Legge Faraday + Laplace: Forza di un filo agente su una spira quadra
Vi propongo questo problema perchè la soluzione non è corretta.
Purtroppo non ho i passaggi e pervaso dai dubbi, chiedo a voi.
Calcolare modulo direzione e verso della forza risultante che un filo rettilineo percorsao da $I=2A$, esercita su una spira
quadra di lato $ l=0,0,3m$ e percorsa da $ i= 5mA$
Questo problema si risolve con due leggi:
Seconda legge di Laplache: $ dF=i (ds x B_o) $
Biot-savart:$ B_o= (mu_0 I)/ (2 pi x) $ con x=distanza lato della spira dal filo.
Quindi avremmo: $ Fdc=Fab $
$ dF_(da)= i (ds x (mu_0 I)/ (2 pi 2l)) $
Quindi:
$ F_(da)=int_(0)^(2l) (mu_0 I)/ (2 pi 2L) i ds $
$ F_(da)=(mu_0 i I)/ (2 pi) int_(0)^(2L) 1/(2L) ds $
$F_(da)=(mu_0 i I)/ (2 pi) 1/2 log|2l| $
Lo stesso procedimento viene usato per la forza $F_(cd)$ ma integrando da $0$ a $3L$.
Il ragionamento e l'impostazione dell'integrale è corretto?
Grazie per l'aiuto
Purtroppo non ho i passaggi e pervaso dai dubbi, chiedo a voi.
Calcolare modulo direzione e verso della forza risultante che un filo rettilineo percorsao da $I=2A$, esercita su una spira
quadra di lato $ l=0,0,3m$ e percorsa da $ i= 5mA$
Questo problema si risolve con due leggi:
Seconda legge di Laplache: $ dF=i (ds x B_o) $
Biot-savart:$ B_o= (mu_0 I)/ (2 pi x) $ con x=distanza lato della spira dal filo.
Quindi avremmo: $ Fdc=Fab $
$ dF_(da)= i (ds x (mu_0 I)/ (2 pi 2l)) $
Quindi:
$ F_(da)=int_(0)^(2l) (mu_0 I)/ (2 pi 2L) i ds $
$ F_(da)=(mu_0 i I)/ (2 pi) int_(0)^(2L) 1/(2L) ds $
$F_(da)=(mu_0 i I)/ (2 pi) 1/2 log|2l| $
Lo stesso procedimento viene usato per la forza $F_(cd)$ ma integrando da $0$ a $3L$.
Il ragionamento e l'impostazione dell'integrale è corretto?
Grazie per l'aiuto
Risposte
come mai ti esce un logaritmo?
"caesar753":
come mai ti esce un logaritmo?
Nella seconda legge di laplace $ds$ non è una parte del lato? Se è così l'integrale sarà in funzione dello stesso e la soluzione sarà un logaritmo.
Vediamo se ho capito il sistema: il filo giace sul tuo asse y? e quindi i lati AD e BC sono paralleli al filo mentre gli altri due sono perpendisolari? e la distanza tra il filo e il lato AD e' 2l?
se si io userei, piuttosto che un sistema di coordinate cartesiane un sistema di coordinate cilindrice fatto in questo modo
[fcd="Spira"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 20 85 100 85 0
FCJ 0 0 3 2 0 1
TY 100 85 4 3 0 0 0 * r
TY 25 95 4 3 0 0 0 *
LI 100 85 100 85 0
LI 40 35 40 70 0
LI 40 70 70 70 0
LI 70 70 70 35 0
LI 70 35 40 35 0
LI 20 20 20 85 2
FCJ 0 0 3 2 0 1
TY 25 20 4 3 0 0 2 * z
TY 25 30 4 3 0 0 2 *[/fcd],
dove il tuo filo giace sull'asse z (il vecchio asse y), e l'asse x diventa l'asse r. Le coordinate $\phi$ sono delle circonferenze che giacciono su un piano perpendicolare all'asse z(y). Immaginiamo inoltre che la corrente nella spira ruoti in senso orario.
A questo punto, come hai giustamente scritto, il campo magnetico generato dal filo sara' $B_{\phi}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$quindi il lato AD, che si trova ad una distanza costante di 2l risentira' di un campo magnetico pari a $B_{\phi}^{AD}\=\frac{\mu_0 I}{2\pi\ 2l}$, che sara' ovviamente ortogonale al filo stesso.
A questo punto applicando la seconda legge di Laplace, avremo che $F_{Lor}=\int i\ d\vec l\wedge\vec B$, dove il nostro dl saranno dei trattini paralleli all'asse z, e quindi avranno coordinate $d\vec l\= (0,0,dz)$, facendo il prodotto vettore con il campo magnetico di coordinate $\vec B\ = (0,\frac{\mu_0 I}{2\pi\ 2l},0$ avremo che
[tex]\vec F_{AD}\ =\ F_{AD}\vec e_r\ =\ \int_0^l{i\ - \frac{\mu_0 I}{2\pi\ 2l}\ dz}\ \vec e_r\ =\ - \frac{\mu_0 I i}{4\pi}[/tex]
Facendo lo stesso ragionamento per il lato BC, e ricordandoci che in questo caso i trattini orientati in funzione della corrente circolante nella spira ($d\vec l=(0,0,dz)$ avremo che:
-il campo magnetico di cui risente il lato BC, lontano 3l dal filo sara' $\B_{phi}=\frac{\mu_0 I}{2\pi\ 3l}$, costante su tutta la spira
-la forza di Lorentz generata sul lato sara'
[tex]\vec F_{BC}\ =\ F_{BC}\vec e_r\ =\ \int_0^l{i\ \frac{\mu_0 I}{2\pi\ 3l}\ dz}\ \vec e_r\ =\ \frac{\mu_0 I i}{6\pi}\vec e_r[/tex]
quindi la spira (nell'ipotesi in cui la corrente circolante sia oraria) tende ad avvicinarsi al filo)
Ti torna?
Ti torna?
se si io userei, piuttosto che un sistema di coordinate cartesiane un sistema di coordinate cilindrice fatto in questo modo
[fcd="Spira"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 20 85 100 85 0
FCJ 0 0 3 2 0 1
TY 100 85 4 3 0 0 0 * r
TY 25 95 4 3 0 0 0 *
LI 100 85 100 85 0
LI 40 35 40 70 0
LI 40 70 70 70 0
LI 70 70 70 35 0
LI 70 35 40 35 0
LI 20 20 20 85 2
FCJ 0 0 3 2 0 1
TY 25 20 4 3 0 0 2 * z
TY 25 30 4 3 0 0 2 *[/fcd],
dove il tuo filo giace sull'asse z (il vecchio asse y), e l'asse x diventa l'asse r. Le coordinate $\phi$ sono delle circonferenze che giacciono su un piano perpendicolare all'asse z(y). Immaginiamo inoltre che la corrente nella spira ruoti in senso orario.
A questo punto, come hai giustamente scritto, il campo magnetico generato dal filo sara' $B_{\phi}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$quindi il lato AD, che si trova ad una distanza costante di 2l risentira' di un campo magnetico pari a $B_{\phi}^{AD}\=\frac{\mu_0 I}{2\pi\ 2l}$, che sara' ovviamente ortogonale al filo stesso.
A questo punto applicando la seconda legge di Laplace, avremo che $F_{Lor}=\int i\ d\vec l\wedge\vec B$, dove il nostro dl saranno dei trattini paralleli all'asse z, e quindi avranno coordinate $d\vec l\= (0,0,dz)$, facendo il prodotto vettore con il campo magnetico di coordinate $\vec B\ = (0,\frac{\mu_0 I}{2\pi\ 2l},0$ avremo che
[tex]\vec F_{AD}\ =\ F_{AD}\vec e_r\ =\ \int_0^l{i\ - \frac{\mu_0 I}{2\pi\ 2l}\ dz}\ \vec e_r\ =\ - \frac{\mu_0 I i}{4\pi}[/tex]
Facendo lo stesso ragionamento per il lato BC, e ricordandoci che in questo caso i trattini orientati in funzione della corrente circolante nella spira ($d\vec l=(0,0,dz)$ avremo che:
-il campo magnetico di cui risente il lato BC, lontano 3l dal filo sara' $\B_{phi}=\frac{\mu_0 I}{2\pi\ 3l}$, costante su tutta la spira
-la forza di Lorentz generata sul lato sara'
[tex]\vec F_{BC}\ =\ F_{BC}\vec e_r\ =\ \int_0^l{i\ \frac{\mu_0 I}{2\pi\ 3l}\ dz}\ \vec e_r\ =\ \frac{\mu_0 I i}{6\pi}\vec e_r[/tex]
quindi la spira (nell'ipotesi in cui la corrente circolante sia oraria) tende ad avvicinarsi al filo)
Ti torna?
Ti torna?
Apprezzo molto il tuoi aiuto, adesso ho capito come trattare l'integrale grazie al tuo cambio di coordinate!
Dimmi se sbaglio: il logaritmo esce nel caso in cui calcolo $Fda$ perche giace lungo l'Asse x! Invece per gli altri lati che sono lungo y posso tirare fuori i termini!
Grazie molte per l'aiuto
Dimmi se sbaglio: il logaritmo esce nel caso in cui calcolo $Fda$ perche giace lungo l'Asse x! Invece per gli altri lati che sono lungo y posso tirare fuori i termini!
Grazie molte per l'aiuto
Probabilmente volevi dire $F_{AB}$ ed $F_{CD}$, cmq si,in quel caso esce un logaritmo... 
Si si intendevo quello, scrivendo da tablet sto scomodo! Grazie per l'aiuto 
domanda: per i lati AB e DC vengono contributi uguali in modulo con segno uguale
o contributi uguali in modulo ma di segno opposto?
a me vengono con modulo e segno uguale ...
qualcuno potrebbe confermare?
o contributi uguali in modulo ma di segno opposto?
a me vengono con modulo e segno uguale ...
qualcuno potrebbe confermare?
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