Livello di intensità sonora [dubbio su un esercizio]

[mathos2000]

< Trattando la sirena come una sorgente puntiforme di suono e ignorando riflessioni o assorbimenti, determina il livello di intensità udito da un osservatore alla distanza di:
a) 12 m dalla sirena
b) 21 m dalla sirena
c) A quale distanza può essere udita la sirena?>>

Ho pensato, per risolvere il problema, almeno nei primi due punti che, siccome l'intensità sia proporzionale al raggio al quadrato (piccolo dubbio: nella pratica quando ho una distanza è automaticamente il raggio o c'è da considerare qualcosa?).
Dunque considerando la formula del livello di intensità:

$ beta =(10dB)*log(I/I_o) $ $I_o= soglia di udibilità; (10^-12) (W/m^2)$

Se si è a 2 m dalla sirena il livello di intensità, come dice il testo, è 120 dB.
Se si è a 12 m dalla sirena nel rapporto logaritmico delle intensità ($log(I/I_o)$) scrivo $1/144$ in quanto dalla formula dell'intensità, se il raggio diventa 12 volte rispetto a prima, l'intensità è $1/144$, e dunque il livello di intensità cerco di trovarlo (ignorando la potenza, che è costante) in questo modo:

$ beta =(10dB)*log(1/144I/I_o) $
$ beta =(10dB)*log(1/144) $
$ beta = -21,5836 $

Sommo ora 120 dB con -21,58 ed ottengo 98,41 dB (quando dovrebbe essere 104)

Le soluzioni per tutti i quesiti sono: a) 104 dB; b) 99,6 dB c) $2,0*10^6 m$

Per il quesito c pensavo di considerare nella formula del livello di intensità una distanza 0 metri, ma non saprei come muovermi con un logaritmo di 0......

[mgrau]

"mathos2000":

Se si è a 2 m dalla sirena il livello di intensità, come dice il testo, è 120 dB.
Se si è a 12 m dalla sirena nel rapporto logaritmico delle intensità ($log(I/I_o)$) scrivo $1/144$ in quanto dalla formula dell'intensità, se il raggio diventa 12 volte rispetto a prima,

6 volte, non 12

Per il quesito c), devi trovare a che distanza l'intensità raggiunge la soglia di udibilità, cioè gli 0 dB, quindi a che distanza si sottraggono 120 dB: l'intensità si divide per $10^12$ e la distanza per $sqrt(10^12) = 10^6$