Legge oraria moto presenza attrito viscoso
Ciao a tutti!
Vi scrivo perché non riesco a risolvere un esercizio.
"Un punto materiale di massa $m$ viene lanciato in un fiume che si muove con velocità $v_r$ diretta unicamente lungo l'orizzontale. Si consideri l'attrito viscoso del liquido.
Coefficiente di attrito viscoso uguale a $gamma$.
Il punto materiale viene lanciato con velocità $v_0$ , la quale forma un angolo di $pi/4$ con la verticale.
N.B. Il punto materiale, dopo essere entrato nel fiume, continuerà a muoversi lungo una traiettoria rettilinea."
Non scrivo tutto ciò che è richiesto dall'esercizio, ma solo il punto in cui sono bloccato.
Per risolvere l'esercizio bisogna trovare la legge oraria lungo l'orizzontale, ovvero $x(t)$.
Pongo un SDR con asse $x$ orizzontale crescente verso destra (dove è diretto $v_r$), ed asse $y$ diretto verso il basso.
Lungo la $x$ abbiamo $x(0)=0$ e $dot(x)(0)= v_0 sin(pi/4)$
Io saprei trovare la legge oraria se l'equazione del moto fosse:
$mddot(x) = -gammadot(x)$
che implica
$ddot(x) = -gamma/mdot(x)$
e per la quale la legge oraria sarebbe:
$m/gammav_0sin(pi/4) (1-e^(-gamma/mt))$
Ma in questo caso abbiamo
$mddot(x) = -gamma(dot(x)-v_r)$
C'è anche $v_r$ insomma.
Purtroppo questa mia totale incapacità nasce dal fatto che stiamo affrontando questo argomento a Fisica senza aver trattato le equazioni differenziali ad analisi, sono state appena introdotte.
Sto provando a studiare le equazioni differenziali da solo, ma sono in serie difficoltà, non avendo fatto lo scientifico alle superiori.
Se qualcuno fosse in grado di scrivermi la legge oraria data questa equazione del moto:
$mddot(x) = -gamma(dot(x)-v_r)$
in modo da poter poi verificare gli altri risultati che ho, mi farebbe un super favore.
P.s. Se in altri post avevo dato l'idea di essere in grado di risolvere le equazioni differenziali, era un'impressione sbagliata. Ho sempre usato un formulario. Sono abbastanza messo male, ringrazio chiunque risponda!
Vi scrivo perché non riesco a risolvere un esercizio.
"Un punto materiale di massa $m$ viene lanciato in un fiume che si muove con velocità $v_r$ diretta unicamente lungo l'orizzontale. Si consideri l'attrito viscoso del liquido.
Coefficiente di attrito viscoso uguale a $gamma$.
Il punto materiale viene lanciato con velocità $v_0$ , la quale forma un angolo di $pi/4$ con la verticale.
N.B. Il punto materiale, dopo essere entrato nel fiume, continuerà a muoversi lungo una traiettoria rettilinea."
Non scrivo tutto ciò che è richiesto dall'esercizio, ma solo il punto in cui sono bloccato.
Per risolvere l'esercizio bisogna trovare la legge oraria lungo l'orizzontale, ovvero $x(t)$.
Pongo un SDR con asse $x$ orizzontale crescente verso destra (dove è diretto $v_r$), ed asse $y$ diretto verso il basso.
Lungo la $x$ abbiamo $x(0)=0$ e $dot(x)(0)= v_0 sin(pi/4)$
Io saprei trovare la legge oraria se l'equazione del moto fosse:
$mddot(x) = -gammadot(x)$
che implica
$ddot(x) = -gamma/mdot(x)$
e per la quale la legge oraria sarebbe:
$m/gammav_0sin(pi/4) (1-e^(-gamma/mt))$
Ma in questo caso abbiamo
$mddot(x) = -gamma(dot(x)-v_r)$
C'è anche $v_r$ insomma.
Purtroppo questa mia totale incapacità nasce dal fatto che stiamo affrontando questo argomento a Fisica senza aver trattato le equazioni differenziali ad analisi, sono state appena introdotte.
Sto provando a studiare le equazioni differenziali da solo, ma sono in serie difficoltà, non avendo fatto lo scientifico alle superiori.
Se qualcuno fosse in grado di scrivermi la legge oraria data questa equazione del moto:
$mddot(x) = -gamma(dot(x)-v_r)$
in modo da poter poi verificare gli altri risultati che ho, mi farebbe un super favore.
P.s. Se in altri post avevo dato l'idea di essere in grado di risolvere le equazioni differenziali, era un'impressione sbagliata. Ho sempre usato un formulario. Sono abbastanza messo male, ringrazio chiunque risponda!
Risposte
Esattamente questo esercizio e' stato affrontato di recente
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8446252
Fate sempre una piccola ricerca, risparmiamo tempo tutti.
Chiedi se non ti torna qualcosa.
Per quanto riguarda le equazioni differenziali, non occorre un formulario. La Fisica che fai tu richiede la conoscenza di pochissime ED (2 o 3 tipi, tutte facilmente risolvibili). Basta saper integrare e ti sfanghi tutto il corso.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... o#p8446252
Fate sempre una piccola ricerca, risparmiamo tempo tutti.
Chiedi se non ti torna qualcosa.
Per quanto riguarda le equazioni differenziali, non occorre un formulario. La Fisica che fai tu richiede la conoscenza di pochissime ED (2 o 3 tipi, tutte facilmente risolvibili). Basta saper integrare e ti sfanghi tutto il corso.
"professorkappa":
Esattamente questo esercizio e' stato affrontato di recente
..
Chiedi se non ti torna qualcosa.
Per quanto riguarda le equazioni differenziali, non occorre un formulario. La Fisica che fai tu richiede la conoscenza di pochissime ED (2 o 3 tipi, tutte facilmente risolvibili). Basta saper integrare e ti sfanghi tutto il corso.
Ciao professorkappa! Ti ringrazio per il post!
L'avevo visto tempo fa, e l'esercizio è praticamente identico al mio, però purtroppo non ho letto la soluzione della legge oraria scritta da un'altro utente.
E' stata scritta solo dall'utente che aveva fatto la domanda, e di cui non era sicura.
Se qualcuno un po più esperto fosse in grado di scrivere la legge oraria sarebbe fantastico.
E' difficile fare una trattazione delle ED su questo forum.
In generale le equazioni che troverai tu saranno sempre e solo del tipo
$ddotx+Adotx+Bx+C(t)$ [1]
On i coefficienti che dipendono dal problema.
Per esempio, un corpo appeso a una molla ha una equazione del tipo
$-ky+mg=mddoty$ ovvero : $ddoty+k/my-g=0$
In questo caso si vede per raffronto che $A=0, B=k/m, C=-g$.
Nel caso specifico di questo esercizio, l'equazione che scrivi tu non e' corretta. La forza di attrito viscoso e' proporzionale alla velocita' relativa del corpo rispetto a quella del fiume (chiamiamola $v_c$, velocita' della corrente).
E siccome $v_r=dotx-v_c$. l'equazione lungo x risulta
$-gamma(dotx-v_c)=mddotx$ l'equazione diventa
$mddotx+gammadotx-gammav_c=0$ che puo essere riarrangiata secondo la [1] in:
$ddotx+gamma/mdotx-gamma/mv_c=0$
la stragrandissima maggioranza delle equazioni in fisica sono di questa forma e si risolvono associando un'equazione del tipo
$p^2+Ap+B=0$.
In altre parole, ogni termine del polinomio in prende l'esponente della derivata. E' evidente che in prima battuta stiamo trascurando il termine in C (t).
Sempre ai fini di risoluzione dell'esercizio, il polinomio associato diventa
$p^2+gamma/m*p=0$
Le soluzioni dell'equazione associata si presentano in 3 casi
Soluzioni distinte e reali $p_1$ e $p_2$. La soluzione dell'equazione e' del tipo $x=Ae^[p_1t]+Be^[p_2t]$
Soluzioni reali ma coincidenti $p_1 = p_2=p$. La soluzione dell'equazione e' del tipo
$x=Ae^[pt]+Bte^[pt]=e^[pt](A+Bt)$
Soluzioni distinte con parte reale e immaginaria $p_1=alpha+ibeta$ e $p_2=alpha+ibeta$
La soluzione e' del tipo $Ae^[alphat]cos(betat)+Be^[alphat]sin(betat)$
Ritornando al tuo caso, le soluzioni dell'equazione associata sono
$p_1=0$ e $p_2=-gamma/m$, reali e distinte e pertanto la soluzione GENERALE dell'equazione differenziale associata e'
$x=Ae^[p_1t]+Be^[p_2t]$ ovvero
$x=A+Be^[-gamma/mt]$
Ora viene la parte piu antipatica della risoluzione, perche' finora e' tutto procediemnto meccanico.
Quando hai scritto l'equazione associata in $p$, hai fatto un'evasione: hai trascurato la parte finale dell'equazione, quella parte in C(t), che, nel caso specifico, e' una costante e vale $-gamma/v_c$.
L'ufficio imposte della matematica ti viene ora a chieder conto di questa evasione e quindi devi aggiustarla.
Devi cercare cioe' la soluzione particolare, cioe' una funzione di t che soddisfi anche essa
$ddotx+gamma/mdotx-gamma/mv_c=0$
Ci sono vari metodi per trovare la soluzione particolare, alcune volte e' facile altre volte e' piu' complicato, e li studierai in Analisi.
Normalmente in Fisica questa soluzione particolare e' un polinomio in t di primo o secondo grado a seconda del problema, ma ci sono casi in cui e' una costante o una funzione sinusoidale.
E' di solito abbastanza semplice individuarla ad occhio con un po' di pratica: in questo caso, siccome devi derivare due volte il polinomio, e sommarlo alla sua derivata prima (a meno dei coefficienti) per ottenere una costante ($-gamma/mv_c$), la soluzione non puo' essere che un polinomio di primo grado: la derivata econda si annulla e la derivata prima e' una costante.
La soluzione particolare e' allora del tipo $x=Ct$ che sostituita nell'ED di partenza
$gamma/mC-gamma/mv_c=0$ ci fornisce immefiatamente $C=v_c$
L'equazione finale e' pertanto
$x(t)=A+Be^[-gamma/mt]+v_ct$
A e B le determini imponendo le condizioni iniziali, perche' ora e'
$dotx(t)=-gamma/mBe^[-gamma/mt]+v_c$
Quindi $x(0)=0$ implica $x(t)=A+B=0$
e $dotx(0)=v_0$ implica $v_0=-gamma/mB+v_c$
da cui
$B=-m/gamma(v_0-v_c)$
$A=m/gamma(v_0-v_c)$
e quindi
$x(t)=m/gamma(v_0-v_c)[1-e^[-gamma/mt]]+v_ct$
$v(t)=(v_0-v_c)e^[-gamma/mt]+v_c$
In generale le equazioni che troverai tu saranno sempre e solo del tipo
$ddotx+Adotx+Bx+C(t)$ [1]
On i coefficienti che dipendono dal problema.
Per esempio, un corpo appeso a una molla ha una equazione del tipo
$-ky+mg=mddoty$ ovvero : $ddoty+k/my-g=0$
In questo caso si vede per raffronto che $A=0, B=k/m, C=-g$.
Nel caso specifico di questo esercizio, l'equazione che scrivi tu non e' corretta. La forza di attrito viscoso e' proporzionale alla velocita' relativa del corpo rispetto a quella del fiume (chiamiamola $v_c$, velocita' della corrente).
E siccome $v_r=dotx-v_c$. l'equazione lungo x risulta
$-gamma(dotx-v_c)=mddotx$ l'equazione diventa
$mddotx+gammadotx-gammav_c=0$ che puo essere riarrangiata secondo la [1] in:
$ddotx+gamma/mdotx-gamma/mv_c=0$
la stragrandissima maggioranza delle equazioni in fisica sono di questa forma e si risolvono associando un'equazione del tipo
$p^2+Ap+B=0$.
In altre parole, ogni termine del polinomio in prende l'esponente della derivata. E' evidente che in prima battuta stiamo trascurando il termine in C (t).
Sempre ai fini di risoluzione dell'esercizio, il polinomio associato diventa
$p^2+gamma/m*p=0$
Le soluzioni dell'equazione associata si presentano in 3 casi
Soluzioni distinte e reali $p_1$ e $p_2$. La soluzione dell'equazione e' del tipo $x=Ae^[p_1t]+Be^[p_2t]$
Soluzioni reali ma coincidenti $p_1 = p_2=p$. La soluzione dell'equazione e' del tipo
$x=Ae^[pt]+Bte^[pt]=e^[pt](A+Bt)$
Soluzioni distinte con parte reale e immaginaria $p_1=alpha+ibeta$ e $p_2=alpha+ibeta$
La soluzione e' del tipo $Ae^[alphat]cos(betat)+Be^[alphat]sin(betat)$
Ritornando al tuo caso, le soluzioni dell'equazione associata sono
$p_1=0$ e $p_2=-gamma/m$, reali e distinte e pertanto la soluzione GENERALE dell'equazione differenziale associata e'
$x=Ae^[p_1t]+Be^[p_2t]$ ovvero
$x=A+Be^[-gamma/mt]$
Ora viene la parte piu antipatica della risoluzione, perche' finora e' tutto procediemnto meccanico.
Quando hai scritto l'equazione associata in $p$, hai fatto un'evasione: hai trascurato la parte finale dell'equazione, quella parte in C(t), che, nel caso specifico, e' una costante e vale $-gamma/v_c$.
L'ufficio imposte della matematica ti viene ora a chieder conto di questa evasione e quindi devi aggiustarla.
Devi cercare cioe' la soluzione particolare, cioe' una funzione di t che soddisfi anche essa
$ddotx+gamma/mdotx-gamma/mv_c=0$
Ci sono vari metodi per trovare la soluzione particolare, alcune volte e' facile altre volte e' piu' complicato, e li studierai in Analisi.
Normalmente in Fisica questa soluzione particolare e' un polinomio in t di primo o secondo grado a seconda del problema, ma ci sono casi in cui e' una costante o una funzione sinusoidale.
E' di solito abbastanza semplice individuarla ad occhio con un po' di pratica: in questo caso, siccome devi derivare due volte il polinomio, e sommarlo alla sua derivata prima (a meno dei coefficienti) per ottenere una costante ($-gamma/mv_c$), la soluzione non puo' essere che un polinomio di primo grado: la derivata econda si annulla e la derivata prima e' una costante.
La soluzione particolare e' allora del tipo $x=Ct$ che sostituita nell'ED di partenza
$gamma/mC-gamma/mv_c=0$ ci fornisce immefiatamente $C=v_c$
L'equazione finale e' pertanto
$x(t)=A+Be^[-gamma/mt]+v_ct$
A e B le determini imponendo le condizioni iniziali, perche' ora e'
$dotx(t)=-gamma/mBe^[-gamma/mt]+v_c$
Quindi $x(0)=0$ implica $x(t)=A+B=0$
e $dotx(0)=v_0$ implica $v_0=-gamma/mB+v_c$
da cui
$B=-m/gamma(v_0-v_c)$
$A=m/gamma(v_0-v_c)$
e quindi
$x(t)=m/gamma(v_0-v_c)[1-e^[-gamma/mt]]+v_ct$
$v(t)=(v_0-v_c)e^[-gamma/mt]+v_c$
"professorkappa":
E' difficile fare una trattazione delle ED su questo forum.
In generale le equazioni che troverai tu saranno sempre e solo del tipo
...
e quindi
$x(t)=m/gamma(v_0-v_c)[1-e^[-gamma/mt]]+v_ct$
$v(t)=(v_0-v_c)e^[-gamma/mt]+v_c$
Grazie mille professorkappa!!!
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