Leggi orarie relativistiche per campi elettrici
Buon pomeriggio, ho questo esercizio proveniente da un vecchio tema d'esame di relatività che mi ha dato dei problemi sui punti b e c.
Per il primo punto ho iniziato da
$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_x)=qE\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x - p_{0x}=qE(t-0)\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x=qEt+p_{0x}
$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_y)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y -p_{0y}=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y = p_{0y}$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_z)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_z = 0\ \ \ \rightarrow \ \ \ v_z=0$$
Osservo anzitutto che il moto avviene solo nel piano xy.
Quadro e sommo le due relazioni:
$$m_vx=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_x^2=\frac{(qEt)^2+p_{0x}+2qEtp_{0x}}{\gamma^2}$$$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_y^2=\frac{p_{0y}^2}{\gamma^2}$$
$$m^2(v_x^2+v_y^2)=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_{0x}^2+p_{0y}^2}{\gamma^2}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \gamma^2=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_0^2+m^2}{m^2}$$
$$\gamma=\frac 1m \sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}$$
Giusto per verificare che il risultato ottenuto sia corretto, per $t=0$, trovo la relazione:
$$\gamma=\frac {\mathcal{E}_0} m$$
Dove:
$v_x^2+v_y^2=v^2=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$
$p_{0x}^2+p_{0y}^2=p_0^2$
$\mathcal{E}_0^2=p_0^2+m^2$
Possiamo sostituire questo risultato nelle relazioni iniziali:
$$mv_x=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dx}{dt}=\frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dt}=\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
Integrando
$$x-x_0=\int_0^t dt \frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}$$
$$y-y_0=\int_0^t dt\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}$$
Trovo:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}+y_0$$
Queste due relazioni, nonostante siano espressioni così lunghe sono le leggi orarie $x(t)$ e $y(t)$.
Ho un problema nell'affrontare i punti successivi, in particolare modo il punto b.
Nel limite Newtoniano avrei che $\mathcal{E}_0 \approx m^2$, $v$ << $1$, però sostituendo questo risultato in $x(t)$ e $y(t)$ non ottengo nulla riconducibile a un limite classico... Forse è sbagliata la relazione nel punto a? Nonostante abbia riseguito i conti più volte?
In un sistema di riferimento inerziale è presente un campo elettrico $\bar E$ uniforme e costante parallelo all'asse x. Sia data una particella di carica $q$ e massa $m$ che all'istante $t=0$ si trova nel punto $\bar r_0 = (x_0, y_0, 0)$, con momento relativistico $\bar p_0 = (p_{0x}, p_{0y}, 0)$.
[list=a]
[*:2z40ohla] Risolvere le equazioni del moto relativistiche e ricavare la legge oraria, ovvero $x(t)$ e $y(t)$.[/*:m:2z40ohla]
[*:2z40ohla] Usando i risultati del punto a. derivare il limite Newtoniano della legge oraria. Commentare i risultati ottenuti.[/*:m:2z40ohla]
[*:2z40ohla] Usando i risultati del punto a. calcolare la legge oraria a grandi $t$. Commentare i risultati ottenuti.[/*:m:2z40ohla][/list:o:2z40ohla]
Per il primo punto ho iniziato da
$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_x)=qE\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x - p_{0x}=qE(t-0)\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_x=qEt+p_{0x}
$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_y)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y -p_{0y}=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_y = p_{0y}$$$$\frac{d}{dt}(m\gamma v_z)=0\ \ \ \rightarrow \ \ \ m\gamma v_z = 0\ \ \ \rightarrow \ \ \ v_z=0$$
Osservo anzitutto che il moto avviene solo nel piano xy.
Quadro e sommo le due relazioni:
$$m_vx=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_x^2=\frac{(qEt)^2+p_{0x}+2qEtp_{0x}}{\gamma^2}$$$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ m^2v_y^2=\frac{p_{0y}^2}{\gamma^2}$$
$$m^2(v_x^2+v_y^2)=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_{0x}^2+p_{0y}^2}{\gamma^2}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \gamma^2=\frac{(qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_0^2+m^2}{m^2}$$
$$\gamma=\frac 1m \sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}$$
Giusto per verificare che il risultato ottenuto sia corretto, per $t=0$, trovo la relazione:
$$\gamma=\frac {\mathcal{E}_0} m$$
Dove:
$v_x^2+v_y^2=v^2=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$
$p_{0x}^2+p_{0y}^2=p_0^2$
$\mathcal{E}_0^2=p_0^2+m^2$
Possiamo sostituire questo risultato nelle relazioni iniziali:
$$mv_x=\frac{qEt+p_{0x}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dx}{dt}=\frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
$$mv_y=\frac{p_{0y}}{\gamma}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dt}=\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}$$
Integrando
$$x-x_0=\int_0^t dt \frac{qEt+p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}$$
$$y-y_0=\int_0^t dt\frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}}=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})}{qE}\Bigg|_0^t=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}$$
Trovo:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y} \log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-p_{0y}\log (\mathcal{E}_0+p_{0x})}{qE}+y_0$$
Queste due relazioni, nonostante siano espressioni così lunghe sono le leggi orarie $x(t)$ e $y(t)$.
Ho un problema nell'affrontare i punti successivi, in particolare modo il punto b.
Nel limite Newtoniano avrei che $\mathcal{E}_0 \approx m^2$, $v$ << $1$, però sostituendo questo risultato in $x(t)$ e $y(t)$ non ottengo nulla riconducibile a un limite classico... Forse è sbagliata la relazione nel punto a? Nonostante abbia riseguito i conti più volte?
Risposte
Ciao,
non mi torna molto l'espressione per gamma che riporti, non c'è una potenza di $t$ di troppo nel termine $2 q E t p_{0x}t$? Le dimensioni dei termini in radice quadrata non sono omogenei ...
a parte questo nelle leggi orarie mi pare tutto OK a patto di sostituire $2 q E t p_{0x}t$ --> $2 q E p_{0x}t$
non mi torna molto l'espressione per gamma che riporti, non c'è una potenza di $t$ di troppo nel termine $2 q E t p_{0x}t$? Le dimensioni dei termini in radice quadrata non sono omogenei ...
a parte questo nelle leggi orarie mi pare tutto OK a patto di sostituire $2 q E t p_{0x}t$ --> $2 q E p_{0x}t$
"Frostman":
Buon pomeriggio, ho questo esercizio proveniente da un vecchio tema d'esame di relatività che mi ha dato dei problemi sui punti b e c.
.......
Nella terza riga sotto la frase :
Quadro e sommo le due relazioni:
c’è qualcosa che non torna nell’espressione di $gamma^2$ , mi pare. E poi Lampo ha già notato che c’è una $t$ di troppo. Dovrebbe essere :
$gamma^2 = ((qEt)^2 + 2qEtp_(0x) + p_0^2 ) / (mv)^2 $
E già da qui puoi vedere che per $t=0$ ritrovi : $ p_0 = gammamv_0$ .
In verità, l'espressione per $\gamma$ che riporta OP mi pare corretta. (non ho verificato se le due espressioni siano in realtà equivalenti)
Data l'ora tarda, spero di non scrivere castronerie e riporto quasi tutti i passaggi:
$$
\gamma v_x = \frac{q E t}{m} + \frac{p_{0x}}{m}
$$
$$
\gamma v_y = \frac{p_{0y}}{m}
$$
$$
\gamma v_z = 0
$$
dove è sott'inteso che $\gamma$ è la solita funzione di $v_z,v_x,v_y$ valutati al tempo t.
Ora, sommando i quadrati:
$$
\gamma^2 (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \left(\frac{p_{0y}}{m}\right)^2 + \left(\frac{p_{0x}}{m} + \frac{q E t}{m}\right)^2
$$
$$
\gamma^2 v^2 = \frac{p_{0y}^2 + \left(p_{0x} + q E t\right)^2}{m^2}
$$
dove ho indicato con $v$ il modulo del 3-vettore velocità valutato al tempo t.
però sappiamo anche dalla definizione di $\gamma$:
$$
\gamma^2 v^2 = \gamma^2 \left(v^2 - 1 + 1 \right) = -1 + \gamma^2
$$
di conseguenza $\gamma^2 v^2 = -1 + \gamma^2$ da cui:
$$
\gamma^2 = 1 + \frac{p_{0y}^2 + \left(p_{0x} + q E t\right)^2}{m^2} = \frac{m^2 + p_{0y}^2 + \left(p_{0x} + q E t\right)^2}{m^2}
$$
svolgendo il quadrato e semplificando:
$$
\gamma^2 = \frac{m^2 + p_{0y}^2 + p_{0x}^2 + q^2 E^2 t^2 + 2 p_{0x} q E t}{m^2} = \frac{\mathcal{E}_0+ q^2 E^2 t^2 + 2 p_{0x} q E t}{m^2}
$$
Data l'ora tarda, spero di non scrivere castronerie e riporto quasi tutti i passaggi:
$$
\gamma v_x = \frac{q E t}{m} + \frac{p_{0x}}{m}
$$
$$
\gamma v_y = \frac{p_{0y}}{m}
$$
$$
\gamma v_z = 0
$$
dove è sott'inteso che $\gamma$ è la solita funzione di $v_z,v_x,v_y$ valutati al tempo t.
Ora, sommando i quadrati:
$$
\gamma^2 (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \left(\frac{p_{0y}}{m}\right)^2 + \left(\frac{p_{0x}}{m} + \frac{q E t}{m}\right)^2
$$
$$
\gamma^2 v^2 = \frac{p_{0y}^2 + \left(p_{0x} + q E t\right)^2}{m^2}
$$
dove ho indicato con $v$ il modulo del 3-vettore velocità valutato al tempo t.
però sappiamo anche dalla definizione di $\gamma$:
$$
\gamma^2 v^2 = \gamma^2 \left(v^2 - 1 + 1 \right) = -1 + \gamma^2
$$
di conseguenza $\gamma^2 v^2 = -1 + \gamma^2$ da cui:
$$
\gamma^2 = 1 + \frac{p_{0y}^2 + \left(p_{0x} + q E t\right)^2}{m^2} = \frac{m^2 + p_{0y}^2 + \left(p_{0x} + q E t\right)^2}{m^2}
$$
svolgendo il quadrato e semplificando:
$$
\gamma^2 = \frac{m^2 + p_{0y}^2 + p_{0x}^2 + q^2 E^2 t^2 + 2 p_{0x} q E t}{m^2} = \frac{\mathcal{E}_0+ q^2 E^2 t^2 + 2 p_{0x} q E t}{m^2}
$$
La mia ora è ancora più tarda... 
, ho un po’ di insonnia.
Se prendi l’espressione di $gamma^2v^2$ da te ricavata ( seconda formula dopo “sommando i quadrati:” ), vedi che è uguale alla mia dividendo per $ v^2$ . Ma sappiamo anche che:
$gamma^2=1/(1-v^2)$
quindi uguagliando e moltiplicando per $m^2v^2$ si ha:
$m^2*v^2/(1-v^2) = (qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_0^2$
e ci siamo liberati di $gamma$, in fondo ci interessa $v$. Però mi pare che siamo a un punto morto.
Qui il moto è piano, composto da un moto iperbolico relativistico in direzione $x$ e un moto a velocità costante lungo $y$ . Il primo lo sappiamo trattare in RR ( se usi la funzione cerca lo trovi) , il secondo è semplice. Non basta questo, cioè trovare le due componenti della velocità e integrarle rispetto al tempo?
Ora però cerco di dormire, ci pensiamo domani, domani è un altro giorno, diceva Rossella. Buona Notte!
, ho un po’ di insonnia.Se prendi l’espressione di $gamma^2v^2$ da te ricavata ( seconda formula dopo “sommando i quadrati:” ), vedi che è uguale alla mia dividendo per $ v^2$ . Ma sappiamo anche che:
$gamma^2=1/(1-v^2)$
quindi uguagliando e moltiplicando per $m^2v^2$ si ha:
$m^2*v^2/(1-v^2) = (qEt)^2+2qEtp_{0x}+p_0^2$
e ci siamo liberati di $gamma$, in fondo ci interessa $v$. Però mi pare che siamo a un punto morto.
Qui il moto è piano, composto da un moto iperbolico relativistico in direzione $x$ e un moto a velocità costante lungo $y$ . Il primo lo sappiamo trattare in RR ( se usi la funzione cerca lo trovi) , il secondo è semplice. Non basta questo, cioè trovare le due componenti della velocità e integrarle rispetto al tempo?
Ora però cerco di dormire, ci pensiamo domani, domani è un altro giorno, diceva Rossella. Buona Notte!
Ok, sono d'accordo con la tua espressione di gamma ma essa è ancora espressa in maniera implicita (v è appunto ancora una funzione di t) : questo non è il caso per l'espressione calcolata da Frostman e da lui utilizzata negli svolgimenti successivi.
A questo punto sostituisce l'espressione trovata per gamma nelle relazioni che ha trovato integrando le eq del moto, trovando le espressioni esplicite per vx e vy in funzione del tempo. A questo punto le integra rispetto al tempo e usa le condizioni iniziali per trovare le leggi orarie. Non mi sembra di trovare errori concettuali in questo modo di procedere.
Entrambi i moti (lungo x e y) devono essere trattati in ambito relativistico. Benché lungo y non agiscono forze, il moto lungo y non può avvenire con velocità uniforme, anzi risulta essere decelerato a causa del fatto che la velocità della luce è un limite superiore per le velocità ammesse. Dato che la velocità lungo x tende a c, la componente di velocità lungo y non può fare altro che tendere a zero.
@Frostman, se ci hai provato potresti postare nel frattempo i tentativi di soluzione dei punti successivi?
A questo punto sostituisce l'espressione trovata per gamma nelle relazioni che ha trovato integrando le eq del moto, trovando le espressioni esplicite per vx e vy in funzione del tempo. A questo punto le integra rispetto al tempo e usa le condizioni iniziali per trovare le leggi orarie. Non mi sembra di trovare errori concettuali in questo modo di procedere.
Qui il moto è piano, composto da un moto iperbolico relativistico in direzione x e un moto a velocità costante lungo y .
Entrambi i moti (lungo x e y) devono essere trattati in ambito relativistico. Benché lungo y non agiscono forze, il moto lungo y non può avvenire con velocità uniforme, anzi risulta essere decelerato a causa del fatto che la velocità della luce è un limite superiore per le velocità ammesse. Dato che la velocità lungo x tende a c, la componente di velocità lungo y non può fare altro che tendere a zero.
@Frostman, se ci hai provato potresti postare nel frattempo i tentativi di soluzione dei punti successivi?
Confermo che in $gamma$ c'è un $t$ di troppo, errore mio di battitura che mi sono portato dietro nei copia-incolla.
$$\gamma=\frac 1m \sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}$$
La mia idea era quella di gestire lo sviluppo a partire dalle velocità, che hanno un'espressione più semplice e successivamente integrare per ottenere le leggi orarie dei due casi.
Come sappiamo:
$$
\frac{dx}{dt} = \frac{qEt + p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}
$$$$
\frac{dy}{dt} = \frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}
$$
Ripristinare $c$ e fare il limite per $c\rightarrow +\infty$ potrebbe consentirmi di trovare dei limiti notevoli o comunque degli sviluppi che mi darebbero il limite classico.
In maniera forse più semplice, visto che non c'è il caso di ripristinare $c$, potrei farlo per il punto c.
$$
\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{dx}{dt} = \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{qEt + p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}=\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{qEt}{\sqrt{(qEt)^2}}=1
$$$$
\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{dy}{dt} = \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}=0
$$
Cioè, abbiamo che la componente della velocità lungo x, diventa quella della luce, mentre la componente lungo l'asse delle y, si annulla.
Integrando, abbiamo:
$$x=x_0+t$$$$y=y_0$$
Può funzionare come ragionamento? Nel caso lo troviate condiviso, avete delle idee su come ripristinare $c$ per il secondo punto?
$$\gamma=\frac 1m \sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}$$
La mia idea era quella di gestire lo sviluppo a partire dalle velocità, che hanno un'espressione più semplice e successivamente integrare per ottenere le leggi orarie dei due casi.
Come sappiamo:
$$
\frac{dx}{dt} = \frac{qEt + p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}
$$$$
\frac{dy}{dt} = \frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}
$$
Ripristinare $c$ e fare il limite per $c\rightarrow +\infty$ potrebbe consentirmi di trovare dei limiti notevoli o comunque degli sviluppi che mi darebbero il limite classico.
In maniera forse più semplice, visto che non c'è il caso di ripristinare $c$, potrei farlo per il punto c.
$$
\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{dx}{dt} = \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{qEt + p_{0x}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}=\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{qEt}{\sqrt{(qEt)^2}}=1
$$$$
\lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{dy}{dt} = \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{p_{0y}}{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}}=0
$$
Cioè, abbiamo che la componente della velocità lungo x, diventa quella della luce, mentre la componente lungo l'asse delle y, si annulla.
Integrando, abbiamo:
$$x=x_0+t$$$$y=y_0$$
Può funzionare come ragionamento? Nel caso lo troviate condiviso, avete delle idee su come ripristinare $c$ per il secondo punto?
Col senno del mattino....
Non conviene trovare $v$ , conviene ragionare sulle due componenti della q.m. In direzione x e in direzione y. Il moto lungo x è accelerato quindi iperbolico relativistico, quello lungo y ...dice Lampo che dovrebbe tendere a zero...devo pensarci, forse è vero.
Se il testo vuole le leggi orarie , le due equazioni parametriche in funzione di t già lo sono. Devo leggere bene quello che hai scritto Frostman, l’ho solo guardato di sfuggita. Si , è la mia idea, ragionare sulle due componenti della q.m. ovvero della velocità. Invito pure @anonymous_0b37e9 a partecipare.
Ho letto, ma come fai a dire che la y si mantiene costante? È la x è lineare in t? Bisogna pensare meglio. Devi integrare le due espressioni rispetto a t per avere le equazioni parametriche.
Non conviene trovare $v$ , conviene ragionare sulle due componenti della q.m. In direzione x e in direzione y. Il moto lungo x è accelerato quindi iperbolico relativistico, quello lungo y ...dice Lampo che dovrebbe tendere a zero...devo pensarci, forse è vero.
Se il testo vuole le leggi orarie , le due equazioni parametriche in funzione di t già lo sono. Devo leggere bene quello che hai scritto Frostman, l’ho solo guardato di sfuggita. Si , è la mia idea, ragionare sulle due componenti della q.m. ovvero della velocità. Invito pure @anonymous_0b37e9 a partecipare.
Ho letto, ma come fai a dire che la y si mantiene costante? È la x è lineare in t? Bisogna pensare meglio. Devi integrare le due espressioni rispetto a t per avere le equazioni parametriche.
Ciao Shackle e grazie dell'invito. Mi limito ad allegare la trattazione del Landau:
Vero è che si suppone l'impulso iniziale diretto lungo l'asse y. Tuttavia, non dovrebbe essere difficile fare la dovuta generalizzazione.
Vero è che si suppone l'impulso iniziale diretto lungo l'asse y. Tuttavia, non dovrebbe essere difficile fare la dovuta generalizzazione.
Grazie Sergent Elias. Però le componenti della qm iniziali che ha Frostman sono diverse. Landau pone $dotp_y=0$ inizialmente, quindi velocità diretta lungo y , infatti dice : $p_y =p_0$, almeno inizialmente.
Sto cercando altre informazioni sul web, poi riferisco.
Sto cercando altre informazioni sul web, poi riferisco.
Come esempio, riporto il limite non relativistico per la legge oraria x(t).
In generale, non è necessario reinserire i fattori c e poi far tendere c all'infinito per ottenere il limite classico - si può fare anche così ma ci sono anche altri modi.
Ad es. riscrivo la componente lungo x della qdm:
$$
p_x(t) = q E t + p_{0x}
$$
ci troviamo nel limite non-relativistico se
$$
q E t + p_{0x} \ll m
$$
e similmente deve essere
$$
p_{0y} \ll m
$$
La legge oraria può essere "rimaneggiata lievemente"
$$
x(t) = \frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0 =
$$
$$
=\frac{\sqrt{m^2 + p_{0y}^2 +(q E t + p_{0x})^2}- \sqrt{m^2 + p_{0x}^2 + p_{0y}^2}}{qE}+x_0
$$
ed espandendo i termini in radice al primo ordine si ottiene:
$$
= \frac{m (1 + \frac{1}{2 m^2}p_{0y}^2 + \frac{1}{2m^2}(q E t + p_{0x})^2) - m (1 + \frac{1}{2m^2}p_{0y}^2 + \frac{1}{2m^2}p_{0x}^2) }{q E}
$$
$$
= \frac{1}{2m}\frac{(q E t + p_{0x})^2}{q E} - \frac{1}{2m}\frac{p_{0x}^2}{q E}
$$
Infine espandendo il quadrato del binomio e semplificando un po' si ottiene il risultato noto, ossia un moto rettilineo uniformemente accelerato:
$$
x(t) = \frac{p_{0x}}{m} t + \frac{1}{2}\frac{q E}{m} t^2 = v_{0x} t + \frac{1}{2}\frac{q E}{m} t^2
$$
Gli altri punti si trattano in maniera simile
In generale, non è necessario reinserire i fattori c e poi far tendere c all'infinito per ottenere il limite classico - si può fare anche così ma ci sono anche altri modi.
Ad es. riscrivo la componente lungo x della qdm:
$$
p_x(t) = q E t + p_{0x}
$$
ci troviamo nel limite non-relativistico se
$$
q E t + p_{0x} \ll m
$$
e similmente deve essere
$$
p_{0y} \ll m
$$
La legge oraria può essere "rimaneggiata lievemente"
$$
x(t) = \frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0 =
$$
$$
=\frac{\sqrt{m^2 + p_{0y}^2 +(q E t + p_{0x})^2}- \sqrt{m^2 + p_{0x}^2 + p_{0y}^2}}{qE}+x_0
$$
ed espandendo i termini in radice al primo ordine si ottiene:
$$
= \frac{m (1 + \frac{1}{2 m^2}p_{0y}^2 + \frac{1}{2m^2}(q E t + p_{0x})^2) - m (1 + \frac{1}{2m^2}p_{0y}^2 + \frac{1}{2m^2}p_{0x}^2) }{q E}
$$
$$
= \frac{1}{2m}\frac{(q E t + p_{0x})^2}{q E} - \frac{1}{2m}\frac{p_{0x}^2}{q E}
$$
Infine espandendo il quadrato del binomio e semplificando un po' si ottiene il risultato noto, ossia un moto rettilineo uniformemente accelerato:
$$
x(t) = \frac{p_{0x}}{m} t + \frac{1}{2}\frac{q E}{m} t^2 = v_{0x} t + \frac{1}{2}\frac{q E}{m} t^2
$$
Gli altri punti si trattano in maniera simile
"anonymous_0b37e9":
Ciao Shackle e grazie dell'invito. Mi limito ad allegare la trattazione del Landau:
Vero è che si suppone l'impulso iniziale diretto lungo l'asse y. Tuttavia, non dovrebbe essere difficile fare la dovuta generalizzazione.
Esattamente, questo esempio l'ha utilizzato il mio prof quando lo ha spiegato a lezione, ho provato a seguire passo, passo quello che aveva fatto, ma mi frega il fatto che abbia componenti diversi dal mio.
"Lampo1089":
Come esempio, riporto il limite non relativistico per la legge oraria x(t).
In generale, non è necessario reinserire i fattori c e poi far tendere c all'infinito per ottenere il limite classico - si può fare anche così ma ci sono anche altri modi.
Ad es. riscrivo la componente lungo x della qdm:
\[ p_x(t) = q E t + p_{0x} \]
ci troviamo nel limite non-relativistico se
\[ q E t + p_{0x} \ll m \]
e similmente deve essere
\[ p_{0y} \ll m \]
La legge oraria può essere "rimaneggiata lievemente"
\[ x(t) = \frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEtp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0 = \]
\[ =\frac{\sqrt{m^2 + p_{0y}^2 +(q E t + p_{0x})^2}- \sqrt{m^2 + p_{0x}^2 + p_{0y}^2}}{qE}+x_0 \]
ed espandendo i termini in radice al primo ordine si ottiene:
\[ = \frac{m (1 + \frac{1}{2 m^2}p_{0y}^2 + \frac{1}{2m^2}(q E t + p_{0x})^2) - m (1 + \frac{1}{2m^2}p_{0y}^2 + \frac{1}{2m^2}p_{0x}^2) }{q E} \]
\[ = \frac{1}{2m}\frac{(q E t + p_{0x})^2}{q E} - \frac{1}{2m}\frac{p_{0x}^2}{q E} \]
Infine espandendo il quadrato del binomio e semplificando un po' si ottiene il risultato noto, ossia un moto rettilineo uniformemente accelerato:
\[ x(t) = \frac{p_{0x}}{m} t + \frac{1}{2}\frac{q E}{m} t^2 = v_{0x} t + \frac{1}{2}\frac{q E}{m} t^2 \]
Gli altri punti si trattano in maniera simile
Okay, quindi è sufficiente considerare le relazioni sull'energia. Dove nel limite classico, prevale la massa rispetto alla momento lineare.
Nel momento in cui invece devo valutare per grandi tempi la relazione:
$$qEt + p_{0x} \ll m$$
Si inverte, ossia:
$$qEt + p_{0x} \gg m$$
Su $p_y(t)=p_{0y}$, visto che è costante, non ho alcuna relazione da considerare, per il punto c giusto?
Nel caso affermativo, provvedo nel post successivo a mettere giù una soluzione, alla fine poste le condizioni per gli sviluppi, sono solo conti.
Ho accennato al moto iperbolico relativistico, in una precedente risposta, in direzione $x$, che si compone col moto in direzione $y$. Ho trovato questo link nel forum, riguardo a che cosa si deve intendere con moto iperbolico relativistico. Si vede che l’accelerazione coordinata del razzo relativistico rispetto all’ OI terrestre è legata all’accelerazione propria, misurata nel riferimento comovente col razzo, dalla relazione :
$a = gamma^ (-3) a’ $
dove $a$ è l’accelerazione coordinata, che diminuisce col tempo, mentre $a’$ è quella propria nel razzo, ed è costante. Non mi dilungo perché è tutto spiegato per bene nel link.
Perché ho messo questo link ? Perché ho trovato i due esercizi seguenti; nel primo si considera una particella soggetta a una forza costante $vecF$ parallela alla velocità $vecv$ , e si dimostra appunto quelle relazioni tra le due accelerazioni, che non ripeto. Nel secondo esercizio, si applica quanto sopra ad una particella di massa $m$ e carica $q$ , inizialmente posta in $x=0$ quando $t=0$ ( quindi non sono le condizioni dell’esercizio di Frostman) e si trova l’espressione della velocità che potremmo definire nel riferimento del laboratorio:
$v(t) = (a’t) /sqrt(1 + ((a’t)/c)^2 )$
la quale tende a $c$ quando $t\rarr\infty$ ; e ovviamente c’è anche l’espressione dello spazio percorso $x(t)$ , che tende a $ct$ quando, come per la velocità : $t\rarr\infty$ . Ci sono anche le approssimazioni non relativistiche di entrambe le quantità.
Ripeto che non sono le condizioni iniziali di Frostman, ma ho speso tempo (non sprecato, non si spreca il tempo cercando cose di scienza ) , e quindi ora vi leggete (se vi aggrada) la soluzione del caso proposto, che può essere utile al nostro amico Frostman, e a qualcun altro interessato a certi argomenti. Per esempio, potrebbe valere per la sola $v_x(t) $. Ecco qui :
$a = gamma^ (-3) a’ $
dove $a$ è l’accelerazione coordinata, che diminuisce col tempo, mentre $a’$ è quella propria nel razzo, ed è costante. Non mi dilungo perché è tutto spiegato per bene nel link.
Perché ho messo questo link ? Perché ho trovato i due esercizi seguenti; nel primo si considera una particella soggetta a una forza costante $vecF$ parallela alla velocità $vecv$ , e si dimostra appunto quelle relazioni tra le due accelerazioni, che non ripeto. Nel secondo esercizio, si applica quanto sopra ad una particella di massa $m$ e carica $q$ , inizialmente posta in $x=0$ quando $t=0$ ( quindi non sono le condizioni dell’esercizio di Frostman) e si trova l’espressione della velocità che potremmo definire nel riferimento del laboratorio:
$v(t) = (a’t) /sqrt(1 + ((a’t)/c)^2 )$
la quale tende a $c$ quando $t\rarr\infty$ ; e ovviamente c’è anche l’espressione dello spazio percorso $x(t)$ , che tende a $ct$ quando, come per la velocità : $t\rarr\infty$ . Ci sono anche le approssimazioni non relativistiche di entrambe le quantità.
Ripeto che non sono le condizioni iniziali di Frostman, ma ho speso tempo (non sprecato, non si spreca il tempo cercando cose di scienza ) , e quindi ora vi leggete (se vi aggrada) la soluzione del caso proposto, che può essere utile al nostro amico Frostman, e a qualcun altro interessato a certi argomenti. Per esempio, potrebbe valere per la sola $v_x(t) $. Ecco qui :
ciao,
aggiungo un link ad un articolo di arxiv in cui si analizza la dinamica di una particella relativistica soggetta a una forza bidimensionale (non necessariamente coincidente con un asse). Mi sembra tutto sommato pertinente con l'argomento, semplice da leggere: insomma un buon approfondimento.
https://arxiv.org/pdf/1806.08680.pdf
@Frostman per il limite a t->+inf si non servono ulteriori condizioni per $p_{0y}$
in verità $p0y$ può essere qualunque cosa (piccolo o dell'ordine di m, poco importa) perché $p_x(t)$ tenderà a +inf in maniera lineare in t, e di conseguenza la particella sarà relativistica. Di fatto per x(t) riottieni più o meno quello che hai scritto tu in precedenza, da capire se l'approssimazione di ordine "zero" sia sufficiente - il coefficiente che moltiplica t è pari a 1, ma la velocità della luce è appunto non limite non raggiungibile per una particella massiva ... se si vuol fare qualcosa di più preciso bisogna considerare anche la prima correzione a questo risultato
aggiungo un link ad un articolo di arxiv in cui si analizza la dinamica di una particella relativistica soggetta a una forza bidimensionale (non necessariamente coincidente con un asse). Mi sembra tutto sommato pertinente con l'argomento, semplice da leggere: insomma un buon approfondimento.
https://arxiv.org/pdf/1806.08680.pdf
@Frostman per il limite a t->+inf si non servono ulteriori condizioni per $p_{0y}$
in verità $p0y$ può essere qualunque cosa (piccolo o dell'ordine di m, poco importa) perché $p_x(t)$ tenderà a +inf in maniera lineare in t, e di conseguenza la particella sarà relativistica. Di fatto per x(t) riottieni più o meno quello che hai scritto tu in precedenza, da capire se l'approssimazione di ordine "zero" sia sufficiente - il coefficiente che moltiplica t è pari a 1, ma la velocità della luce è appunto non limite non raggiungibile per una particella massiva ... se si vuol fare qualcosa di più preciso bisogna considerare anche la prima correzione a questo risultato
aggiungo se può essere utile l'andamento asintotico per t -> +inf della legge oraria lungo x e la velocità $v_x$ ottenuta, sono il penultimo (x(t)) e l'ultimo (vx(t)) output dell'interprete:
https://www.wolframcloud.com/obj/60c2dd ... ce818dff18
come vedi, i termini trascurati vanno come $\frac{1}{t^2}$ e sono negativi, come deve essere
https://www.wolframcloud.com/obj/60c2dd ... ce818dff18
come vedi, i termini trascurati vanno come $\frac{1}{t^2}$ e sono negativi, come deve essere
Ottimo, grazie. Ora Frostman ha abbastanza materiale credo.
Uh, quanto bel materiale! 
Il caso che hai citato @Shackle ne avevo già riscontrato uno simile in un tema d'esame. Insomma viene data la solita accelerazione $a'$ nel frame del razzo e si chiede di ricavare l'equazione del moto nel sistema di riferimento terrestre. Il punto chiave (e interessante oserei dire), è proprio il fatto che nel sistema di riferimento terrestre, per $t\rightarrow +\infty$, si osserva che $a\rightarrow 0$. Cioè per tale sistema di riferimento, è come se il razzo accelerasse sempre di meno più il tempo passa.
Sono comodi questi esercizi perché alla fine aiuta a comprendere bene la relatività ristretta, forniscono uno strumento per verificare che certi risultati siano consistenti con i suoi assiomi.
Grazie per l'articolo @Lampo1089, darò sicuramente un'occhiata, può farmi solo che bene!
Ora passiamo alle cose formali, mi rimbocco le maniche e mi metto giù a fare un po' di conti.
b. Usando i risultati del punto a. derivare il limite Newtoniano della legge oraria. Commentare i risultati ottenuti.
Siamo nelle condizioni tali per cui:
$$qEt + p_{0x} \ll m$$$$p_{0y} \ll m$$
A questo punto possiamo sviluppare sotto queste due condizioni $x(t)$ e $y(t)$.
Iniziamo con $x(t)$:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=\frac{\sqrt{m^2+p_{0y}^2+(p_{0x}+qEt)^2}-\sqrt{m^2+p_{0x}^2+p_{0y}^2}}{qE} +x_0$$
$$x(t)=\frac{m\sqrt{1+\frac{p_{0y}^2}{m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{m^2}}-m\sqrt{1+\frac{p_{0x}^2}{m^2}+\frac{p_{0y}^2}{m^2}}}{qE}+x_0$$
$$x(t)=\frac{m(1+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{2m^2})-m(1+\frac{p_{0x}^2}{2m^2}+\frac{p_{0y}^2}{2m^2})}{qE}+x_0$$
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}}{m}t+\frac12 \frac{qE}{m}t^2$$
Per quanto riguarda $y(t)$:
$$y(t)=\frac{p_{0y} (\log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-\log (\mathcal{E}_0+p_{0x}))}{qE}+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y} (\log({\sqrt{m^2+p_{0y}^2+(qEt+p_{0x})^2}+qEt+p_{0x}})-\log (\sqrt{m^2+p_{0x}^2+p_{0x}^2}+p_{0x}))}{qE}+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[ \log\bigg(m+\big(1+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{2m^2}\big)+qEt+p_{0x}\bigg)-\log\bigg(m+(1+\frac{p_{0x}^2}{2m^2}+\frac{p_{0y}^2}{2m^2})+p_{0x}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log m + \log \bigg(1+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{2m^2}+\frac{qEt}{m}+\frac{p_{0x}}{m}\bigg)-\log m - \log\bigg(1+\frac{p_{0x}^2}{2m^2}+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{p_{0x}}{m}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\frac 1m (qEt+p_{0x})-\frac1m (p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=y_0+\frac{p_{0y}}{m}t$$
Pertanto, dopo tutti questi conti, possiamo concludere che nel limite classico, le equazioni del moto risultano essere rispettivamente un moto rettilineo uniformemente accelerato e un moto rettilineo uniforme:
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}}{m}t+\frac12 \frac{qE}{m}t^2$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0y}}{m}t$$
c. Usando i risultati del punto a. calcolare la legge oraria a grandi $t$. Commentare i risultati ottenuti.
Siamo nelle condizioni tali per cui:$$qEt + p_{0x} \gg m$$Sulla componente $y$ non abbiamo alcuna condizione perché non dipende dal tempo.
Iniziando nuovamente da $x(t)$:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=\frac{qEt}{qE}\bigg(1+\frac{\mathcal{E}_0^2}{(qEt)^2} + \frac{2qEp_{0x}t}{(qEt)^2}\bigg)^{\frac12}-\frac{\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=t\bigg(1+\frac{2p_{0x}}{2qE}\frac1t\bigg)-\frac{\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}+t$$
Per $y(t)$:
$$y(t)=\frac{p_{0y} (\log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-\log (\mathcal{E}_0+p_{0x}))}{qE}+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log\bigg(qEt\sqrt{1+\frac{\mathcal{E}_0^2}{(qEt)^2}+\frac{2qEp_{0x}t}{(qEt)^2}}+qEt+p_{0x}\bigg)-\log\bigg(\mathcal{E}_0+p_{0x}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log\bigg(qEt(1+\frac{p_{0x}}{qE}\frac 1t)+qEt+p_{0x}\bigg)-\log\bigg(\mathcal{E}_0+p_{0x}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log(2qEt+2p_{0x})-\log(\mathcal{E_0}+p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log(2qEt)+log(1+\frac{p_{0x}}{qEt})-\log(\mathcal{E}_0+p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log(2qEt)+\frac{p_{0x}}{qEt}-\log(\mathcal{E}_0+p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=y_0+\frac{p_{0x}p_{0y}}{(qE)^2}\frac 1t + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p{0x}}$$
Le relazioni che ho trovato quindi per grandi $t$ sono:
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}+t$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0x}p_{0y}}{(qE)^2}\frac 1t + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p{0x}}$$
Onestamente sono abbastanza convinto dei risultati del punto b, alla fine sono equazioni del moto classiche. Per il punto c non saprei, può essere che abbia sbagliato qualche sviluppo o conto? Voi cosa ne pensate?
Il caso che hai citato @Shackle ne avevo già riscontrato uno simile in un tema d'esame. Insomma viene data la solita accelerazione $a'$ nel frame del razzo e si chiede di ricavare l'equazione del moto nel sistema di riferimento terrestre. Il punto chiave (e interessante oserei dire), è proprio il fatto che nel sistema di riferimento terrestre, per $t\rightarrow +\infty$, si osserva che $a\rightarrow 0$. Cioè per tale sistema di riferimento, è come se il razzo accelerasse sempre di meno più il tempo passa.
Sono comodi questi esercizi perché alla fine aiuta a comprendere bene la relatività ristretta, forniscono uno strumento per verificare che certi risultati siano consistenti con i suoi assiomi.
Grazie per l'articolo @Lampo1089, darò sicuramente un'occhiata, può farmi solo che bene!
Ora passiamo alle cose formali, mi rimbocco le maniche e mi metto giù a fare un po' di conti.
b. Usando i risultati del punto a. derivare il limite Newtoniano della legge oraria. Commentare i risultati ottenuti.
Siamo nelle condizioni tali per cui:
$$qEt + p_{0x} \ll m$$$$p_{0y} \ll m$$
A questo punto possiamo sviluppare sotto queste due condizioni $x(t)$ e $y(t)$.
Iniziamo con $x(t)$:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=\frac{\sqrt{m^2+p_{0y}^2+(p_{0x}+qEt)^2}-\sqrt{m^2+p_{0x}^2+p_{0y}^2}}{qE} +x_0$$
$$x(t)=\frac{m\sqrt{1+\frac{p_{0y}^2}{m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{m^2}}-m\sqrt{1+\frac{p_{0x}^2}{m^2}+\frac{p_{0y}^2}{m^2}}}{qE}+x_0$$
$$x(t)=\frac{m(1+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{2m^2})-m(1+\frac{p_{0x}^2}{2m^2}+\frac{p_{0y}^2}{2m^2})}{qE}+x_0$$
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}}{m}t+\frac12 \frac{qE}{m}t^2$$
Per quanto riguarda $y(t)$:
$$y(t)=\frac{p_{0y} (\log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-\log (\mathcal{E}_0+p_{0x}))}{qE}+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y} (\log({\sqrt{m^2+p_{0y}^2+(qEt+p_{0x})^2}+qEt+p_{0x}})-\log (\sqrt{m^2+p_{0x}^2+p_{0x}^2}+p_{0x}))}{qE}+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[ \log\bigg(m+\big(1+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{2m^2}\big)+qEt+p_{0x}\bigg)-\log\bigg(m+(1+\frac{p_{0x}^2}{2m^2}+\frac{p_{0y}^2}{2m^2})+p_{0x}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log m + \log \bigg(1+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{(qEt+p_{0x})^2}{2m^2}+\frac{qEt}{m}+\frac{p_{0x}}{m}\bigg)-\log m - \log\bigg(1+\frac{p_{0x}^2}{2m^2}+\frac{p_{0y}^2}{2m^2}+\frac{p_{0x}}{m}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\frac 1m (qEt+p_{0x})-\frac1m (p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=y_0+\frac{p_{0y}}{m}t$$
Pertanto, dopo tutti questi conti, possiamo concludere che nel limite classico, le equazioni del moto risultano essere rispettivamente un moto rettilineo uniformemente accelerato e un moto rettilineo uniforme:
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}}{m}t+\frac12 \frac{qE}{m}t^2$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0y}}{m}t$$
c. Usando i risultati del punto a. calcolare la legge oraria a grandi $t$. Commentare i risultati ottenuti.
Siamo nelle condizioni tali per cui:$$qEt + p_{0x} \gg m$$Sulla componente $y$ non abbiamo alcuna condizione perché non dipende dal tempo.
Iniziando nuovamente da $x(t)$:
$$x(t)=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}-\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=\frac{qEt}{qE}\bigg(1+\frac{\mathcal{E}_0^2}{(qEt)^2} + \frac{2qEp_{0x}t}{(qEt)^2}\bigg)^{\frac12}-\frac{\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=t\bigg(1+\frac{2p_{0x}}{2qE}\frac1t\bigg)-\frac{\mathcal{E}_0}{qE}+x_0$$
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}+t$$
Per $y(t)$:
$$y(t)=\frac{p_{0y} (\log({\sqrt{\mathcal{E}_0^2+(qEt)^2+2qEp_{0x}t}+qEt+p_{0x}})-\log (\mathcal{E}_0+p_{0x}))}{qE}+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log\bigg(qEt\sqrt{1+\frac{\mathcal{E}_0^2}{(qEt)^2}+\frac{2qEp_{0x}t}{(qEt)^2}}+qEt+p_{0x}\bigg)-\log\bigg(\mathcal{E}_0+p_{0x}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log\bigg(qEt(1+\frac{p_{0x}}{qE}\frac 1t)+qEt+p_{0x}\bigg)-\log\bigg(\mathcal{E}_0+p_{0x}\bigg)\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log(2qEt+2p_{0x})-\log(\mathcal{E_0}+p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log(2qEt)+log(1+\frac{p_{0x}}{qEt})-\log(\mathcal{E}_0+p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=\frac{p_{0y}}{qE}\bigg[\log(2qEt)+\frac{p_{0x}}{qEt}-\log(\mathcal{E}_0+p_{0x})\bigg]+y_0$$
$$y(t)=y_0+\frac{p_{0x}p_{0y}}{(qE)^2}\frac 1t + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p{0x}}$$
Le relazioni che ho trovato quindi per grandi $t$ sono:
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}+t$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0x}p_{0y}}{(qE)^2}\frac 1t + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p{0x}}$$
Onestamente sono abbastanza convinto dei risultati del punto b, alla fine sono equazioni del moto classiche. Per il punto c non saprei, può essere che abbia sbagliato qualche sviluppo o conto? Voi cosa ne pensate?
b. Usando i risultati del punto a. derivare il limite Newtoniano della legge oraria. Commentare i risultati ottenuti.
[...]
Pertanto, dopo tutti questi conti, possiamo concludere che nel limite classico, le equazioni del moto risultano essere rispettivamente un moto rettilineo uniformemente accelerato e un moto rettilineo uniforme:
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}}{m}t+\frac12 \frac{qE}{m}t^2$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0y}}{m}t$$
Mi sembrano abbastanza ovvie, queste conclusioni per il limite newtoniano, non relativistico! (Non ho seguito tutti gli sviluppi). Il limite newtoniano si quando $v<\< c$ , per cui non c’è differenza tra l’accelerazione della particella “nel laboratorio” e la cosiddetta “accelerazione propria" che la particella misura in un MCRF (riferimento di quiete momentanea comovente).
Per il punto c. Usando i risultati del punto a. calcolare la legge oraria a grandi $t$. Commentare i risultati ottenuti.
francamente non mi metto a verificare i calcoli, che sono molto elaborati. Però non sono tanto d’accordo su questo:
Sulla componente y non abbiamo alcuna condizione perché non dipende dal tempo
come già fatto notare da Lampo, anche la y(t) dovrebbe variare col tempo.
PEr la $x$ , a grandi $t$ direi che il comportamento è come quello del razzo relativistico, cioè la particella conserva l’accelerazione “propria” , mentre diminuisce l’accelerazione nel riferimento del laboratorio. LA linea di universo diventa una iperbole nel piano di Minkowski, con asintoto la bisettrice del primo quadrante $t=x$, che non è altro che la geodetica della luce. Questa è per me la differenza col caso non relativistico, e si hanno le equazioni della velocita e dello spazio espresse con le funzioni iperboliche, che forse conosci. C’è una voce su Wikipedia, relativa al moto iperbolico relativistico:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboli ... relativity)
Dovresti cercare sul web, come ulteriore suggerimento, le lezioni di relatività speciale di Vanzo , io ho quelle del 2013 ma non credo siano cambiate, ma ce l’ho in pdf e non posso mettere il link. In quelle lezioni, leggi il paragrafo 4.5 dove si parla del moto iperbolico relativistico, e si scrivono le equazioni per velocità e spostamento. Però il riferimento è sempre al moto unidimensionale, con la forza parallela alla velocità, e velocità iniziale nulla. Cioè la particella carica viene posta inizialmente, con velocità nulla, nel campo elettrico uniforme e costante, parallelo a $x$, e si muove sotto l’azione del campo stesso. Invece la soluzione di Landau riportata da @anonymous_0b37e9 considera la particella che inizialmente ha velocità perpendicolare al campo.
"Shackle":
b. Usando i risultati del punto a. derivare il limite Newtoniano della legge oraria. Commentare i risultati ottenuti.
[...]
Pertanto, dopo tutti questi conti, possiamo concludere che nel limite classico, le equazioni del moto risultano essere rispettivamente un moto rettilineo uniformemente accelerato e un moto rettilineo uniforme:
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}}{m}t+\frac12 \frac{qE}{m}t^2$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0y}}{m}t$$
Mi sembrano abbastanza ovvie, queste conclusioni per il limite newtoniano, non relativistico! (Non ho seguito tutti gli sviluppi). Il limite newtoniano si quando $v<\< c$ , per cui non c’è differenza tra l’accelerazione della particella “nel laboratorio” e la cosiddetta “accelerazione propria" che la particella misura in un MCRF (riferimento di quiete momentanea comovente).
Mi sarei preoccupato non fossero state ovvie!
"Shackle":
Per il punto c. Usando i risultati del punto a. calcolare la legge oraria a grandi $t$. Commentare i risultati ottenuti.
francamente non mi metto a verificare i calcoli, che sono molto elaborati.
Sono solo due semplici sviluppi sul $\log$ e $\sqrt{ }$
"Shackle":
Però non sono tanto d’accordo su questo:
Sulla componente y non abbiamo alcuna condizione perché non dipende dal tempo
come già fatto notare da Lampo, anche la y(t) dovrebbe variare col tempo.
Stavo intendendo la componente del momento lineare lungo l'asse delle $y$, non la legge oraria $y(t)$.
"Shackle":
Dovresti cercare sul web, come ulteriore suggerimento, le lezioni di relatività speciale di Vanzo , io ho quelle del 2013 ma non credo siano cambiate, ma ce l’ho in pdf e non posso mettere il link. In quelle lezioni, leggi il paragrafo 4.5 dove si parla del moto iperbolico relativistico, e si scrivono le equazioni per velocità e spostamento. Però il riferimento è sempre al moto unidimensionale, con la forza parallela alla velocità, e velocità iniziale nulla. Cioè la particella carica viene posta inizialmente, con velocità nulla, nel campo elettrico uniforme e costante, parallelo a $x$, e si muove sotto l’azione del campo stesso. Invece la soluzione di Landau riportata da @anonymous_0b37e9 considera la particella che inizialmente ha velocità perpendicolare al campo.
Provo a vedere se riesco a recuperarle!
Workbook aggiornato:
https://www.wolframcloud.com/obj/33a591 ... 3e28f3be52
puoi confrontare gli andamenti asintotici con quelli calcolati automaticamente da Wolfram; come cross-check ho graficato i due a grande t per vedere se qualitativamente sono gli stessi.
Puoi provare anche tu ad eseguire questo tipo di confronto: alla fine, verificare la correttezza del risultato significa essenzialmente questo (dò per scontato la conoscenze informatiche a supporto per la risoluzione tipo Wolfram/MATLAB/Octave/Python .... e chi più ne ha più ne metta, tutto fa brodo)
un piccolo appunto: il termine di ordine 1/t nello sviluppo asintotico per grande t della legge y(t) si può anche omettere ... è corretto, ma trascurabile
ps. ma il commento e l'interpretazione dei risultati al punto c) ?
https://www.wolframcloud.com/obj/33a591 ... 3e28f3be52
puoi confrontare gli andamenti asintotici con quelli calcolati automaticamente da Wolfram; come cross-check ho graficato i due a grande t per vedere se qualitativamente sono gli stessi.
Puoi provare anche tu ad eseguire questo tipo di confronto: alla fine, verificare la correttezza del risultato significa essenzialmente questo (dò per scontato la conoscenze informatiche a supporto per la risoluzione tipo Wolfram/MATLAB/Octave/Python .... e chi più ne ha più ne metta, tutto fa brodo)
un piccolo appunto: il termine di ordine 1/t nello sviluppo asintotico per grande t della legge y(t) si può anche omettere ... è corretto, ma trascurabile
ps. ma il commento e l'interpretazione dei risultati al punto c) ?
Dovrei rispolverare un po' Mathematica, è da Analisi 2 che non la uso
Comunque, vedendo i tuoi plot, gli andamenti sono gli stessi per $t\rightarrow +\infty$ per cui confermano il risultato da me ottenuto.
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}+t$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0x}p_{0y}}{(qE)^2}\frac 1t + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p_{0x}}$$
Che commenti si possono dare?
Bhe, anzitutto per $x(t)$, pare partire da una posizione (sulle x) più arretrata dal momento che il termine $\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}$ è negativo, visto che $p_{0x} < \mathcal{E}_0$. Per il resto è un moto rettilineo uniforme che si propaga a velocità $c$. Riscrivendola in un modo migliore, affinché si possa vedere più il MRU
$$x(t)=x_0'+t$$dove $x_0'=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}$
Per quanto riguarda l'asse delle $y$, trascurando il termine $\frac 1 t$, abbiamo
$$y(t)=y_0 + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p_{0x}}$$
Qui, invece $y(t)$ parte dalla stessa posizione iniziale poi invece cresce non come $t$ ma come il $\log t$. Onestamente pensavo di ricondurlo a qualche funzione iperbolica, ma invece nulla. Per questo chiedevo soprattutto se lo sviluppo su $y(t)$ fosse corretto.
È esaustiva come risposta al punto c?
Comunque, vedendo i tuoi plot, gli andamenti sono gli stessi per $t\rightarrow +\infty$ per cui confermano il risultato da me ottenuto.
$$x(t)=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}+t$$$$y(t)=y_0+\frac{p_{0x}p_{0y}}{(qE)^2}\frac 1t + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p_{0x}}$$
Che commenti si possono dare?
Bhe, anzitutto per $x(t)$, pare partire da una posizione (sulle x) più arretrata dal momento che il termine $\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}$ è negativo, visto che $p_{0x} < \mathcal{E}_0$. Per il resto è un moto rettilineo uniforme che si propaga a velocità $c$. Riscrivendola in un modo migliore, affinché si possa vedere più il MRU
$$x(t)=x_0'+t$$dove $x_0'=x_0+\frac{p_{0x}-\mathcal{E}_0}{qE}$
Per quanto riguarda l'asse delle $y$, trascurando il termine $\frac 1 t$, abbiamo
$$y(t)=y_0 + \frac{p_{0y}}{qE}\log\frac{2qEt}{\mathcal{E}_0+p_{0x}}$$
Qui, invece $y(t)$ parte dalla stessa posizione iniziale poi invece cresce non come $t$ ma come il $\log t$. Onestamente pensavo di ricondurlo a qualche funzione iperbolica, ma invece nulla. Per questo chiedevo soprattutto se lo sviluppo su $y(t)$ fosse corretto.
È esaustiva come risposta al punto c?
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