'estremita resistente.
"Faussone":
Quello che volevo far notare è che nel caso il $T_2-T_1$ calcolato con quell'esponenziale sia maggiore del $T_2-T_1$ calcolato con il sistema di 3 equazioni che abbiamo scritto più volte, allora si deduce che l'attrito è sufficiente a che il filo aderisca alla puleggia, ma la vera differenza tra tensioni è quella che viene dal sistema, l'attrito statico infatti non può essere maggiore di quella necessario ad avere aderenza.
In un caso del genere si può pensare che basterebbe anche che l'attrito si esercitasse su un angolo di contatto inferiore con la puleggia a far sì che ci sia aderenza.
Nel caso invece che la differenza con l'esponenziale sia inferiore a $T_2-T_1$ calcolato dal sistema, allora la puleggia rimarrebbe indietro rispetto al filo che striscia sulla puleggia. In tal caso per scrivere la variazione dell'angolo della puleggia col tempo occorrerebbe sì aggiungere l'equazione con l'esponenziale alle equazioni del sistema (non c'è più infatti il legame diretto tra accelerazione delle masse e accelerazione angolare della puleggia).
[/quote]
Correct. Ragionamento fila.
A me pero' era rimasto il tarlo di calcolare le $T_1$ e $T_2$ nel caso reale. Ho fatto un po' di conti, e la vostra assistenza e' preziosa per stabilirne l'esattezza (se vi va) - magari anche qui salta qualche segno che porta a conclusioni errate, come mi e' gia' capitato.
Allora, per semplicita', supponiamo la massa del peso di destra sia M e quella di sinistra m. Supponiamo che M>m, di modo che lo spezzone della corda di destra sia quella "motrice".
Equazioni di equilibrio, ormai assodate:
[size=150]$Mg-T_1=Ma$
$T_2-mg=ma$.[/size]
La corda puo', in condizioni generali, scivolare sulla carrucola. In buona sostanza, l'accelerazione dei blocchi $a$ e' pertanto data da:
[size=150] \( a=a_r + a_t = a_r + \alpha R \) [/size] con [size=150]$a_r$[/size] accelerazione relativa dei blocchi rispetto alla carrucola e [size=150]\( \alpha \)[/size] accelerazione angolare della carrucola che supponiamo abbia momento d'inerzia I.
Per l'accelerazione relativa, deve risultare, analogamente a quanto sopra, che
[size=150]$Mg-T_{1r}=Ma_r$
$T_{2r}-mg=ma_r$.[/size]
la relazione che lega $T_{1r}$ a $T_{2r}$ e' (ricordando che l tensione diminuisce esponenzialmente da 1 a 2 per via dell'attrito)
[size=150] \( T_{2r}=T_{1r}e^{-\mu _d\pi } \) [/size] con \( {\mu _d\pi } \) rendono conto del coefficiente d'attrito dinamico ed angolo di avvolgimento della corda.
Risolvendo si trova che
[size=150] \( a_r=\frac{Me^{-\mu _d\pi }-m}{Me^{-\mu _d\pi}+m}g \)[/size]
Per trovare $a_t$, basta considerare il caso di rotolamento senza strisciamento della fune-carrucola. Allora vale il sistema
[size=150]$Mg-T_{1t}=Ma_t$
$T_{2t}-mg=ma_t$
\( (T_{1t}-T_{2t})R = I \alpha = I\frac{a_t}{R} \) [/size]
risolvendo si ha
[size=150] \( a_t=\frac{(M-m)R^2}{R^2(M+m)+I}g \) [/size]
Dal primo sistema si trova che
[size=150] \( T_1=Mg-Ma=Mg-M(a_r+a_t)= \)
\( =Mg-Mg(\frac{Me^{-\mu _d\pi }-m}{Me^{-\mu _d\pi}+m} + \frac{(M-m)R^2}{R^2(M+m)+I} ) \) [/size]
e
[size=150]\( T_2=ma+mg=m(a_r+a_t)+mg= \)
\( = mg(\frac{Me^{-\mu _d\pi }-m}
{Me^{-\mu _d\pi}+m}+\frac{(M-m)R^2}{R^2(M+m)+I}) +mg \)[/size]
Adesso, dovrebbe essere corretto formalmente il fatto che anche quando I=0 (cioe' quando la carrucola ha massa trascurabile), le due maledette tensioni sono diverse.
La relazione sopra e' valida naturalmente se [size=150] \( Me^{-\mu _d\pi }-m>=0 \) [/size] Cioe' a parita di coefficiente d'attrito se il rapporto \( \frac{M}{m}>e^{\mu _d\pi} \). Se quest'ultima condizione non e' verificata, il primo addendo tra parentesi si annulla (non puo' esserci strisciamento negativo, $a_r$ deve essere sempre >0 o al limite nulla)
La trattazione ancora piu' precisa che si fa (spero ancora) nel corso di Progettazione di Macchine di ingegneria e' fatta per le cinghie di trasimissione, pertanto tiene conto anche della massa e dell'elasticita' della cinghia e della forza centrifuga (per potenze alte, le velocita' in gioco sono rilevanti e la forza centrifuga non sempre si puo' trascurare).
Valori di \( \mu _d \) tipici variano tra 0.2 e 0.45 a seconda dei materiali.
Mi pare che abbiamo sviscerato il problema fino in fondo, piu' di tanto non mi pare si possa aggiungere. Anche se non sono temi di Fisica I, mi pare che qui i ragazzi siano molto curiosi. Chi legge il post puo' trarre spunti interessanti e arrivare a PdM con un bagaglio un po' piu' nutrito.
Anche e soprattutto per via della discussione animata che e' nata da una domanda apparentemente innocua.
Alla prossima
PK
"professorkappa":
E' uguale, dipende da quale estremita guardi della fune. Se parti dalla estremita' "motrice", la tensione scende $T_2/T_1=e^{-mu (theta_2-theta_1)}$. Sale invece $T_2/T_1=e^{mu (theta_2-theta_1)}$ se $T_1$ e' l'estremita resistente.
Certo ma in non l'ho precisato per quello, l'ho fatto perché in un tuo messaggio avevi scritto genericamente
"professorkappa":
\( C = R\int_{0}^{\bar{\vartheta } } f_a(\vartheta , \mu ,T_1, T_2, R)\, Rd\vartheta=\frac{Ia}{R} \), dove $ f_a $ e' l'attrito "specifico" (cioe' l'attrito agente sulla carrucola da parte di una particella di corda infinitesima), che integrato su tutto l'arco di avvolgimento, fornisce il momento delle forze di attrito agenti sulla carrucola.
Facendo intendere che dall'integrale si calcola la differenza tra le tensioni, e quello a me non pareva corretto, visto che c'è una dipendenza della differenza di tensioni dal raggio che invece, appunto, nella formula scritta facendo l'equilibrio dell'elemento di corda infinitesimo non c'è (e anche facendo ipotesi più complesse quell'integrale non mi sembra corretto), certo puoi intendere $f_a$ funzione del raggio e ritrovare la formulazione corretta, ma mi pare un complicare inutilmente le cose.
"professorkappa":
[...]
Correct. Ragionamento fila.
A me pero' era rimasto il tarlo di calcolare le $T_1$ e $T_2$ nel caso reale. Ho fatto un po' di conti, e la vostra assistenza e' preziosa per stabilirne l'esattezza (se vi va) - magari anche qui salta qualche segno che porta a conclusioni errate, come mi e' gia' capitato.
[...]
Adesso, dovrebbe essere corretto formalmente il fatto che anche quando I=0 (cioe' quando la carrucola ha massa trascurabile), le due maledette tensioni sono diverse.
[...]
Non so... molto probabilmente non ho letto tutto con la dovuta attenzione, ma mi pare che hai seguito una strada più complessa di quella che sia necessaria (sempre mantenendo le ipotesi che hai fatto).
Sinceramente io non ho altro da aggiungere a quello che ho scritto nel messaggio precedente, seguirei quella strada anche per il caso di filo che striscia sulla carrucola, con le precisazioni che ho fatto nel post precedente.
E comunque nel caso di carrucola di massa nulla è impossibile che il filo scivoli sulla carrucola senza aderire ad essa ed avere alla fine le tensioni dalle due parti uguali. Infatti in quel caso risolvendo il solito sistema con le ipotesi di aderenza si ottiene, come finalmente concordiamo, $T_1=T_2$ e poi dalla relazione $T_1/T_2 =e^{mu theta}$ si vede che qualunque sia il coefficiente di attrito statico maggiore di zero, un angolo $theta=0$, cioè al limite piccolo a piacere, è in grado di garantire l'aderenza ($theta$ angolo di avvolgimento). Quindi in definitiva se la massa della carrucola è nulla non c'è verso di ottenere tensioni diverse, a meno che la carrucola sia impedita a ruotare liberamente attorno al proprio asse a causa di un momento resistente, ma è una situazione diversa rispetto a quella su cui abbiamo discusso qui.
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