Leggi orarie relativistiche per campi elettrici
Buon pomeriggio, ho questo esercizio proveniente da un vecchio tema d'esame di relatività che mi ha dato dei problemi sui punti b e c.
Per il primo punto ho iniziato da
$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_x)=qE\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x - p_{0x}=qE(t-0)\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x=qEt+p_{0x}
$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_y)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y -p_{0y}=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y = p_{0y}$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_z)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_z = 0\ \ \ \rightarrow \ \ \ v_z=0$$
Osservo anzitutto che il moto avviene solo nel piano xy.
Quadro e sommo le due relazioni:
$$m_vx=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_x^2=\frac{(qEt)^2+p_{0x}+2qEtp_{0x}}{\gamma^2}$$$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_y^2=\frac{p_{0y}^2}{\gamma^2}$$
$$m^2(v_x^2+v_y^2)=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_{0x}^2+p_{0y}^2}{\gamma^2}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \gamma^2=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_0^2+m^2}{m^2}$$
$$\gamma=\frac 1m \sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}$$
Giusto per verificare che il risultato ottenuto sia corretto, per $t=0$, trovo la relazione:
$$\gamma=\frac {\mathcal{E}_0} m$$
Dove:
$v_x^2+v_y^2=v^2=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$
$p_{0x}^2+p_{0y}^2=p_0^2$
$\mathcal{E}_0^2=p_0^2+m^2$
Possiamo sostituire questo risultato nelle relazioni iniziali:
$$mv_x=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dx}{dt}=\frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dt}=\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
Integrando
$$x-x_0=\int_0^t dt \frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}$$
$$y-y_0=\int_0^t dt\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}$$
Trovo:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}+y_0$$
Queste due relazioni, nonostante siano espressioni così lunghe sono le leggi orarie $x(t)$ e $y(t)$.
Ho un problema nell'affrontare i punti successivi, in particolare modo il punto b.
Nel limite Newtoniano avrei che $\mathcal{E}_0 \approx m^2$, $v$ << $1$, però sostituendo questo risultato in $x(t)$ e $y(t)$ non ottengo nulla riconducibile a un limite classico... Forse è sbagliata la relazione nel punto a? Nonostante abbia riseguito i conti più volte?
In un sistema di riferimento inerziale è presente un campo elettrico $\bar E$ uniforme e costante parallelo all'asse x. Sia data una particella di carica $q$ e massa $m$ che all'istante $t=0$ si trova nel punto $\bar r_0 = (x_0, y_0, 0)$, con momento relativistico $\bar p_0 = (p_{0x}, p_{0y}, 0)$.
[list=a]
[*:2z40ohla] Risolvere le equazioni del moto relativistiche e ricavare la legge oraria, ovvero $x(t)$ e $y(t)$.[/*:m:2z40ohla]
[*:2z40ohla] Usando i risultati del punto a. derivare il limite Newtoniano della legge oraria. Commentare i risultati ottenuti.[/*:m:2z40ohla]
[*:2z40ohla] Usando i risultati del punto a. calcolare la legge oraria a grandi $t$. Commentare i risultati ottenuti.[/*:m:2z40ohla][/list:o:2z40ohla]
Per il primo punto ho iniziato da
$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_x)=qE\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x - p_{0x}=qE(t-0)\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x=qEt+p_{0x}
$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_y)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y -p_{0y}=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y = p_{0y}$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_z)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_z = 0\ \ \ \rightarrow \ \ \ v_z=0$$
Osservo anzitutto che il moto avviene solo nel piano xy.
Quadro e sommo le due relazioni:
$$m_vx=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_x^2=\frac{(qEt)^2+p_{0x}+2qEtp_{0x}}{\gamma^2}$$$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_y^2=\frac{p_{0y}^2}{\gamma^2}$$
$$m^2(v_x^2+v_y^2)=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_{0x}^2+p_{0y}^2}{\gamma^2}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \gamma^2=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_0^2+m^2}{m^2}$$
$$\gamma=\frac 1m \sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}$$
Giusto per verificare che il risultato ottenuto sia corretto, per $t=0$, trovo la relazione:
$$\gamma=\frac {\mathcal{E}_0} m$$
Dove:
$v_x^2+v_y^2=v^2=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$
$p_{0x}^2+p_{0y}^2=p_0^2$
$\mathcal{E}_0^2=p_0^2+m^2$
Possiamo sostituire questo risultato nelle relazioni iniziali:
$$mv_x=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dx}{dt}=\frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dt}=\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
Integrando
$$x-x_0=\int_0^t dt \frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}$$
$$y-y_0=\int_0^t dt\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}$$
Trovo:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}+y_0$$
Queste due relazioni, nonostante siano espressioni così lunghe sono le leggi orarie $x(t)$ e $y(t)$.
Ho un problema nell'affrontare i punti successivi, in particolare modo il punto b.
Nel limite Newtoniano avrei che $\mathcal{E}_0 \approx m^2$, $v$ << $1$, però sostituendo questo risultato in $x(t)$ e $y(t)$ non ottengo nulla riconducibile a un limite classico... Forse è sbagliata la relazione nel punto a? Nonostante abbia riseguito i conti più volte?
Risposte
Io personalmente non mi concentrerei troppo nel commentare il valore a t = 0 fornito da una espressione valida solo per t grandi.
Una particella massiva non può viaggiare a velocità c. Di conseguenza, è meglio spiegare perché ottieni questo risultato (vedi posts precedenti)
avendo premesso l'osservazione sopra - ne sei proprio sicuro?
Forse è utile fare notare il motivo per cui il moto lungo y è decelerato nonostante non agiscano forze in quella direzione.
Per il resto è un moto rettilineo uniforme che si propaga a velocità c.
Una particella massiva non può viaggiare a velocità c. Di conseguenza, è meglio spiegare perché ottieni questo risultato (vedi posts precedenti)
invece y(t) parte dalla stessa posizione iniziale
avendo premesso l'osservazione sopra - ne sei proprio sicuro?
Forse è utile fare notare il motivo per cui il moto lungo y è decelerato nonostante non agiscano forze in quella direzione.
Sì, in effetti è un po' un controsenso valutare un'espressione per $t=0$, quando l'ho ricavata per $t\rightarrow \infty$.
Per la $x(t)$, sarebbe opportuno a questo punto aggiungere anche termini del secondo ordine per mostrare che tale particella massiva, si avvicina sempre di più alla velocità limite, ma ci sarà un fattore che dipenderà sempre da $t$ che sottrarrà al termine $t$ nella $x(t)$ per $t \rightarrow +\infty$.
Dall'espressione di $y(t)$, come fai a comprendere che è decelerato? Nell'espressione di partenza, quella ricavata al punto a per capirci, non vedo molta differenza, entrambe scalano come il $\log t$.
Per giustificare questa osservazione, mi rifaccio all'articolo che hai postato, ossia che l'applicazione della forza in una direzione provoca l'accelerazione lungo tale asse e la massa aumenta, ma poiché il momenti lineare è conservato nella direzione in cui non c'è forza applicata, la velocità in quella direzione dovrebbe diminuire per mantenere un momento lineare costante.
Per la $x(t)$, sarebbe opportuno a questo punto aggiungere anche termini del secondo ordine per mostrare che tale particella massiva, si avvicina sempre di più alla velocità limite, ma ci sarà un fattore che dipenderà sempre da $t$ che sottrarrà al termine $t$ nella $x(t)$ per $t \rightarrow +\infty$.
Dall'espressione di $y(t)$, come fai a comprendere che è decelerato? Nell'espressione di partenza, quella ricavata al punto a per capirci, non vedo molta differenza, entrambe scalano come il $\log t$.
Per giustificare questa osservazione, mi rifaccio all'articolo che hai postato, ossia che l'applicazione della forza in una direzione provoca l'accelerazione lungo tale asse e la massa aumenta, ma poiché il momenti lineare è conservato nella direzione in cui non c'è forza applicata, la velocità in quella direzione dovrebbe diminuire per mantenere un momento lineare costante.
Dall'espressione di y(t), come fai a comprendere che è decelerato? Nell'espressione di partenza, quella ricavata al punto a per capirci, non vedo molta differenza, entrambe scalano come il logt.
derivando rispetto al tempo - a grande t verifichi immediatamente che la velocità è monotona decrescente. Ma non è molto più difficile verificarlo in generale con la soluzione esatta.
l'applicazione della forza in una direzione provoca l'accelerazione lungo tale asse e la massa aumenta
la massa è un invariante relativistico. La massa di un corpo non aumenta all'aumentare della velocità. Distinguere i concetti di "massa a riposo" $m_0$ e "massa relativistica" $\gamma m_0$ è pericoloso dato che quest'ultimo viene usato spesso impropriamente.
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