Lunghezza molla con teorema del coseno di Carnot

[anonymous_b7df6f]

Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo un esercizio.

Dovrei scrivere l'allungamento di una molla in funzione di altre coordinate, mi sembra di non aver sbagliato nulla, eppure il risultato è sbagliato.

Testo dell'esercizio:





Figura:




Io ho scritto l'energia potenziale del sistema nel seguente modo:

$V= -mg sqrt(2)/2 lcos(phi) + 1/2 k (|(B-E)|)^2$

Io ho scritto

$|(B-E)|^2 = (2l)^2 + l^2 - 2(2l)lcos(gamma)$

$gamma$ è l'angolo compreso tra $bar(AB)$ e $bar(AE)$

Quindi:

$V= -mg sqrt(2)/2 lcos(phi) + 1/2 k ((2l)^2 + l^2 - 2(2l)lcos(pi/2 - pi/4 - phi))$

$ rArr V= -mg sqrt(2)/2 lcos(phi) + 1/2 k ((5l^2 - 4l^2cos(pi/4 - phi))$

Questo è sbagliato, perché dalle soluzioni leggo che:

$|(B-E)|^2= 5l^2 -2sqrt(2)l^2(sin(phi)+cos(phi))$

COSA ho sbagliato nell'applicazione del teorema del coseno di carnot?

$bar(AE)$ è costante, e la sua misura è di $2l$.

$bar(AB)$ è costante, e la sua misura è $l$.

$cos(gamma)$ non è forse $cos(pi/2 - pi/4 - phi)$ ?

[Capitan Harlock1]

Non vorrei dire cavolate ,ma $ gamma $ e' come dici tu $ pi/2-(pi/4+phi) $
Il teorema di Carnot all'angolo $ hat(bae) $
e' $ cos(gamma)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)$
dove $ a=hat(ae)=2l $
$ b=hat(ab)=l$
e
$ c=hat(be)= ? $

Li non vedo errori
Però $ sin(theta)+cos(theta) $ credo di conoscerla
Il tuo risultato è giusto

[anonymous_b7df6f]

"Capitan Harlock":Non vorrei dire cavolate ,ma $ gamma $ e' come dici tu $ pi/2-(pi/4+phi) $
Il teorema di Carnot all'angolo $ hat(bae) $
e' $ cos(gamma)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)$
dove $ a=hat(ae)=2l $
$ b=hat(ab)=l$
e
$ c=hat(be)= ? $

Li non vedo errori
Però $ sin(theta)+cos(theta) $ credo di conoscerla
Il tuo risultato è giusto

Eppure il mio risultato è sbagliato.
... perché se derivo l'energia potenziale rispetto all'angolo e lo pongo uguale a zero per trovare le posizioni di equilibrio, trovo che ogni angolo è di equilibrio (se $k$ è uguale ad un certo valore).
Invece il risultato dovrebbe essere:
$phi= arctan ((2kl)/(2kl+mg))$

[Capitan Harlock1]

Cosa hai fatto dopo non lo so, in quei passaggi dove avevi dubbi errori non ci sono

[anonymous_b7df6f]

"Capitan Harlock":Cosa hai fatto dopo non lo so, in quei passaggi dove avevi dubbi errori non ci sono

Hai ragione , non c'è un errore lì. Sbagliavo dopo:

Infatti se pongo la derivata del potenziale uguale a zero ottengo che:

$V= -mg sqrt(2)/2 lcos(phi) + 1/2 k ((5l^2 - 4l^2cos(pi/4 - phi))$

$(dV)/(dphi) = +mg sqrt(2)/2 lsin(phi) -1/2 k 4l^2sin(pi/4 - phi) = 0$

che implica

$ +mg sqrt(2)/2 lsin(phi) = 1/2 k 4l^2sin(pi/4 - phi) $

...e le funzioni sinusoidali non mi si annullano. Devo usare delle relazioni trigonometriche.

[Capitan Harlock1]

Bravissimo comunque
Ciao